Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung der Parabel?

$\qquad\:\:\:\:$ die Gleichungen und deren Bedingungen:

$\qquad\qquad$ $ \Large * \:\:f(x)= \frac{6}{x}=6\cdot x^{-1} \longrightarrow f'(x)= -6x^{-2}= \Large -\frac{6}{x^2} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} f(2)= \Large \frac{6}{2} = 3\\ \\ f'(2)= \Large -\frac{6}{2^2}=-\frac{6}{4} = -1,5 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \Large * \:\:g(x)=ax^2+c \longrightarrow g'(x)=2ax $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} g(2)= \large a\cdot 2^2+c=4\cdot a+c\\ \\ g'(2)= \large 4\cdot a \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ f(2)=g(2) \Longrightarrow 3=4a+c \:\: (I) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ f'(2)=g'(2) \Longrightarrow -1,5=4a \longrightarrow \underline{a=-0,375} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Setze $a=-0,375$ in $(I)$: $\Longrightarrow 3=4(-0,375)+c \longrightarrow \underline{c=4,5} $

$\qquad\qquad$ Die Gleichung Parabel lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)=-0,375x^2+4,5 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Unter welchem Winkel unterquert der neue Kanal die von Westen nach Osten
$\qquad\qquad$ verlaufende Straße?

$\qquad\qquad$ Der neue Kanal unterquert die von Westen nach Osten verlaufende Straße $g(x)=0$

$\qquad\qquad$ $ g(x)=0 \Longrightarrow -0,375x^2+4,5=0 \longrightarrow x^2=12 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow x=\pm2\sqrt{3}\\ $

$\qquad\qquad$ $g(x)=-0,375x^2+4,5 \Longrightarrow g'(x)=-0,75x$

$\qquad\qquad$ Berechne den Winkel an der Stelle $x=\pm2\sqrt{3}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $tan(\alpha)=g'(2\sqrt{3})=-0,75(2\sqrt{3})= -2,598 \longrightarrow \underline{ \alpha=|tan^{-1}(-2,598)| \approx68.95^{\circ}}$

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Südlich der Straße soll der Kanal geradlinig weitergeführt werden.
$\qquad\qquad$ Wie lautet die Gleichung des Kanals in diesem Bereich (Funktion $h$)?

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ Geradelinig $\Longrightarrow h(-2\sqrt{3})=g'(-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})+g(-2\sqrt{3})$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} g'(-2\sqrt{3})=-2,589\\ \\ g(-2\sqrt{3})=-0,375(-2\sqrt{3})^2=0 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow h(x)=-2,598(x-2\sqrt{3})+0=-2,598x-8,99\approx 2,6x+9 $


$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \Large \underline { h(x)=-2,6x+9 } $

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Trifft die Weiterführung des Kanals auf die Stadt $S(- 6 | – 9)$?
$\qquad\qquad$ $h(-6)=2,6(-6)+9\approx -6,6 \longrightarrow$ die Funkktion $h(x)$ geht durch $(-6|-6,6)$ und nicht $(-6|-9)$


$\qquad\qquad$ Die Weiterführung des Kanals trifft nicht auf die Stadt $\Large s(-6|-9)$