Lösung zu 19.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ * Die Parabelgleichungen

$\qquad\:\:\:\:$ Weil die Parabel Achsensymmetrisch ist, ist sie gerade

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \Large f(x)=ax^2+b $, $\:/\:a,\:$ und $b\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 2ax\\ \\ f^{”}(x) &=& 2a \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad$ Scheitelpunkt der Parabel: $(0/0)\:\: \Longrightarrow \:\: f(0)=0 \:\: \longrightarrow \:\: \underline{b=0}$

$\qquad\qquad$ $A(-8/6)$ und $B(8/6)$ auf die seitlichen Halbparabeln, haben $S(0/0)$ als Scheitelpunkt

$\qquad\qquad$ Die untere Parabel hat die allgemeine Gleichung $f(x)=ax^2$

$\qquad\qquad$ Berechne $\Large a$ mit $A(-8/6)$: $\Longrightarrow f(8)=64a=6 \longrightarrow \underline { a= \large \frac{6}{64}=\frac{3}{32} } $

$\qquad\qquad$ Die Funktionsgleichung der unteren Schneide lautet: $ \underline { f(x)= \Large \frac{3}{32}\cdot x^2 } $


$\qquad\qquad$ Die beiden Halbparabeln sind gleich und werden über die Scheitelpunktform ermittelt

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large g_{Links}(x)=g_{Rechts}(x)= a\cdot (x-c)^2+d$

$\qquad\qquad\qquad$ Mit $\Large c$ und $\Large d$ die Koordinaten des Scheitelpunkts: $ \begin{cases} (-8/6)\:\: für\:\: \Large g_{Links}\\ \\ (8/6)\:\: für\:\: \Large g_{Rechts} \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Wegen der Symmetrie ist $\Large a$ bei beiden Gleichungen identisch $ $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} \Large g_{Links} &=& \Large a\cdot (x+8)^2 \Large &\Large +& \Large 6\\ \\ \Large g_{Rechts} &=& \Large a\cdot (x-8)^2 \Large &\Large +& \Large 6 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Rechne $\Large a$ mit dem Punkt $\large C(2/14)$, wo die rechte Halbparabel an den Stiel stößt.

$\qquad\qquad\qquad$ Also:
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \Longrightarrow \Large g_{Rechts}(2)=a\cdot (2-8)^2+6=14 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \Large 36\cdot a+6=14 \qquad |-6 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \iff \Large 36\cdot a=8 \qquad\:\:\: |:36 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \iff \underline { \Large a= \frac{8}{36}=\frac{2}{9} } $


$\qquad\qquad$ Die beiden Halbparabeln (Links und Rechts) sind:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Links:\:\: \Large g_{Links} &=& \Large \frac{2}{9} \cdot (x+8)^2 \Large &\Large +& \Large 6\\ \\ und\\ \\ Rechts:\:\: \Large g_{Rechts} &=& \Large \frac{2}{9} \cdot (x-8)^2 \Large &\Large +& \Large 6 \end{cases} $


$\qquad\qquad$ * Unter welchem Winkel stößt die Schneide auf die Seitenkanten des Werkzeugs?

$\qquad\qquad\qquad$ Für den Winkel brauchst du die Ableitung von $f(x)$ and der gegebenen Stelle.

$\qquad\qquad\qquad$ Bilde die Ableitung von $f(x)$: $f'(x)= \Large \frac{3}{16}\cdot x $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze einmal $-8$ und $8$ um den Tangens des Winkels zu bekommen, mit der die Parabel

$\qquad\qquad\qquad$ an die Halbparabeln stößt.

$\qquad\qquad\qquad$ – Links: $tan(\alpha)=f'(-8)= \Large \frac{3}{16}\cdot $ $(-8)=-1,5\:\: \longrightarrow\:\: \underline{ \alpha=tan^{-1}(-1,5)\approx -56,31^{\circ}}$

$\qquad\qquad\qquad$ – Rechts: $tan(\beta)=f'(8)= \Large \frac{3}{16}\cdot $ $(8)=-1,5\:\: \longrightarrow\:\: \underline{ \beta=tan^{-1}(1,5)\approx 56,31^{\circ}}$


$\qquad\qquad$ * Unter welchem Winkel stoßen die Seitenkanten auf den Holzstiel?

$\qquad\qquad\qquad$ Bilde die Ableitung von $\Large g_{Links}(x)$ und $\Large g_{Rechts}(x)$:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Large g’_{Links}(x)= \frac{2}{9}\cdot 2\cdot (x+8) = \frac{4}{9}\cdot (x+8) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Large g’_{Rechts}(x)= \frac{2}{9}\cdot 2\cdot (x-8) = \frac{4}{9}\cdot (x-8) $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze jetzt $-2$ Links und $2$ Rechts ein.

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ – Links: $ \Large g’_{Links}(-2)= \frac{4}{9}\cdot (-2+8)= \frac{8}{3}\approx2,67 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $tan(\gamma)=2,67 \longrightarrow \underline{ \gamma=tan^{-1}(2,67)=69,46^{\circ}}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ – Rechts: $ \Large g’_{Rechts}(2)= \frac{4}{9}\cdot (2-8)= -\frac{8}{3}\approx -2,67 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $tan(\delta)=-2,67 \longrightarrow \underline{ \delta=tan^{-1}(-2,67)=-69,46^{\circ}}$