Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie lautet die Gleichung der kubischen Funktion?

$\qquad\:\:\:\:$ Für die kubischen Funktion $f$ gilt die Gleichung:

$\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $, $\:/\:a,\: b,\: c\:$ und $d\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 3ax^2 &+& 2bx &+& c\\ \\ f^{”}(x) &=& 6ax &+& 2b \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. $f(0)=4$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. $f(10)=10$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. $f'(10)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 4. $f(40)=10$


$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d &=& 4 \\ \\ a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) + d &=& 10 \\ \\ 3a(10)^2 + 2b(10) + c &=& 0 \\ \\ a(40)^3 + b(40)^2 + c(40) + d &=& 10 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} d = 4\\ \\ 1000a &+& 100b &+& 10c &+& 4 &=& 10 &(I)\\ \\ 300a &+& 20b &+& c &=& 0 &(II)\\ \\ 64000a &+& 1600b &+& 40c &+& 4 &=& 10 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Löse mit Additionsverfahren und daraus ergibt sich die Lösung:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline{ a=0,0015} \:\:|\:\: \underline{ b=-0,09} \:\:|\:\: \underline{ c=1,35} \:\:|\:\: \underline{ d=4} $


$\qquad\:\:$ Die kubische Funktion lautet:

$\qquad \qquad $ $ \underline { \Large f(x)=0,0015x^3-0,09x^2+1,35x+4 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie lautet die Gleichung der quadratischen Parabel?

$\qquad\:\:\:\:$ Für die Parabel $g$ gilt die Gleichung:

$\qquad\qquad$ $ \Large g(x)=ux^2+vx+w $, $\:/\:u,\: v,$ und $w\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} g'(x) &=& 2ux &+& v\\ \\ g^{”}(x) &=& 2u \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. $g(40)=10$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. $g'(40)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. $g(50)=0$


$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} u(40)^2 + v(40) + w &=& 10 \\ \\ 2u(40) + v &=& 0 \\ \\ u(50)^2 + v(50) + w &=& 0 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 1600u &+& 40v &+& w &=& 10 &(I)\\ \\ 80u &+& v &=& 0 &(II)\\ \\ 2500u &+& 50v &+& w &=& 0 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Löse mit Additionsverfahren und daraus ergibt sich die Lösung:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline{ u=-0,1} \:\:|\:\: \underline{ v=8} \:\:|\:\: \underline{ w=-150} $


$\qquad\:\:$ Die Parabel lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large g(x)=-0,1x^2+8x-150 } $

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Wie hoch ist der tiefste Punkt des Daches im Bereich der kubischen Dachhaut? $ \Large \alpha $
$\qquad\qquad\qquad$ Der tiefste Punkt $\Longrightarrow$ $f'(x)=0\:\:\:\ |\:\:\:f'(x) = 0,0045\cdot x^2-0,18\cdot x + 1,35$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 0,0045\cdot x^2-0,18\cdot x + 1,35 = 0 $

$\qquad\qquad\qquad$ Löse mit quadratische Ergänzung oder p-q-Formel

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Daraus ergibt sich die Lösung: $x=30\:m$

$\qquad\qquad$ Der tiefste Punkt des Daches ist: $ \underline{h=4\:m} \iff \begin{cases} h(0) &=& 4\:m \\ \\ h(30) &=& 4\:m \end{cases} $

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wie steil ist das Dach am linken/rechten Rand und an der Dachspitze?
$\qquad\qquad$ * Links hast du: $f'(0)=1,35 \Longrightarrow tan^{-1}(1,35)\approx \underline{53,5^{\circ}}$

$\qquad\qquad$ * Recht hast du: $g'(50)=28 \Longrightarrow tan^{-1}(28)\approx \underline{87,9^{\circ}}$

$\qquad\qquad$ * An der Dachspitze hast du: $f'(40)=1,35 \Longrightarrow tan^{-1}(1,35)\approx \underline{53,5^{\circ}}$

Lösung zu e)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ e) Welche Bereiche des Daches sind schwer begehbar?
$\qquad\qquad$ $f'(x)=tan(40^{\circ})=\pm0,83909$

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f'(x)=-0,8391\\ \\ oder\\ \\ f'(x)=+0,8391 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ * $f'(x)=-0,8391 \Longrightarrow 0,0045x^2-0,18x+1,35=-0,8391 \longrightarrow$ keine Lösung

$\qquad\qquad$ * $f'(x)=0,8391 \Longrightarrow 0,0045x^2-0,18x+1,35=0,8391 \longrightarrow \begin{cases} x_1=36,925\:m\\ \vee\\ x_2=3,075\:m \end{cases} $


$\qquad\qquad$ $g'(x)=tan(40^{\circ})=\pm0,83909$

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} g'(x)=-0,8391\\ \\ oder\\ \\ g'(x)=+0,8391 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ * $g'(x)=-0,8391 \Longrightarrow -0,2x+8=-0,8391 \longrightarrow x=44,196\:m$

$\qquad\qquad$ * $g'(x)=0,8391 \Longrightarrow -0,2x+8=0,8391 \longrightarrow x=35,804\:m $


$\qquad\qquad$ Damit sind folgende Bereiche schwer begehbar:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ [0;3,075],\:\: [35,804/36,925;40],\:\: [44,196;50] $