Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gegeben:
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Startpunkt:\:\: P\begin{pmatrix} -4\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Endpunkt:\:\: Q\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Horizontale\: Geschwindigkeit:\:\: v_{x}=50\:\: m/s $


$\qquad\:\:$ a) Modelliere die Flugbahn mit einer Funktion dritten Grades: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\:\:$ 1. $f(-4)=1$: Die Höhe ist 1 km bei $x=-4$
$\qquad\qquad\:\:$ 2. $f(0)=0$: Die Höhe ist o km bei $x=0$
$\qquad\qquad\:\:$ 3. $f'(-4)=0$: Der Sinkflug beginnt waagerecht, also ist die Steigung bei $x=−4$ null.
$\qquad\qquad\:\:$ 4. $f'(0)=0$: Der Sinkflug endet waagerecht, also ist die Steigung bei $x=0$ null.

$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\:\:$ $f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad\qquad\:\:$ $f^{”}(x)=6ax+2b$

$\qquad\qquad$ Funktion aufstellen. Aus den Bedingungen ergibt sich:
$\qquad\qquad\:\:$ $ \begin{cases} f(-4)&=&1\:\: &\Longrightarrow\:\: &-64a+16b-4c+d=1 &(I)\\ f(0)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &d=0 &(II)\\ f'(-4)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &48a-8b+c=0 &(III)\\ f'(0)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &c=0 &(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Setze $(II)$ und $(IV)$ in $(I)$ und $(III)$

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Bleiben: $ \begin{cases} -64a&+&16b&=&1 &(I)\\ 48a&-&8b&=&0 &(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $(I)+2\cdot(III) \Rightarrow\:\: \begin{cases} -64a&+&16b&=&1\\ 96a&-&16b&=&0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 32a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:1\:\:\: \Longrightarrow\:\: \underline { \underline { a= \large \frac{1}{32} }} \:\:(V) $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ (V)\:\: in\:\: (I):\:\: \Longrightarrow\:\: -64( \large \frac{1}{32} ) $ $ +16b=1 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff -2+16b=1\qquad|\:\:+2 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 16b=3\:\: \Longrightarrow\:\: \underline { \underline { b= \large \frac{3}{16} }} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Flugbahn (Funktionsgleichung lautet: $ \underline { \underline { f(x)= \large \frac{1}{32} \cdot x^3+ \large \frac{3}{16} \cdot x^2 }} $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Steilster Punkt der Flugbahn
$\qquad\qquad\:\:$ Die Steigung $ f'(x)= \large \frac{3}{32} \cdot x^2+ \large \frac{6}{16} \cdot x = \large \frac{3}{32} \cdot x^2+ \large \frac{3}{8} \cdot x $

$\qquad\qquad\:\:$ Die Flugbahn fällt im Wendepunkt von $f$ am Steilsten ab

$\qquad\qquad\qquad$ * Wendepunkt $ f^”(x)=0 \Longrightarrow \large \frac{3}{16} \cdot x+ \large \frac{3}{8} $ $ =0 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff 3x+6=0\:\:\:\:|\:\:\:\:(-6) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff 3x=-6\:\:\:\:\:\:\:\:|\:\:\:\:(:3)\:\: \Longrightarrow \:\: $ $ \underline { \underline { x=-2 }} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ f(-2)= \large \frac{1}{32} $ $ \cdot (-2)^3+ $ $ \large \frac{3}{16} $ $ \cdot (-2)^2 =0,5 $

$\qquad\qquad\qquad$ Der Wendepunkt ist also: $ \underline{ \underline{ w \begin{pmatrix} -2\\0,5 \end{pmatrix} }} $


$\qquad\qquad\qquad$ * Berechnung des Abstiegswinkels and der Stelle $x=-2$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ tan(\alpha)=\lvert \large \frac{3}{32} $ $ \cdot (-2)^2+ $ $ \large \frac{3}{8} $ $ \cdot (-2)\rvert =0,375 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff\:\: \alpha=tan^{-1}(0,375) \:\: \Longrightarrow \:\: \alpha\approx20,56^{\circ} $


$\qquad\qquad\qquad$ * Berechnung der Sinkgeschwindigkeit

$\qquad\qquad\qquad$