Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion $\Large s(t)$ des Vorgangs?

$\qquad\qquad\qquad$ $\Large s(t)=at^3+bt^2+ct+d$

$\qquad\qquad\qquad$ Ableitugen:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} s'(t)=3at^2+2bt+c\\ \\ s^{”}(t)=6at+2b \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Punkte:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} s(0)=0 \Longrightarrow a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d=0 \longrightarrow \underline{d=0} &(I)\\ \\ s(4)=4 \Longrightarrow a(4)^3+b(4)^2+c(4)+d=4 \longrightarrow 64a+16b+4c=4 &(II)\\ \\ s'(0)=0 \Longrightarrow 3a(0)^2+2b(0)+c=0 \longrightarrow \underline{c=0} &(III)\\ \\ s'(8)=0 \Longrightarrow 3a(8)^2+2b(8)+c=0 \longrightarrow 192a+16b=0 &(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $(III)$ in $(II)$ einsetzen und $(II)-(IV)$ rechnen:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4 &(II)\\ \\ -192a &-& 16b &=& 0 &(IV)\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-128a \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:=\:\:\: 4\qquad|:(-128)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \Longrightarrow \underline { \Large a= -\frac{1}{32} =-0,031 } $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\Large a$ in $(II)$ einsetzen $\Longrightarrow 64(-0,031)+16b=4\:\:\:\:|+2 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 16b=6\:\:\:\:|\:\: :16 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Longrightarrow \underline { \Large b= \frac{3}{8} =0,375 } $


$\qquad\qquad$ Die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large s(t)=-0,031t^3+0,375t^2= -\frac{1}{32}t^3+ \frac{3}{8}t^2 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Die lange ist die gesamte Fahrstrecke?
$\qquad\qquad$ $\Large s$ nach $8$ Minuten wird gesucht

$\qquad\qquad$ $\large s(8) =-0,031(8)^3+0,375(8)^2= \large -\frac{1}{32}8^3+ \frac{3}{8}8^2=8,128 \longrightarrow \underline{ s\approx8\:km}$

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit des Zuges?
$\qquad\qquad$ Suche das Maximum von $\large v(t)$, wobei $\large v(t)$ die Ableitung von $\large s(t)$ ist.

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large v(t)=s'(t)= -\frac{3}{32}t^2+ \frac{6}{8}t $

$\qquad\qquad\qquad$ Die Max Geschwindigkeit ist erreicht wenn $\large v'(t)=0\:\:| \:\:(\large v'(t)=s'(t))$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large v'(t)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{32}t^2+ \frac{6}{8}t=0 $, mit p-q-Formal bekommst du

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} -3t &=& 0 &\longrightarrow& t &=& 0\\ \\ t-4 &=& 0 &\longrightarrow& t &=& 4 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large s^{”}(4)= -\frac{6}{32}4+ \frac{6}{8}= $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Die Max Geschwindigkeit ist erreicht wenn $\large t=4$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $v(4)=s'(4)= \large -\frac{3}{32}4^2+ \frac{3}{4}4=1,5 \Longrightarrow \underline{ \large v_{Max}=1,5\:km/min} $

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wann beträgt die Geschwindigkeit genau $67,5\: km/h$?
$\qquad\qquad$ $\Large v(t)= -\frac{3}{32}t^2+ \frac{3}{4}t= \frac{67,5}{60} \Longrightarrow \Large -\frac{3t^2+24t}{32}= \frac{67,5}{60} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\iff -180t^2+1440t=2160\:\:\:\:|\:\:(-2160)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff-180t^2+1440t-2160=0\:\:\:\:|\:\: :(-180) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\iff t^2-8t+12=0 \longrightarrow \begin{cases} t_1=2\:min\\ \\ t_2=6\:min \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Die Geschwindigkeit beträgt genau $\large 67,5\: km/h$ bei $ \:\:\:\: \large \begin{cases} t_1=2\:min\\ \\ oder\\ \\ t_2=6\:min \end{cases} $