Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie lautet die Gleichung der Parabel?

$\qquad\:\:\:\:$ Für die Parabel gilt eine Gleichung in der Form $ \Large f(x)=ax^2+bx+c $, $\:\:/\:\:a,\: b\:$ und $c\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 2ax &+& b\\ \\ f^{”}(x) &=& 2a \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Torlinie liegt bei $x=50$, dort ist die Höhe $h=0\:\: \Longrightarrow\:\: f(50)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. Der Ball startet bei $x=0$ auch mit der Höhe $h=0\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. Die maximale Höhe ($h_{max}=12,5\:m$), wird bei $x=25$ erreicht $\:\: \Longrightarrow\:\: f(25)=12,5$


$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^2 + b(0) + c &=& 0\:\: &\Longrightarrow\:\ c = 0\\ \\ a(50)^2 + b(50) &=& 0\:\: &\Longrightarrow\:\:2500a &+& 50b &=& 0 &(I)\\ \\ a(25)^2 + b(25) + &=& 12,5\:\: &\Longrightarrow\:\: 625a &+& 25b &=& 12,5 &(II) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Rechne $(I)-2\cdot(II)$

$\qquad\qquad\qquad $ $ (I)-2\cdot(II)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 2500a &+& 50b &=& 0\\ \\ -1250a &-& 50b &=& -25\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ 1250a \qquad\qquad\:\:\:\:\:=\:\:\:-25\:\:\:\:| :(1250) \:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=-0,02}} $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = -0,02$ in $(I)$ ein und rechne

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(II) \:\: \Longrightarrow \:\: 2500(-0,02)+50b=0 \:\:\:\: |\:\:(+50)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff \: 50b=50 \:\: |\:\::(50)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = 1 }} $


$\qquad\:\:$ Die Parabel lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=-0,02x^2+x } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Abwehrchance des Torwarts
$\qquad\qquad\:\:$ Der Torwart steht $3\:m$ vor dem Tor, also bei $x=47\:m$.
$\qquad\qquad\:\:$ Setze dies in die Parabelgleichung ein:

$\qquad\qquad\qquad$ $f(47)=-0,02(47)^2+47=2,82\:m$

$\qquad\qquad$ Da der Torwart mit der Hand $2,7\:m$ hoch erreicht den Ball nicht mehr.

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Abschußwinkel $ \Large \alpha $
$\qquad\qquad\qquad$ $f'(0)=2\cdot (-0,02)\cdot 0 +1=1$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff tan(\alpha)=1 $ $ \qquad \Longrightarrow \:\: \underline { \alpha=arctan(1)=45^{\circ} } $

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Maximaler Abschusswinkel
$\qquad\qquad$ neue Funktion bestimmen: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ mit:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(0)=0 &\Longrightarrow a\cdot 0^2+b\cdot 0+c &=& 0\\ \\ f(50)=0 &\Longrightarrow a\cdot 50^2+b\cdot 50+c &=& 0\\ \\ f(25)=15 &\Longrightarrow a\cdot 25^2+b\cdot 25+c &=& 15 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} c = 0\\ \\ 2500\cdot a+50\cdot b &=& 0 &(I)\\ \\ 625\cdot a+25\cdot b &=& 15 &(II) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Rechne $(I)-2\cdot(II)$

$\qquad\qquad\qquad $ $ (I)-2\cdot(II)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 2500a &+& 50b &=& 0\\ \\ -1250a &-& 50b &=& -30\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ 1250a \qquad\qquad\:\:\:\:\:=\:\:\:-30\:\:\:\:| :(1250) \:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=-0,024}} $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = -0,024$ in $(I)$ ein und rechne

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(I) \:\: \Longrightarrow \:\: 2500(-0,024)+50b=0 \:\:\:\: |\:\:(+60)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff \: 50b=60 \:\: |\:\::(50)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = 1,2 }} $


$\qquad\:\:$ Die neue Parabel lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=-0,024\cdot x^2+1,2\cdot x } $

$\qquad\qquad$ Daraus folgt: $f'(x)=-0,048\cdot x+1,2$

$\qquad\qquad\qquad$ Mit $ f'(0)=-0,048\cdot 0+1,2=1,2 $

$\qquad\:\:$ Abschußwinkel: $ \Large \underline { \alpha=tan^{-1}(1,2)\approx50,2^{\circ} } $