Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung von $\Large h$

$\qquad\qquad$ Allgemeine Funktion & Ableitungen

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} h(t)=at^3+bt^2+ct+d\\ \\ h'(t)=3at^2+2bt+c\\ \\ h^{”}(t)=6at+2b \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} h(0)=0\: &\longrightarrow& \underline{d=0} &(I)\\ \\ h'(0)=0\: &\longrightarrow& \underline{c=0} &(II)\\ \\ h(4)=2 &\Longrightarrow& a(4)^3+b(4)=2 &\longrightarrow& 64a+16b=2 &(III)\\ \\ h'(4)=0.75 &\Longrightarrow& 3a(4)^2+2b(4)=0.75 &\longrightarrow& 48a+8b=0.75 &(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Löse $(III)-2(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a+16b &=& 2\\ \\ -96a-16b &=& -1.5 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff -32a=0.5 \longrightarrow \underline{ \large a=-\frac{1}{64}} $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze $\large a$ in $(III)$ ein: $64(\large -\frac{1}{64})+16b=2\:\:\:\:|(+1)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\iff 16b=3\:\:\:\:|(:16)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\longrightarrow \underline{ \large b=\frac{3}{64}}$

$\qquad\qquad$ Die Gleichung von $\large h$ lautet: $ \underline{ \large h(t)= -\frac{1}{64}t^3+\frac{3}{16}t^2=\frac{1}{64}(-t^3+12t^2) } $

$\qquad\qquad$ Skizze

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wann erreicht die Pflanze ihre maximale Höhe?

$\qquad\qquad$ Die maximale Höhe ist bei $f'(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{64}(t-8)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \begin{cases} -\frac{3}{64}t=0 \longrightarrow \underline{ t=0},\:\: nicht \:\:Realistisch!!!\\ \\ t-8=0 \longrightarrow \underline{ t=8\:\:Wochen} \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ $h(8)=-\frac{1}{64}(-3(8)^3+12(8)^2) \longrightarrow \underline{ h(8)=4\:Meter}$

$\qquad$ Die maximale Höhe ist erreicht nach $\large t=8$ Wochen und in $\large 4\:Meter$ Höhe

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal?

$\qquad\qquad$ Für $h^{”}(t)=0$ ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{1}{64}(-6t+24)=0 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large-\frac{6}{64}t(t-4)=0 \Longrightarrow \begin{cases} -\frac{6}{64}t=0 \longrightarrow \underline{ \large t=0}\\ \\ t-4=0 \longrightarrow \underline{ t=4} \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Nach $\large 4$ Wochen ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal

$\qquad\qquad\qquad$ $ h'(4)=\frac{1}{64}(-3(4)^2+24(4))=\longrightarrow \underline{h'(4)=0.75} $, also $0.70$ Meter/Woche