Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichungen von $\large f$ und $\large g$

$\qquad\qquad$ * Gleichung von $\large f$ (kubische Funktion):

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ \\ f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{cases}\:\:\:\:/\:\:\:\: a,\:\:b,\:\:c\:\:und \:\:d\in\mathbb{R} $

$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-4)=2 &\Longrightarrow& a(-4)^3+b(-4)^2+c(-4)+d &=& 2 &(I)\\ \\ f'(-4)=0 &\Longrightarrow& 3a(-4)^2+2b(-4)+c &=& 0 &(II)\\ \\ f(0)=0 &\Longrightarrow& \underline{d=0} &(III)\\ \\ f'(0)=0 &\Longrightarrow& \underline{c=0} &(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Löse $(I)+2\cdot(II)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} -64a &+& 16b &=& 2 \:\:&(I)\\ \\ 96a &-& 16b &=& 0\:\:&(II)\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ 32a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:2\:\:\: | :32 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \underline{\Large a=\frac{1}{16}} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ Setzte $\Large a$ in $(I)$ ein $ \Longrightarrow -64\cdot \large (\frac{1}{16}) $ $+16b=2\:\:\:\:|\:\:+4$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ \iff 16b=6\:\:\:\:|\:\:(:16) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \longrightarrow \underline { \Large b=\frac{6}{16} } $

$\qquad\qquad\qquad$ Die kubische Funktion $\Large f$ lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)= \frac{1}{16}x^3+\frac{6}{16}x^2 } $


$\qquad\qquad$ * Gleichung der quadratischen Funktion $\Large g$:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} g(x)=ux^2+vx+w\\ \\ g'(x)=2ux+v \end{cases}\:\:\:\:/\:\:\:\: u,\:\:v, und \:\:w\in\mathbb{R} $

$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} g(5)=0 &\Longrightarrow& u(5)^2+v(5)+w &=& 0 &(I)\\ \\ g(9)=2 &\Longrightarrow& u(9)^2+v(9)+w &=& 2 &(II)\\ \\ g'(9)=0 &\Longrightarrow& 2u(9)+v=0 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Löse das LGS mit Addition-, Gleichsetzungsverfahren oder andere Methode.

$\qquad\qquad\qquad$ Die Lösung: $ \:\:\:\: \underline{ \Large u=-\frac{1}{8} } \:\: $ | $ \:\: \underline{ \Large v=\frac{9}{4} } \:\: $ | $ \:\: \underline{ \Large w=-\frac{65}{8} } $

$\qquad\qquad\qquad$ Die quadratische Funktion $\Large g$ lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large g(x)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{18}{8}x-\frac{65}{8} } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Wie steil ist der Anfang $\Large f$ maximal? Wo ist der Hang $\Large g$ am steilsten?
$\qquad\qquad$ * Wie steil ist der Anfang $\Large f$ maximal?

$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von $\Large f$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f'(x)= \frac{3}{16}x^2+\frac{6}{8}x \qquad | \qquad \large f^{”}(x)= \frac{6}{16}x+\frac{6}{8} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f^{”}(x)=0 \Longrightarrow \frac{6}{16}x+\frac{6}{8}=0 \longrightarrow \underline{x=-2} $

$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist $\large x=-2$

$\qquad\qquad\qquad$ Also, $ \large tan(\alpha)=f'(-2)=\frac{3}{16}(-2)^2+\frac{6}{8}(-2)=-0,75 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large tan(\alpha)=-0,75 \Longrightarrow \alpha=tan^{-1}(-0,75) \longrightarrow \underline{ \alpha\approx-36,87^{\circ}} $

$\qquad\qquad$ Der Anfang $\Large f$ ist maximal ca. $\underline{ \large-36,87^{\circ}}$ steil


$\qquad\qquad$ * Wo ist der Hang $\Large g$ am steilsten?

$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von $\Large g$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g'(x)= -\frac{2}{8}x+\frac{9}{4} \qquad | \qquad \large g^{”}(x)= -\frac{2}{8} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g^{”}(x)=0 \longrightarrow x=-\frac{1}{4} $

$\qquad\qquad$ Die Steigung ist bei $ \large g'(-\frac{1}{4})=2,31 \longrightarrow \underline{x=2,31} $

$\qquad\qquad$ Da $\Large g$ bei $\large 5$ anfängt ist der Hang bei $\underline{ \large x=5+2,31=7,31}$ am steilsten