Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gleichung der quadratischen Parabel?

$\qquad\:\:\:\:$ Für die Parabel $f$ gilt die Gleichung (Achsensymmetrie $\longrightarrow$ gerade Funktion):

$\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^2+b $, $\:/\:a,\:$ und $b\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 2ax\\ \\ f^{”}(x) &=& 2a \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. $f(0)=50-60$ (Scheitelpunkt)

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow a(0)^2+b=-10 \Longrightarrow \underline{b=-10}$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. $f(50)=-60$ (Fußpunkt)

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow a(50)^2-10=-60 \qquad |+10$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 2500a=-50 \qquad\:\:\:\:\:\:\: |:2500 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \underline { a= \large -\frac{1}{50} = -0,02 } $


$\qquad\qquad$ Die Parabel lautet:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)=-0,02x^2-10 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Höhe der Brückenpfeiler, welche die Fahrbahn tragen

$\qquad\:\:\:\:$ * Zwischen $25$ und $50$ liegt: $\large \frac{25+50}{2}$ $=37,5$

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $f(37,5)=-0.02(37,5)^2-10=-38,125\:m$, als Länge $\longrightarrow |-38,125\:m|=\underline{38,125\:m}$

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $f(25)=-0.02(25)^2-10=-22,5\:m$, als Länge $\longrightarrow |-22,5\:m|=\underline{22,5\:m}$

$\qquad\:\:\:\:$ * Zwischen $0$ und $25$ liegt: $\large \frac{0+25}{2}$ $=12,5$

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $f(12,5)=-0.02(12,5)^2-10=-13,125\:m$, als Länge $\longrightarrow |-13,125\:m|=\underline{13,125\:m}$

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $f(0)=-0.02(0)^2-10=-10\:m$, als Länge $\longrightarrow |-10\:m|=\underline{10\:m}$

$\qquad$ Die Parabel ist Achsensymmetrisch $\Longrightarrow$ die gleiche Länge zwischen $[-50;0]$

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Fahrbahn zwischen A und B
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für $\alpha=45^{\circ},\: \gamma=45^{\circ}$

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Mit Satz des Pythagoras: $tan(45^{\circ})=\large \frac{x_2}{60}$ $\Longrightarrow x_2=60\:m$ $(x_2=x_1)$

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Die Fahrbahn entspricht der Sehne zwischen $AB$ $A(x_1-50=−110)$ und $B(x_2+50=110)$.

$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Die Länge der Fahrbahn ist einfach die horizontale Distanz:

$\qquad$ Fahrbahnlänge$_{AB}=\underline {110−(−110)=220\:m}$

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Unter welchem Winkel $\alpha$ trifft der Brückenbogen die Böschungslinien?
$\qquad\:\:\:\:$ Die Steigung der Parabel wird durch die Ableitung $f'(x)$ gegeben.
$\qquad\:\:\:\:$ Für die Böschung $(x=−50)$ oder $(x=50)$:

$\qquad\:\:\:\:$ $f'(x)= $ $ \large -\frac{2}{50}\cdot x=-\frac{1}{25}\cdot x $

$\qquad\:\:\:\:$ Für $x=50,\: f'(50)=$ $ \large -\frac{1}{25}\cdot (50) $ $ =-2 $

$\qquad\:\:\:\:$ Der Tangens des Winkels $\alpha$ ist die Steigung: $tan(\alpha)=|f'(50)|=2$

$\qquad$ Um den Winkel zu berechnen: $\underline{ \alpha=tan^{-1}(2)\approx63,43^{\circ} }$