Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichung der Parabel?

$\qquad\:\:\:\:$ Für die Parabel $f$ gilt die Gleichung:

$\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^2+bx+c $, $\:/\:a,\:$ und $b\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 2ax+b\\ \\ f^{”}(x) &=& 2a \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. $f(0)=2$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow a(0)^2+b(0)+c=2 \Longrightarrow \underline{c=2}$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. $f'(9)=0$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow 2a(9)+b=0 \Longrightarrow 18a+b=0 \:\:(I)$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. $f(20)=0$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\longrightarrow a(20)^2+b(20)+2=0 \Longrightarrow 400a+20b=-2 \:\:(II)$

$\qquad\qquad\qquad$ Löse das Gleichungssystem

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 18a+b &=& 0 &(I)\\ \\ 400a+20b &=& -2 &(II) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Per Additionsverfahren:

$\qquad\qquad\qquad$ $ (I)-20(II) \Longrightarrow -2a=0,1 \longrightarrow \underline{a=-0,05} $

$\qquad\qquad\qquad$ $a=-0,05$ in $(I) \Longrightarrow 18(-0,05)+b=0 \longrightarrow \underline{b=0,9} $


$\qquad\qquad$ Die Parabel lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)=-0,05x^2+0,9x+2 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie groß war der Abwurfwinkel? Wie groß war der Aufschlagswinkel?

$\qquad\:\:\:\:$ Der Abwurf- und Aufschlagswinkel werden aus der Steigung der Parabel berechnet.
$\qquad\:\:\:\:$ Dazu nutzen wir die Ableitung der Funktion: $f'(x)=-0,1x+0,9$

$\qquad\:\:\:\:$ * Abwurfwinkel $(x=0)$:
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow f'(0)=-0,1(0)+0,9=0,9 $, also $ tan(\alpha)=0,9 \longrightarrow $ $ \underline { \alpha=tan^{-1}(0,9)=4,98^{\circ} } $

$\qquad\:\:\:\:$ * Aufschlagswinkel $(x=20)$:
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow f'(20)=-0,1(20)+0,9=-1,1 $, also $ tan(\alpha)=-1,1 \longrightarrow $ $ \underline { \alpha=tan^{-1}(-1,1)=-47,72^{\circ} } $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \underline { | \alpha|=47,72^{\circ} } $

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c)
$\qquad\qquad$ * Wie groß ist die Wurfweite?

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ Gegebene Bedingungen für die neue Funktion: $f(x)=ax^2+bx+c$

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ 1. $f(0)=2$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $\longrightarrow a(0)^2+b(0)+c=2 \Longrightarrow \underline{c=2}\:\: (I)$

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ 2. $f'(9)=0$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $\longrightarrow 2a(9)+b=0 \Longrightarrow 18a+b=0 \:\:(II)$

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ 3. $f'(0)=1$, da $\alpha=45^{\circ}$ und $tan(\alpha)=1$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $\longrightarrow 2a(0)^2+b=1 \Longrightarrow \underline{b=1}\:\:(III)$

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $(III)$ in $(II)$ $\Longrightarrow 18a+1=0 \longrightarrow$ $ \underline { a= \large -\frac{1}{18} } $


$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ Die neue Funktion lautet: $ \underline { \Large f(x)= -\frac{1}{18}\cdot x^2+x+2 } $

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ Die Würfweite lässt sich für $f(x)=0$ rechen:

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $f(x)=0 \Longrightarrow $ $ \large -\frac{1}{18} $ $x^2+x+2=0\:\:|\cdot (-18)$

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $x^2-18x-36=0$ und mit p-q-Formel: $ \begin{cases} x_1=-1,817\:\: nicht\: realistisch!!!\\ \\ oder\\ \\ x_2=19,818 \end{cases} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $\Longrightarrow$ Die Würfweite entspricht: $\large \underline {x\approx19,82\:m}$


$\qquad\qquad$ * Wie groß ist der Aufschlagwinkel?

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ Die Ableitung lautet: $f'(x)$ $ = \large -\frac{1}{9}x+1 $

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ Für den Aufschlagwinkel gilt $tan(\gamma)=f'(19,82)$

$\qquad\qquad\qquad$ $f'(19,82)=$ $ \large -\frac{1}{9}$ $(19,82)+1=-1,20$

$\qquad\qquad\qquad$ $tan(\gamma)=-1,20 \Longrightarrow \gamma=tan^{-1}(-1,20) \longrightarrow \gamma=-50,246^{\circ}$

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $\Longrightarrow$ Der Aufschlagwinkel entspricht: $\large \underline {\gamma\approx-50,25^{\circ}}$


$\qquad\qquad$ * Welche maximalöhe erreicht die Kugel??

$\qquad\qquad\qquad$ Die maximal Höhe beträgt: $f(9)$ $ =\large -\frac{1}{18}\cdot $ $ 9^2+9+2=6,50 $

$\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $\Longrightarrow$ Die maximal Höhe der Kugel: $\large \underline {h=6,50\:m}$