Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Quadratische Funktion des Verlaufs

$\qquad$ Die Parabel hat die Form: $\large f(x)=ax^2+bx+c$

$\qquad$ Gegebenen Bedingungen

$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-20)=150 \longrightarrow a\cdot(-20)^2+b\cdot(-20)+c=150\:\:(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ f(40)=300 \longrightarrow a\cdot(40)^2+b\cdot(40)=300 \:\:(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 400a – 20b = 150 \:\:&(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ 1600a + 40b = 300 \:\:&(III) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Rechne $(I)+(III):2 \Longrightarrow \begin{cases} 400a &-& 20b &=&150\\ \\ 800a &+& 20b &=&150\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $1200a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:300\:\:|\: :1200$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: \frac{300}{1200}=\frac{1}{4}}$

$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{4}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 1600\cdot(\frac{1}{4})+40b=300\:\:|(-400)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 40b=-100\:\:|:40$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=-\frac{100}{40}=-\frac{5}{2}}$


$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Bis zu welchem Punkt ist die Senke von oben einsehbar?

$\qquad\:\:$ Bekannten Punkten: $P_3(40|300)$ und $P_4(50|350)$

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Steigung: $ \Delta m= \Large \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{P_4}-y_{P_3}}{x_{P_4}-x_{P_3}}=\frac{350-300}{50-40}=\frac{50}{10} $ $ = 5 \longrightarrow \underline{\large m=5} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die $y$-Achsenabschitt: $ 300=5(40)+n \longrightarrow \underline{\large n=100} $

$\qquad\qquad$ Die Geradengleichung lautet: $\large y=5x+100$

$\qquad\:\:$ Schnittpunkt zwischen die Kurve und die Gerade ($\large f(x)$ und $\large y$) gleichsetzen

$\qquad\qquad$ $ 0,25x^2-2,5x=5x+100 \qquad\:\:\:\:|\:\: (-5x)/(-100) $

$\qquad\qquad$ $ \iff 0,25x^2-7,5x-100=0 \:\:\:\:|\:\: :(0,25) $

$\qquad\qquad$ $ \iff x^2-30x-400=0 $ und mit pq-Formel $ \large \begin{cases} x_1=-10\\ \\ x_2=40 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ f(-10)=5(-10)+100=50 \longrightarrow P_5(-10|50) $

$\qquad\:\:$ Die Senke ist von oben einsehbar bis zum Punkt $\underline{ \large P_5(-10|50)}$


$\qquad\:\:$ Graph der Funktion $\large f$