Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bahnkurve des Fluges

$\qquad$ $\large f(x)=ax^4+cx^2+e$, da die Funktion 4. Grades und symmetrisch ist.

$\qquad\qquad$ $f'(x)=4ax^3+2cx$

$\qquad$ Gegebenen Bedingungen

$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Hochpunkt \:\:H(0/1,2) \longrightarrow \underline{ \large e=1,2} \:\:(I)\\ \\ Tiefpunkt \:\: T(2/0) \Longrightarrow f'(2)=0 \iff 32a+4c=0 &(II)\\ \\ Punkt \:\: P(3/1,65) \Longrightarrow f(3)=1,65 \iff 81a+9c=0,45 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Rechne $9\cdot(II)-4\cdot(III) \Longrightarrow \begin{cases} 288a &+& 36c &=& 0\\ \\ -324a &-& 36c &=&-1,8\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $-36a\qquad\qquad\:\:\:\:=\:\:\:-1,8\:\:\:\:|\: :(-36)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: \underline{ \large a=\: \frac{1}{20}=0,05}$

$\qquad\qquad$ Setze $\large a=0,05$ in $(II)$ ein $\Longrightarrow 32\cdot(0,05)+4c=0 \longrightarrow \underline{ \large c=-0,4}$


$\qquad$ Die Bahnkurve des Fluges lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=0,05x^4-0,4x^2+1,2 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie groß ist die kleinste Flughöhe?

$\qquad$ Die kleinste Flughöhe befinden sich bei bei $\large x=-2$ und $\large x=2$.
$\qquad$ Setze nun diese Werte in das Polynom ein:

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \begin{cases} f(-2)=0,05(-2)^4-0,4(-2)^2+1,2=0,4\\ \\ f(2)=0,05(2)^4-0,4(2)^2+1,2=0,4 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \:\: \longrightarrow \:\: f(-2)=f(2)=0,4=40\:\:Meter $


$\qquad$ Die kleinste Flughöhe ist $\underline{ \large 40\:\:Meter}$ groß.

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wo ist die Flugbahn am steilsten?

$\qquad$ Die Stelle entspricht dem Betrag der maximalen Steigung,
$\qquad$ also dem Maximum von $|f'(x)|$

$\qquad\qquad$ Berechne der Wendepunkt von $f$:

$\qquad\qquad \qquad$ $f'(x)=0,2x^3-0,8x \qquad | \qquad f^{”}(x)=0,6x^2-0,8$

$\qquad\qquad \qquad$ $ f^{”}(x)=0 \Longrightarrow 0,6x^2-0,8=0 \longrightarrow \begin{cases} x=-1,15\\ \\ oder\\ \\ x=1,15 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Die Flugbahn am steilsten bei $\underline{ \large x=\pm1,15}$

$\qquad\qquad \qquad$ Also: $ |f'(1,15)|=0,2(1,15)^3-0,8(1,15)=0,615 $

$\qquad\qquad \qquad$ $ \Longrightarrow tan(\alpha)=0,615 \iff \alpha=tan^{-1}(0,615)=31,59^{\circ} $

$\qquad\qquad$ Der Steigungswinkel ist $\underline{ \large \alpha=31,59^{\circ}}$ groß.

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Zeichne den Graphen von $f$