Tauchfahrt
Spurpunkte mit Anwendungen
Lösung
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schritt\: 1\: Bewegung\: des\: U-Boots $
$\qquad\:\:$ $ Das\: U-Boot\: startet\: bei\: P \begin{pmatrix} 100\\200\\0 \end{pmatrix} \: und\: bewegt\: sich\: mit\: einer\: Geschwindigkeit\: von\: 11,1\: Knoten $
$\qquad\:\:$ $ in\: Richtung\: des\: Ziels\: Z \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Geschwindigkeit\: in\: Knoten\: umgerechnet\: in\: km/h\: ist: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 11,1\: Knoten =11,1\cdot1,852\: km/h=20,55\:km/h $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Strecke\: vom\: Startpunkt\: P\: bis\: zum\: Zielpunkt\: Z\: beträgt: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Abstand=\sqrt{(500-100)^2+(400-200)^2+(-80-0)^2}=\sqrt{206400}\approx454,85\:km $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Zeit,\: die\: das\: U-Boot\: benötigt,\: um\: den\: Punkt\: Z\: zu\: erreichen,\: beträgt $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t= \Large { \frac{Abstand}{Geschwindigkeit}=\frac{454,85\:km}{20,55\:km/h} } $ $ \approx22,13\:Stunden $
$\qquad\:\:$ $ Während\: dieser\: Zeit\: taucht\: das\: U-Boot\: bis\: zu\: einer\: Tiefe\: von\: 80\: m $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schritt\: 2\: Bewegung\: der\: Tauchkugel $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Tauchkugel\: startet\: bei\: S \begin{pmatrix} 700\\800\\0 \end{pmatrix}\: und\: sinkt\: mit\: einer\: Geschwindigkeit $
$\qquad\:\:$ $ von\: 0,5 m/s\: senkrecht\: nach\: unten.\: Um\: die\: Geschwindigkeit\: in\: km/h\: umzurechnen: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 0,5\:m/s=0,5⋅3,6\:km/h=1,8\:km/h $
$\qquad\:\:$ $ Da\: die\: Tauchkugel\: senkrecht\: nach\: unten\: sinkt,\: hat\: ihre\: horizontale\: Position\: in\: x\: und\: y\: keine $
$\qquad\:\:$ $ Bewegung.\: Sie\: bewegt\: sich\: nur\: in\: der\: z-Achse\: nach\: unten. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Tiefe\: der\: Tauchkugel\: nach\: einer\: Zeit\: t\: ist\: gegeben\: durch: $
$\qquad\qquad\qquad$ $Z$ $_{Tauchkugel}=−1,8\:t $
$\qquad\:\:$ $ Vertikale\: Bewegung\: des\: U-Boots $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: U-Boot\: taucht\: mit\: einer\: Geschwindigkeit\: von\: 20,55\: km/h\: und\: erreicht\: eine\: Tiefe $
$\qquad\qquad\qquad$ $ von\: 80\: m\: (0,08\: km)\: bei\: Z \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Tauchstrecke\: in\: vertikaler\: Richtung\: beträgt\: also\: 0,08\: km. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Zeit\: t_U,\: die\: das\: U-Boot\: benötigt,\: um\: diese\: Tiefe\: zu\: erreichen,\: beträgt: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t_U= \Large { \frac{Höhendifferenz}{Geschwindigkeit}=\frac{0,08\:km}{20,55\:km/h} } $ $ \approx0,0039\: Stunden\approx14\:Sekunden $
$\qquad\:\:$ $ Nach\: 14 \:Sekunden\: erreicht\: das\: U-Boot\: die\: Tiefe\: von\: 80\: m.\: Danach\: fährt\: es\: horizontal\: weiter. $
$\qquad\:\:$ $ Vertikale\: Bewegung\: der\: Tauchkugel $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Tauchkugel\: sinkt \:mit\: 1,8\: km/h,\: was\: 0,5\:m/s\: entspricht. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: vertikale\: Position\: der\: Tauchkugel\: zu\: einem\: beliebigen\: Zeitpunkt\: t\: (in\: Stunden)\: ist: $
$\qquad\qquad\qquad$ $Z$ $_{Tauchkugel}=−1,8\:t\: km $
$\qquad\:\:$ $ Mit\: z=0,\: sinkt\: die\: Tauchkugel\: senkrecht\: und\: die\: Position\: kann\: nach\: jeder\: Zeit\: t\: berechnen\: werden $
$\qquad\:\:$ $ Horizontale\: Bewegung\: des\: U-Boots $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Nach\: 14\: Sekunden\: (0,0039\: Stunden)\: fährt\: das\: U-Boot\: weiter\: in\: der\: horizontalen\: Richtung. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Es\: bewegt\: sich\: in\: der\: Richtung \: \begin{pmatrix} 500\\400 \end{pmatrix},\: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ wobei\: die\: horizontale\: Geschwindigkeit\: unverändert\: 20,55\:km/h\: bleibt. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: horizontale\: Position\: des\: U-Boots\: nach\: einer\: Zeit\: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t\: (nach\: Erreichen\: der\: Tiefe\: von\: 80\:m)\: ist\: gegeben\: durch: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \vec{r}_U(t)= \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 20,5\\0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ Bedingungen\: für\: eine\: Kollision $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Damit\: eine\: Kollision\: zwischen\: dem\: U-Boot\: und\: der\: Tauchkugel\: stattfinden\: kann, $
$\qquad\qquad\qquad$ $ müssen\: sie\: sich\: zu\: einem\: bestimmten\: Zeitpunkt\: t\: im\: gleichen\: Punkt\: befinden, $
$\qquad\qquad\qquad$ $ sowohl\: horizontal\: als\: auch\: vertikal. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Vertikal:\: Das\: U-Boot\: bleibt\: in\: einer\: Tiefe\: von\: z=−80\:m,\: nachdem\: es\: getaucht\: ist. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ setze\: die\: vertikale\: Position\: der\: Tauchkugel\: gleich\: −80\:m \:(entspricht\: 0,08\: km): $
$\qquad\qquad\qquad$ $Z$ $_{Tauchkugel}=−1,8\:t\: km\:=-0,08\:km $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t=\frac{0,08}{1,8}=0,0444\: Stunden\approx160\: Sekunden $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Tauchkugel\: erreicht\: eine\: Tiefe\: von\: 80\: m\: nach\: 160\: Sekunden. $
$\qquad\:\:$ $ Horizontal:\: In\: der\: gleichen\: Zeit\: muss\: das\: U-Boot\: an\: einem\: Punkt\: ankommen, $
$\qquad\:\:$ $ der\: horizontal\: mit\: der\: Tauchkugel\: übereinstimmt. $
$\qquad\:\:$ $ Da\: die\: Tauchkugel\: ihre\: horizontale\: Position\: nicht\: ändert,\: bleibt\: sie\: bei \begin{pmatrix} 700\\800 \end{pmatrix}. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: horizontale\: Bewegung\: des\: U-Boots\: wird\: durch\: die\: Gleichung\: beschrieben: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \vec{r}_U(t)= \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 20,55\\0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ Nach\: t=0,0444\:Stunden\: (also\: 160\: Sekunden)\: bewegt\: sich\: das\: U-Boot\: horizontal\: um: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ x_{U-Boot}=500+20,55\cdot0,0444\approx500+0,91\approx500,91 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ y_{U-Boot}=400 $
$\qquad\:\:$ $ Das\: U-Boot\: wird\: sich\: also\: bei\: \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix}\: befinden,\: während\: die\: Tauchkugel\: bei\: \begin{pmatrix} 700\\800\\-80 \end{pmatrix}\: ist. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: beiden\: Flugbahnen\: schneiden\: sich\: nicht\:, da\: die\: Tauchkugel\: und\: das\: U-Boot\: sich\: sowohl $
$\qquad\:\:$ $ horizontal\: als\: auch\: vertikal\: zu\: unterschiedlichen\: Zeitpunkten\: in\: unterschiedlichen\: Positionen $
$\qquad\:\:$ $ befinden.\: \underline{Daher\: kommt\: es\: nicht\: zu\: einer\: Kollision\: zwischen\: dem\: U-Boot\: und\: der\: Tauchkugel.} $