1. Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P$.
   $ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $
   
   Lösung
   $ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: von\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Ebenengleichung\: umstellen $
   
   $\qquad$ $ 3x-2y+4z-10=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Abstand\: berechnen $
   
   $\qquad$ $ d_{(P,E)}= $ $ \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 2-2\cdot 3+4\cdot 1-10} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-6}{\sqrt{29}} \end{vmatrix} =1,11417 $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}\approx1,1142\: LE $




2. Gebe die Ebene in Hessescher Normalenform an und bestimme die Abstände der Punkte $P,\: Q$ und $R$ von der Ebene.
   
   a) $E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$
   
   Lösung
   $E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$
   
   $a_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
   
   $ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:P(4|-1|2)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 4+6\cdot (-1)-2\cdot 2-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{2}{7} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{2}{7}\: LE $

   ---

   $a_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
   
   $ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:Q(-4|6|4)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-4)+6\cdot 6-2\cdot 4-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{12}{7} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{12}{7}\: LE $

   ---

   $a_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
   
   $ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:R(6|1|10)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{((R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+6\cdot 1-2\cdot 10-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} =0 $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $
   
   
   b) $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} =0 $ $\:$ $ \:P(2|2|3), \:Q(4|-1|0), \:R(8|3|2) $
   
   Lösung
   $b_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
   
   $\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:P(2|2|3) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
   
   $\qquad$ Multipliziere aus:
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
   
   $\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
   
   $\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 2+4\cdot 2+(-2)\cdot 3-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-32}{6} \end{vmatrix} = \frac{16}{3} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{16}{3}\: LE $

   ---

   $b_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
   
   $\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:Q(4|-1|0) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
   
   $\qquad$ Multipliziere aus:
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
   
   $\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
   
   $\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 4+4\cdot (-1)+(-2)\cdot 0-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-30}{6} \end{vmatrix} = 5 $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=5\: LE $

   ---

   $b_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
   
   $\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:R(8|3|2) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
   
   $\qquad$ Multipliziere aus:
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
   
   $\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
   
   $\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 8+4\cdot 3+(-2)\cdot 2-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-2}{6} \end{vmatrix} = \frac{1}{3} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=\frac{1}{3}\: LE $
   
   
   $c)$ $ E:3x+4y-12z=6,\: P(1|2|5),\: Q(-2|4|1),\: R(6|3|2) $
   
   Lösung
   $c_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
   
   $\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:P(1|2|5) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 1+4\cdot 2-12\cdot 5-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-55}{13} \end{vmatrix} = \frac{55}{13} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{55}{13}\: LE $

   ---

   $c_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
   
   $\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:Q(-2|4|1) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-2)+4\cdot 4-12\cdot 1-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-8}{13} \end{vmatrix} = \frac{8}{13} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{8}{13}\: LE $

   ---

   $c_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
   
   $\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:R(6|3|2) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
   
   $\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
   
   $\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
   
   $\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+4\cdot 3-12\cdot 2-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{0}{13} \end{vmatrix} = 0 $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $




3. Gegeben seien die drei Punkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$.
   a) Bestimme eine Normalenform der Ebene E, die durch diese drei Punkte gegeben ist.
   b) Bestimme die Hessesche Normalenform von $E$ und berechne den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.
   
   Lösung
   Punkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform\: ein $
   
   $\qquad$ $ E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3-1\\2-1\\-2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-1\\0-1\\3-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} } $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Normalenform\: ein $
   
   $\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
   
   $\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2-(-3)\cdot (-1)\\ (-3)\cdot (-2)-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad$ Der Ortsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad$ Die Normalenform (Normalengleichung) von $E$ lautet:
   
   $\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Hessesche\: Normalenform $
   
   $\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
   
   $\qquad$ $ \iff E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: der\: Abstand\: des\: Koordinatenursprungs\: O(0|0|0)\: von\: E $
   
   $\qquad$ $ d_{(O,E)}= \begin{vmatrix} – \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} (-1+2) = \frac{1}{\sqrt{5}} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Abstand zwischen $0$ und $E$ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(O,E)}=\frac{1}{\sqrt{5}} \: LE $




Mehr Aufgaben

---

Pyramide

Lösung
$a) $ Höhe von $D$ über $ABC:\:\: E_1:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_1 $

$\qquad$ $ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5-4\\4-(-1)\\0-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} } $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_1 $

$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot 1-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot (-5)-1\cdot 1\\ 1\cdot 3-5\cdot (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $

$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} =0 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 8x+4y+28z $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 4\cdot 8+(-1)\cdot 4+1\cdot 28 =56 $

$\qquad$ Setzte zusammen:

$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_1: 8x+4y+28z=56\:\: |:4 $

$\qquad \iff E_1:2x+y+7z=14 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_1}\: der\: Ebene\: $

$\qquad$ $ \vec{n_{E_1}}= \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

$\qquad$ $E_1:2x+y+7z-14=0$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {2\cdot 3+1\cdot 3+7\cdot 6-14} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 5,0350


$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx5,04 \: LE $
---
$b) $ Höhe von $B$ über $ACD:\:\: E_2:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AC}+s\cdot \overrightarrow{AD}$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_2 $

$\qquad$ $ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-4\\3-(-1)\\6-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} } $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_2 $

$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 5-1\cdot 4\\ 1\cdot (-1)-(-5)\cdot 5\\ (-5)\cdot 4-3\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $

$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_2: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} =0 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 11x+24y-17z $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 4\cdot 11+(-1)\cdot 24+1\cdot (-17) =3 $

$\qquad$ Setzte zusammen:

$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_2: 11x+24y-17z=3 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_2}\: der\: Ebene\: $

$\qquad$ $ \vec{n_{E_2}}= \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

$\qquad$ $E_2:11x+24y-17z-3=0$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {11\cdot 5+24\cdot 4+(-17)\cdot 0-3} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,7133


$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,71 \: LE $
---
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $

$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $

$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $

$\qquad$ Setzte zusammen:

$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $

$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067


$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
---
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $

$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $

$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $

$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $

$\qquad$ Setzte zusammen:

$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $

$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $

$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $

$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067


$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $

Lagebeziehung zwischen zwei Geraden

• wenn die Ortsvektoren gleich sind, sind sie identisch
• wenn die Ortsvektoren nicht gleich sind, sind sie parallel.

Übungsaufgaben

---

$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$


Lösung
Lineare Unabhängigkeit

$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}3\\7\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}9\\14\\4 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix}}$

Prüfe, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}6\\9\\-12 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16 \end{pmatrix} $

Stelle ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 6=-8\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ 9=-12\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4}\\ -12=16\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-\frac{3}{4} \end{cases} $

Mit alle $\lambda$ gleich den selben Wert, sind die Vektoren linear abhängig.

$\qquad$ ➩ Die Vektoren $g$ und $h$ sind linear abhängig.
$\qquad$ ➪ Daher sind die beiden Geraden parallel oder identisch.

Setze den Ortsvektor $\begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix}$ des Aufpunktes von $g$ in die Gleichung der zweiten Gerade $h$ ein.

$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\7\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\\14\\4\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-8\\-12\\16\end{pmatrix} $

Stelle wieder ein lineares Gleichungssystem auf und berechne für jedes s:

$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 3=9-8\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=\frac{3}{4} &\rightarrow &s=0,75\\ 7=14-12\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{7}{12} &\rightarrow &s\approx0,59\\ 3=4+16\cdot s \:\: &\rightarrow \:\: s=-\frac{1}{16} &\rightarrow &s\approx-0,063 \end{cases} $

s hat drei verschiedene Werte.
Mit schon zwei unterschiedliche Werte für s, ist das Gleichungssystem nicht lösbar!

$\qquad$ ➩ Der Aufpunkt der Gerade g liegt also nicht auf der Geraden h.
$\qquad$ Die beiden Geraden können nur noch parallel sein.

$\qquad$ ➪ h$||$g oder g$||$h





$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-7\\5\\-5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix}}$


Lösung
$\mathrm{Lineare\; Unabhängigkeit}$

$\qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad $ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-7\\5\\-5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix}}$

$\mathrm{Prüfe,\; ob\; die\; Richtungsvektoren\; linear\; abhängig\; sind.}$

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}9\\-3\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6 \end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 9=-9\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -3=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ 6=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1 \end{cases} $

$\mathrm{Mit\; alle}$ $\lambda$ $\mathrm{gleich\; den\; selben\; Wert,\; sind\; die\; Vektoren\; linear\; abhängig.}$

$\qquad$ ➩ $\mathrm{Die\; Vektoren\; g\; und\; h\; sind\; linear\; abhängig.}$
$\qquad$ ➪ $\mathrm{Daher\; sind\; die\; beiden\; Geraden\; parallel\; oder\; identisch.}$

$\mathrm{Setze\; den\; Ortsvektor}$ $\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$ $\mathrm{des\; Aufpunktes\; von}g\mathrm{in\; die\; Gleichung\; der\; zweiten\; Gerade}h\mathrm{ein.}$

$ \qquad\qquad \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7\\5\\-5\end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-9\\3\\-6\end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; wieder\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $s:$

$ \qquad \qquad\: \begin{cases} 2=-7-9\cdot s \:\: &s=-1\\ 2=5+3\cdot s \:\: &s=-1\\ 1=-5-6\cdot s \:\: &s=-1 \end{cases} $



$\qquad$ ➩ $Die\; beiden\; Geraden\; identisch.$
$\qquad$ ➪ $h=g$




$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$


Lösung
Lineare Unabhängigkeit

$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix}}$

$\mathrm{Prüfe,\; ob\; die\; Richtungsvektoren\; linear\; abhängig\; sind.}$

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}-4\\-2\\6 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}-4\\-4\\10 \end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} -4&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=-1\\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{1}{2}\\ 6&=-6\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda= \frac{3}{5} \end{cases} $

$\mathrm{Da\; alle}$ $\lambda$ $\mathrm{unterschiedliche\; Werte\; haben\; sind\; die\; Vektoren\; <b>linear\; unabhängig</b>.}$
➪ $\mathrm{Die\; beiden\; Geraden\; besitzen\; einen\; Schnittpunkt\; oder\; sind\; windschief\; zueinander.}$

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; (LGS)\; auf\; und\; berechne.\; (aus\; g\; und\; h)}$.

$ \qquad \begin{cases} 1-4r&=-1-4s \\ -2-2r&=-2-4s \\ 1+6r&=2+10s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 2&=4r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:I\\ 0&=2r-4s \qquad \:\:\:\:\:\:II\\ -1&=-6r+10s \qquad III \end{cases} $

$ \:\: I-II:\: 2=2r \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{r=1}}\: |\: r\: in\: III:\: -1=-6(1)+10s \iff 5=10s \Rightarrow$ $\textcolor{blue}{\textbf{s=0,5}} $

$\mathrm{Das\; LGS\; ist\; Lösbar,\; denn\; haben\; die\; Geraden\; einen\; <b>Schnittpunkt</b>.}$

$\mathrm{Jetzt\; r\; und\; s\; in\; I,\; II\; oder\; III\; einsetzen\; um\; den\; Schnittpunk\; zu\; haben:}$

$ \qquad \begin{cases} 1-4 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -1 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ -2-2 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= -2 - 4 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \\ 1+6 (\textcolor{green}{\textbf{1}}) &= 2 + 10 (\textcolor{blue}{\textbf{0,5}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{green}{\textbf{-3}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{-4}} &= \textcolor{blue}{\textbf{-4}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{green}{\textbf{7}} &= \textcolor{blue}{\textbf{7}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $

$\mathrm{Damit\; ist\; der\; Schnittpunkt\; s\; mit\; den\; Koordinaten:}$

$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\-4\\7 \end{pmatrix} $



$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$


Lösung
Lineare Unabhängigkeit

$\:\:\: \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}0\\8\\-7 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix}}$ $\qquad$ $\mathrm{und}$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ h: \vec{x}= \begin{pmatrix}-9\\0\\7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix}}$

$\mathrm{Prüfe,\; ob\; die\; Richtungsvektoren\; linear\; abhängig\; sind.}$

$ \qquad \qquad \qquad \begin{pmatrix}1\\2\\-2 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}3\\1\\-4 \end{pmatrix} $

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; auf\; und\; berechne\; für\; jedes}$ $\lambda$.

$ \qquad \qquad \qquad \begin{cases} 1&=3\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,3 \\ 2&=1\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0,5 \\ -2&=-4\cdot \lambda \:\: &\rightarrow \:\: \lambda=0.25 \end{cases} $

$\mathrm{Da\; alle}$ $\lambda$ $\mathrm{unterschiedliche\; Werte\; haben\; sind\; die\; Vektoren\; <b>linear\; unabhängig</b>.}$
➪ $\mathrm{Die\; beiden\; Geraden\; besitzen\; einen\; Schnittpunkt\; oder\; sind\; windschief\; zueinander.}$

$\mathrm{Stelle\; ein\; lineares\; Gleichungssystem\; (LGS)\; auf\; und\; berechne.\; (aus\; g\; und\; h)}$.

$ \qquad \begin{cases} 0+1r &=-9+3s \\ 8+2r &=0+1s \\ -7-2r &=7-4s \end{cases} \qquad \xrightarrow[\text{}]{\text{stelle um}} \qquad \begin{cases} 9 &=-1r+3s \qquad I\\ 8 &=-2r+1s \qquad II\\ -14 &=2r-4s \qquad \:\:\:III \end{cases} $

$ \:\: II-III:\: -6=-3s \Rightarrow \textcolor{green}{\textbf{s=2}}\: |\: s\: in\: I:\: 9=-r+3(2) \iff \textcolor{blue}{\textbf{r=-3}} $

$\mathrm{Das\; LGS\; ist\; Lösbar,\; denn\; haben\; die\; Geraden\; einen\; <b>Schnittpunkt</b>.}$

$\mathrm{Jetzt\; r\; und\; s\; in\; I,\; II\; oder\; III\; einsetzen\; um\; den\; Schnittpunk\; zu\; haben:}$

$ \qquad \begin{cases} 0+1 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= -9 +3 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ 8+2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 0 +1 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \\ -7-2 (\textcolor{blue}{\textbf{-3}}) &= 7 - 4 (\textcolor{green}{\textbf{2}}) \end{cases} $ $ \Rightarrow $ $ \begin{cases} \textcolor{blue}{\textbf{-3}} &= \textcolor{green}{\textbf{-3}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{2}} &= \textcolor{green}{\textbf{2}} &\rightarrow \textbf{W.A.}\\ \textcolor{blue}{\textbf{-1}} &= \textcolor{green}{\textbf{-1}} &\rightarrow \textbf{W.A.} \end{cases} $

$\mathrm{Damit\; ist\; der\; Schnittpunkt\; s\; mit\; den\; Koordinaten:}$

$ \qquad \qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s=\begin{pmatrix}-3\\2\\-1 \end{pmatrix} $

Lagerbeziehung