Flugbahn
Spurpunkte mit Anwendungen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Stelle\: die\: Gleichung\: der\: Geraden\: g\: auf,\: auf\: der\: das\: Flugzeug\: Gamma\: fliegt\: $
$\qquad\:\:$ $ A \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} -4\\-1\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ g_{AB}:\:\vec{x}= \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -4+8\\-1-3\\4-2 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-4\\2 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ *\: Startpunkt\: F\: bestimmen\: (Flugzeug\: startet\: in\: der\: x-y-Ebene,\: also\: bei\: z=0) $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=0\: und\: lösen\: nach\: t\: auf. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 2+2t=0\:\:\:\:\:\:(-2) $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 2t=-2\:\:\:(:2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ t=-1 $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: t=-1\: in\: x(t)\: und\: y(t)\: ein: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ x(-1)=-8+4\cdot(-1)=-8-4=-12 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ y(-1)=3-4\cdot(-1)=3+4=7 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Startpunkt\: F: \begin{pmatrix} -12\\7\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ *\: Punkt\: T\: bestimmen\: (Reiseflughöhe\: von\: 10.000\: m\: =\: 10\: km) $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=10\: und\: lösen\: nach\: t\: auf. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 2+2t=10\:\:\:\:\:\:(-2) $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 2t=8\:\:\:\:\:\:\:\:\:(:2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ t=4 $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: t=4\: in\: x(t)\: und\: y(t)\: ein: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ x(4)=-8+4\cdot4=-8+16=8 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ y(4)=3-4\cdot4=3-16=-13 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Punkt\: T: \begin{pmatrix} 8\\-13\\10 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ \textbf { Antwort: } $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Startpunkt\: F:\: Das\: Flugzeug\: ist\: im\: Punkt\: F \begin{pmatrix} -12\\7\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Punkt\: T:\: Das\: Flugzeug\: erreicht\: seine\: Reiseflughöhe\: von\: 10.000\: m\: im\: Punk\: T \begin{pmatrix} 8\\-13\\10 \end{pmatrix} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Nachweis,\: dass\: keine\: Kollision\: mit\: Flugzeug\: Beta\: möglich\: ist $
$\qquad\:\:$ $ *\: Informationen\: zu\: Flugzeug\: Beta: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Es\: steuert\: Punkt\: C \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} \: aus\: Richtung\: \vec{v}_\beta = \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} \: an. $
$\qquad\:\:$ $ Bestimme\: der\: Flugbahn\: von\: Beta $
$\qquad\:\:$ $ Da\: Flugzeug\: Beta\: auf\: C\: zufliegt,\: bewegt\: es\: sich\: entgegen\: der\: Richtungsvektor\: \vec{v}_\beta. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Geradengleichung\: lautet: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { g_C:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ Prüfen,\: ob\: die\: Flugbahnen\: von\: \alpha \: und\: \beta \: sich\: schneiden $
$\qquad\qquad$ $ g_{AB}=g_{C}\:\: \iff \:\: \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Es\: ergibt\: sich\: ein\: Gleichungssystem: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} -8 &+ &4t &=& 10 &- &2s\:\:\:\:\: (1)\\ \\ 3 &- &4t &=& -10 &- &s\:\:\:\:\:\:\:\: (2)\\ \\ 2 &+ &2t &=& 5 &+ &2s\:\:\:\:\:\: (3) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ (1)+(3)\:\: \iff \:\: \begin{cases} -8 &+ &4t &=& 10 &- &2s \\ \\ 2 &+ &2t &=& 5 &+ &2s \\ \hline \\ \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ -6\:\:\:\:\:\: +\:\:\: 6t\:\:\:\: =\:\:\: 15 \:\:\:\:\:\: | \:\: (+6) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ 6t\:\:\:\: =\:\:\: 21 \:\:\:\:\:\: | \:\: (:6) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \iff \:\: \underline { t\:\:\:\: =\:\:\: 3,5 } \:\:\:\:\:\:\:\: (4) $
$\qquad\qquad$ $ (4)\: in\: (3)\:\: \iff \:\: 2+2\cdot3,5=5+2s \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \:\: (-5) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 4=-2s \:\:\:\:\:\:\qquad | \:\: :(2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \iff \:\: \underline { 2 \:\:\:\: =\:\:\: s } $
$\qquad\qquad$ $ Prüfe\: Gleichung\: (2): $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 3-4\cdot3,5=-10-2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ -11=-12\:\: (Widerspruch) $
$\qquad\qquad$ $ Da\: die\: Gleichungen\: nicht\: konsistent\: sind,\: schneiden\: sich\: die\: Flugbahnen\: nicht. $
$\qquad\qquad$ $ \iff \:\: Also\: die\: beiden\: Flugzeuge\: können\: keinesfalls\: kollidieren. $
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Berechne\: der\: Entfernung\: zwischen\: den\: Flugzeugen\: zum\: Zeitpunkt\: des\: Passierens\: von\: B\: und\: C $
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} =\overrightarrow{\text{C}}-\overrightarrow{\text{B}} = \begin{pmatrix} 10 &-& (-4)\\-10 &-& (-1)\\5 &-& 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\-9\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Die\: Entfernung\: zwischen\: B\: und\: C: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \sqrt{14^2+(-9)^2+1^2}=\sqrt{278}\approx16,67\:km $
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d)\: Bestimme\: der\: letzten\: Kurskorrektur\: von\: Flugzeug\: Beta $
$\qquad\qquad$ $ Die\: Geradengleichung\: von\: Beta\: beim\: passieren\: C $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ g_{C}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} -5\\4\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ In\: 1000m\: Höhe\: soll\: eine\: weitere\: Kursänderung\: erfolgen $
$\qquad\qquad$ $ \iff \:\: die\: z-Koordinate\: ist\: 1000\:=1\:km $
$\qquad\qquad$ $ \iff \:\: 1=5-z\:\:\:\: und\:\:\:\: \underline{z=4} $
$\qquad\qquad$ $ Der\: Punkt,\: an\: dem\: Flugzeug\: Beta\: eine\: Höhe\: von\: 1000\: m\: erreicht\:, ist\: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { P \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + 4\cdot \begin{pmatrix} -5\\4\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 &-& 20\\-10 &+& 16\\5 &-& 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\6\\1 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ $ Richtungsvektor\: der\: letzte\: Korrektur\: des\: Flugzeugs $
$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PF}:\: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} -10\\6\\1 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} -12 &-& (-10)\\7 &-& 6\\0 &-& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\6\\1 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff\:\: Die\: Richtungsvektor\:\: \begin{pmatrix} -2\\1\\-1 \end{pmatrix} $