Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme die Funktionsgleichung

$\qquad$ Die Form: $\large h(t)=a^3+bt^2+c$,

$\qquad$ Gegebenen Bedingungen

$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} h(0)=300 \longrightarrow \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ h(50)=200 \Longrightarrow a\cdot50^3+b\cdot50^2+300=200 \\ \\ h(100)=100 \Longrightarrow a\cdot100^3+b\cdot100^2+300=100 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ 125000a+2500b+300=200 &(II)\\ \\ 1000000a+10000b+300=100 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ 1250a+25b+300=200 &(II)\:\:|\:\:(-300)/:100\\ \\ 1000000a+10000b+300=100 &(III)\:\:|\:\:(-300)/:100 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300}\\ \\ 1250a+25b=-1\\ \\ 10000a+100b=-2 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Rechne $(-4)\cdot(II)-(III) \Longrightarrow \begin{cases} -5000a &-& 100b &=& 4\\ \\ 10000a &+& 100b &=&-2\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $5000a\qquad\qquad\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\:\:2\:\:\:\:|\: :5000$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: \underline{ \large a=\: \frac{2}{5000}=\frac{1}{2500}}$

$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{2500}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 10000\cdot(\frac{1}{2500})+100b=-2\:\:|(-4)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 100b=-6\:\:|:100$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{b= \large-\frac{6}{100}}$

$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{2500}t^3-\frac{6}{100}t^2+300 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Prüfe, ob die Schätzwerte mit der Flugkurve vereinbar sind.

$\qquad$ $ \begin{cases} h(20)= \large \frac{1}{2500}\cdot20^3-\frac{6}{100}\cdot20^2+300=279,2 \longrightarrow \underline{h(20)=279,2}\\ \\ h(70)= \large \frac{1}{2500}\cdot70^3-\frac{6}{100}\cdot70^2+300=143,2 \longrightarrow \underline{h(70)=143,2}\\ \\ h(120)= \large \frac{1}{2500}\cdot120^3-\frac{6}{100}\cdot120^2+300=127,2 \longrightarrow \underline{h(120)=127,2} \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Die berechneten Werte für die schwarzen Schätzpunkte sind:

$\qquad\qquad\qquad$ – $h(20)=279.2$ (im Vergleich zu $280$)

$\qquad\qquad\qquad$ – $h(70)=143.2$ (im Vergleich zu $120$)

$\qquad\qquad\qquad$ – $h(120)=127.2$ (im Vergleich zu $130$)

$\qquad$ Die berechneten Werte liegen nahe an den angegebenen Schätzwerten,
$\qquad$ insbesondere bei $t=20$ und $t=120$

$\qquad$ Dies zeigt, dass die Schätzwerte mit der Flugkurve weitgehend übereinstimmen,
$\qquad$ mit einer etwas größeren Abweichung bei $t=70$.


$\qquad$ d) Graphen der Funktion $\large h$