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Radschikane - Rekonstruktion von Funktionen



Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichung der Profilkurve, wenn die Übergangspunkte versatz- und
$\qquad \qquad$ knickfrei sein sollen.


$\qquad$ Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades der Form:

$\qquad \qquad $ $\large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad|\qquad \large f'(x)=3ax^2+2bx+c$

$\qquad$ Gegebenen Bedingungen

$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(0)=0 \longrightarrow \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ f'(0)=0 \Longrightarrow \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ f(4)=4 \longrightarrow a\cdot(4)^3+b\cdot(4)^2+c\cdot4=4 \:\:(III)\\ \\ f'(4)=0 \longrightarrow 3a\cdot(4)^2+2b\cdot(4)+c=0 \:\:(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ 64a+16b=4 \:\:&(III)\\ \\ 48a+8b=0 \:\:&(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Rechne $(III)-2\cdot(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4\\ \\ -96a &-& 16b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-32a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:4\:\:|\: :(-32)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: -\frac{4}{32}=-\frac{1}{8}}$

$\qquad\qquad$ Setze $\large a=-\frac{1}{8}$ in $(IV)$ ein $\Longrightarrow 48\cdot(-\frac{1}{8})+8b=0\:\:|(+6)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 8b=-6\:\:|:8$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=\frac{3}{4}}$


$\qquad$ Die Gleichung der Profilkurve lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2 } $


Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Bahn soll nirgends steiler als $60^{\circ}$ sein. Wird diese Auflage erfüllt?

$\qquad\:\:$ Maximale/Minimale Steigung an den Randpunkte $(\large x=4)$ und $(\large x=0)$

$\qquad \qquad$ $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\\ \\ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x\\ \\ f {\prime} {\prime} (x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \end{cases} $

$\qquad \qquad$ Um die maximale Steigung zu finden, setze $f{\prime}{\prime}(x)=0$

$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ f{\prime}{\prime}(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \longrightarrow $ $ \large x=2 $

$\qquad \qquad\:\:\:\:$ Setze $ \large x=2 $ in $ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x $

$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)= \large -\frac{3}{8}(2)^2+\frac{3}{2}(2)= \frac{3}{2}=1{,}5 \longrightarrow $ $ \underline{f{\prime}(2)=1,5} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)=1,5\:\: < \:\: tan(60^{\circ})\approx1,732 \iff 1,5<1,732 $

$\qquad\qquad\qquad$ Also, die Steigung der Kurve überschreitet nirgends den Wert $60^{\circ}$

$\qquad$ $ \Longrightarrow $ Die Bahn ist nirgends steiler als $60^{\circ}$. Die Auflage wird erfüllt.


Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ist die Funktion $f(x)=\large \frac{1}{4}x^2+x-1$ geeignet, a) und b) zu erfüllen?

$\qquad\:\:$ Analysiere die Steigungen der beiden Funktionen

$\qquad \qquad$ Ableitungen: $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x &(I)\\ \\ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1 &(II) \end{cases} $

$\qquad \qquad$ Die Steigung sollte den Wert von $tan(60^{\circ})\approx1,732$ nicht überschreiten.

$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ \begin{cases} Für\: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2},\:\: \Bigg\downarrow f{\prime}{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: f{\prime}{\prime}(x)=0 \iff \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0 \longrightarrow x=2\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: Die\:Steigung\:f'(2)=1,5<1,732\:(tan(60^{\circ}))\\ \\ \Longrightarrow Die\:Funktion\:(I)\:erfüllt \:die \:Bedingung, \:dass \:die \:Steigung \:nirgends \:steiler \:als \:60^{\circ} \:ist.\\ \\ \\ Für\: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1,\\ \Longrightarrow Die \:Funktion\: (II)\: hat\: eine\: lineare\: Ableitung,\: die\: ohne\: Intervallbeschränkung\: unendlich\\ groß\: werden\: kann\: und\: somit\: die\: Steigungsbedingung\: von \:60^{\circ}\: nicht\: erfüllt. \end{cases} $

$\qquad$ Daher ist die Funktion $ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1 $ nicht geeignet, a) und b) zu erfüllen.

$\qquad$ Skizze:

$\qquad$