Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme eine quadratische Funktion $\large B(v)=av^2+bv+c$, welche den
$\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ Benzinverbrauch beschreibt

$\qquad\qquad$ * Gegebenen Bedingungen

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} B(10)=a(10)^2+b(10)+c=9.1 &\longrightarrow& 100a+10b+c &=& 9.1 &(I)\\ \\ B(30)=a(30)^2+b(30)+c=7.9 &\longrightarrow& 900a+30b+c &=& 7.9 &(II)\\ \\ B(100)=a(100)^2+b(100)+c=10 &\longrightarrow& 10000+100b+c &=& 10 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Die Lösung des LGS ergibt: $ \underline { \large a=\frac{1}{1000}}\:\:|\:\: $ $ \underline { \large b=-\frac{1}{10}}\:\:|\:\: $ $ \underline { \large c=10 } $

$\qquad\qquad$ Die quadratische Funktion lautet: $ \underline{ \large B(v)= \frac{1}{1000}v^2-\frac{1}{10}v+10 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Für welche Geschwindigkeit ist der Verbrauch minimal?

$\qquad\qquad$ Der Verbrauch ist minimal wenn $\large B'(v)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large B'(v)=\frac{2}{1000}v-\frac{1}{10}=\frac{1}{500}v-\frac{1}{10} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large \frac{1}{500}v-\frac{1}{10}=0\:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: \underline{ \large v=50\:km/h} $


$\qquad\qquad$ Die Geschwindigkeit ist minimal wenn: $\underline{ \large v=50\:km/h}$ ist.

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ab welcher Geschwindigkeit steigt der Verbrauch auf 12,4 Liter an?

$\qquad\qquad$ Setze $\large B(v)=12,5$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{1}{1000}v^2-\frac{1}{10}v+10=12,5 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{v^2-100v + 10000}{1000}$ $ =12,5 $

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large v^2-100v+10000=12500 \:\:\:|\:\:\: (-12500) $

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large v^2-100v-2500=0, \qquad $ mit p-q-Formel $ \longrightarrow \begin{cases} v_1=120.711\\ \\ v_2=-20,711 \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Der Verbrauch steigt auf $\large 12,4\: Liter$ an, wenn die Geschwindigkeit

$\qquad\qquad\qquad$ $ \underline{ \Large v=120.711\: km/h} \:\: $ ist.