Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Trifft\: die\: Belüftungsbohrung\: b\: den\: Überlaufkanal\: k? $

$\qquad\:\:$ $ M \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ N \begin{pmatrix} 14\\2\\-10 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ A \begin{pmatrix} 11\\0\\-9 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ T \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{\text{v}}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ $ Gleichung\: der\: Geraden\: k: \overrightarrow{\text{MA}} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ k:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 11-8\\0-12\\-9+6 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} } $

$\qquad\qquad$ $ Gleichung\: der\: Geraden\: b: \overrightarrow{\text{Tv}} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ b:\: \overrightarrow{\text{x}}= \underline { \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} } $


$\qquad\:\:$ $ Untersuchen\: des\: Schnittpunktes\: k\: und\: b $

$\qquad\qquad$ $ k=b\:\: \iff\:\: \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ $ Ensteht\: ein\: LGS,\: nach\: r\: und\: s\: zu\: lösen: $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{aligned} \begin{cases} 8 &+& 3r &=& 8 &+& s &(1)&\\ \\ 12 &-& 12r &=& 2 &+& s &(2)&\\ \\ -6 &-& 3r &=& 0 &-& 4s &(3)& \end{cases} \end{aligned} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ (1)-(2) \Longrightarrow \begin{cases} 8 &+& 3r &=& 8 &+& s\\ \\ -12 &+& 12r &=& -2 &-& s\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -4\quad+\quad15r\quad=\quad6 \quad\quad|+4 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \quad\:\:\:15r\quad=\quad10 \quad\:\:|:15 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \quad\quad\:\:\:r\quad=\quad $ $ \large { \frac{2}{3} } $ $ \:\:\:\: \Longrightarrow \:\:\:\: $ $ \underline { r \quad=\quad0,667 } \:\:\:\:(4) $

$\qquad\qquad$ $ (4)\:\:\:\: in \:\:\:\: (3)\:\:\:\: \iff \:\:\:\: -6 \quad-\quad 3(0,667) \quad=\quad -4s $

$\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:$ $ \iff \:\:\:\: -8 \quad=\quad -4s \quad\:\:|:(-4) $

$\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $ \Longrightarrow \:\:\:\: \underline { 2 \quad=\quad s } $

$\qquad\qquad$ $ Das\: LGS\: hat\: Lösungen\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: Es\: gibt\: ein\: Schnittpunkt\: S $

$\qquad\qquad$ $ r\: und\: s\: in\: eine\: der\: beiden\: Geraden\: einsetzen $

$\qquad\qquad\qquad$ $ in\: k: \begin{cases} x &=& 8 &+& 0,667(3) &=& 10\\ \\ y &=& 12 &+& 0,667(-12) &=& 4\\ \\ z &=& -6 &+& 0,667(-3) &=& -8 \end{cases} \:\:\:\: \iff \:\:\:\: Schnittpunt\:\:\:\: \underline { S \begin{pmatrix} 10\\4\\-8 \end{pmatrix} } $

$\qquad\qquad$ $ Ja,\: die\: Belüftungsbohrung\: b\: trifft\: den\: Überlaufkanal\: k\: bei\: r = \frac{2}{3} $

Lösung b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Wie\: lang\: muss\: der\: Bohrer\: sein? $

$\qquad\:\:$ $ *\: Die\: Länge\: des\: Bohrers\: entspricht\: der\: Entfernung\: zwischen\: T\: und\: den\: Treffpunkt\: S $

$\qquad\qquad\qquad$ $ T \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix},\qquad S \begin{pmatrix} 10\\4\\-8 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ Länge=\sqrt{(10-8)^2+(4-2)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{72}\approx8,49\:LE $

$\qquad\qquad\qquad$ $ 1\: LE=100\:m \Longrightarrow \underline{L=849\: Meter}\: (Dreisatz) $

Lösung c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Zeige\: dass\: die\: Versorgungsleitung\: g\: weder\: k\: noch\: b\: trifft. $

$\qquad\qquad$ $g$ Verläuft von $E$ zu $N$ (Am Oberfläche ist $z=0$)

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff g_{EN}: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 14-8\\2-12\\-10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 6\\-10\\-10 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ Schnittpunkt von $g$ und $k$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 6\\-10\\-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} +u\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 8 &+& 6t &=& 8 &+& 3u &(1)&\\ \\ 12 &-& 10t &=& 12 &-& 12u &(2)&\\ \\ 0 &-& 10t &=& -6 &-& 3u &(3)& \end{cases} $ $\:\:\: \Longrightarrow\:\:$ Keine Lösung für $t$ und $u$

$\qquad\qquad\qquad$ Es gibt keine Schnittpunkt zwischen $g$ und $k$

$\qquad\qquad\qquad$ Dasselbe Verfahren zeigt, dass $g$ die Bohrung $b$ ebenfalls nicht schneidet.

$\qquad\qquad$ $ \iff\:\: $ Die Versorgungsleitung $g$ trifft weder $k$ noch $b$.

Lösung d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wie lange dauert das Bohren von $g$, bei einem Vortrieb von $20 cm/min$?.

$\qquad\qquad\qquad$ Die Länge von $g$ ist die Distanz zwischen $E \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: N \begin{pmatrix} 14\\2\\-10 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad$ Länge von $g$ oder Strecke:

$\qquad\qquad\qquad$ $S=\sqrt{(14-6)^2+(2-12)^2+(-10-0)^2}=\sqrt{236}\approx15,36$ LE
$\qquad\qquad\qquad$ Für 1 LE $=100$ m, ist $S=1536$ m

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large { v=\frac{S}{t} } $ $ \:\:\:\: \iff \:\:\:\: t= $ $ \large { \frac{S}{v}=\frac{1536 m}{0,2 m/min} } $ $=7680\:Minuten=128\:Stunden$

$\qquad\qquad$ Das Bohren von $g$ dauert also etwa $\underline{128\: Stunden}$