Home » Mathematik » Flugbahn und Fluggeschwindigkeit

Flugbahn und Fluggeschwindigkeit

Flugbahn und Fluggeschwindigkeit


Spurpunkte mit Anwendungen


Lösung a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Stelle\: die\: Gleichung\: der\: Geraden\: g\: auf,\: auf\: der\: das\: Flugzeug\: Gamma\: fliegt\: $

$\qquad\:\:$ $ A \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} 15\\7\\1 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ $ g_{AB}:\:\overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 15-10\\7-1\\1-0,8 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} } $

$\qquad\:\:$ $ Zusammenhang\: zwischen\: dem\: Geradenparameter\:(r)\: und\: dem\: zugehörigen\: Zeitintervall $

$\qquad\qquad$ $ Wenn\: r=0,\:\: g_{AB}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \:\: \Longrightarrow \:\: das\: Flugzeug\: ist\: bei\: der\: Punkt\: A. $

$\qquad\qquad$ $ Wenn\: r=1,\:\: g_{AB}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \:\: \Longrightarrow \:\: das\: Flugzeug\: ist\: bei\: der\: Punkt\: B,\: also\: 2\: Minuten\: später. $


Lösung b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Flugposition\: um\: 10:10\: Uhr,\: Geschwindigkeit\: und\: Höhe $

$\qquad\:\:$ $ *\: Flugposition\: um\: 10:10\: Uhr $

$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Um\: 10:00\: Uhr,\: ist\: das\: Flugzeug\: bei\: der\: Punkt\: A $

$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Um\: 10:02\: Uhr,\: ist\: das\: Flugzeug\: bei\: der\: Punkt\: B $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Mit\: konstanter\: Geschwindigkeit,\: zwischen\: 10:00\: und\: 10:10\: Uhr\: liegen\: 10\: Minuten $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ Berechne\: den\: Parameter\: t\: für\: diesen\: Zeitpunkt $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large { t=\frac{10\: min}{2}=5 } $ $ \:\:(weil\: 2\: Minuten\: eine\: Einheit\: für\: t=1\: bedeuten) $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Setze\: t=5\: in\: die\: Geradengleichung\: ein: $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{P}}_5 = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25\\30\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35\\31\\1,8 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \:\: Das\: Flugzeug\: befindet\: sich\: um\: 10:10\: Uhr\: bei\: den\: Koordinaten\: \begin{pmatrix} 35\\31\\1,8 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ $ *\: Geschwindigkeit\: des\: Flugzeugs $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Geschwindigkeit\: berechnet\: sich\: aus $

$\qquad\qquad\qquad$ $ der\: Länge\: des\: Richtungsvektors\: \vec{v}= \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} \: und\: der\: Zeit\: t=2 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Länge\: des\: Vektors\: \vec{v}\: ist: $

$\qquad\qquad\qquad$ $ |\vec{v}|=\sqrt{5^2+6^2+0,2^2} = \sqrt{25+36+0,04} = \sqrt{61,04}\approx7,81\: km $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Da\: dies\: die\: Strecke\: ist,\: die\: das\: Flugzeug\: in\: 2\: Minuten\: zurücklegt,\: ist\: die\: Geschwindigkeit: $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large{ v=\frac{7,81\: km}{2} } $ $ =3,905\:km/min=234,3\:km/h $

$\qquad\:\:$ $ *\: Wann\: erreicht\: das\: Flugzeug\: die\: Höhe\: von\: 4\: km\: (4000\: m\: =\: 4\: km)? $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Höhe\: des\: Flugzeugs\: ist\: durch\: die\: z-Koordinate\: gegeben. $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Suche\: t,\: wenn\: die\: Höhe\: z=4\: ist.\: Aus\: der\: Parametergleichung: $

$\qquad\qquad\qquad$ $ z(t)=0,8+0,2t $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=4\: und\: löse\: nach\: t\: auf: $

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ 0,8+0,2t=4\:\: \Longrightarrow\:\: 0,2t=3,2 \:\: \Longrightarrow\:\: t= $ $ \large \frac{3,2}{0,2} $ $ =16 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: Flugzeug\: erreicht\: nach\: 16\: Minuten\: die\: Höhe\: von\: 4\: km.\: Das\: wäre\: um: $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 10:00+16\: Minuten=10:16\:Uhr $


Lösung c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Flugbahn\: von\: Delta\: und\: Kollision $

$\qquad\:\:$ $ *\: Flugbahn\: von\: Delta\: $

$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Für\: das\: zweite\: Flugzeug\: Delta\: verfahre\: ähnlich.\: Die\: beiden\: Punkte\: sind $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ P \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: Q \begin{pmatrix} 95\\121\\3,6 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PQ}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 95-100\\121-130\\3,6-3,7 \end{pmatrix} = \underline { \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\-9\\-0,1 \end{pmatrix} } $

$\qquad\:\:$ $ *\: Prüfung\: auf\: Schnittpunkt $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Prüfe,\: ob\: sich\: die\: beiden\: Flugbahnen\: schneiden,\: setzte\: die\: Geradengleichungen\: gleich $

$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{AB}=g_{PQ}\: \iff \: \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\-9\\-0,1 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: ergibt\: drei\: Gleichungen\: für\: t\: und\: s: $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 10+5t &=& 100-5s\qquad (1)\\ \\ 1+6t &=& 130-9s\qquad (2)\\ \\ 0,8+0,2t &=& 3,7-0,1s\:\:\:\:\: (3) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 6\cdot(1)-5\cdot(2)\: \Longrightarrow\: \begin{cases} 60 +30t &=& 600-30s\\ \\ -5 -30t &=& -650+45s\\ \hline \\ 55 &=& -50+15s \:\:|\:\: +50 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ 105 = 15s\qquad\qquad\:|\:\: :15 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { 7 = s \:\: (4) } $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (4)\: in\: (3)\:\: \Longrightarrow \:\: 0,8+0,2t=3,7-0,1\cdot7\qquad|\:\:(-0,8) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ \iff \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:0,2t=2,2\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:|\:\:(0,2) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ \iff $ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \underline { t=11 } $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 10+5(11) &=& 100-5(7)\qquad \iff\:\: 65 &=& 65 \:\: W.A.\\ \\ 1+6(11) &=& 130-9(7)\qquad \iff\:\: 67 &=& 67 \:\: W.A.\\ \\ 0,8+0,2(11) &=& 3,7-0,1(7)\:\:\:\:\: \iff\:\: 3 &=& 3 \:\: W.A. \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Flugbahnen\: Gamma\: und\: Delta\: schneiden\: sich\: an\: der\: Punkt\: \begin{pmatrix} 65\\67\\3 \end{pmatrix}, $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \: aber\: die\: Flugzeuge\: passieren\: zu\: unterschiedlichen\: Zeiten. $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ Also\: die\: Gefahr\: einer\: Kollision\: besteht\: nicht!!! $