Lösung

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Polynomfunktion 3. Grades ist Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Fkt.)

$\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^3+bx $


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 3ax^2 &+& b\\ f^{”}(x) &=& 6ax \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Randbedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Kurve beginnt im Ursprung $(0,0)\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. Die Kurve endet bei $x=10,\: y=2\:\: \Longrightarrow\:\: f(10)=2$

$\qquad\qquad\qquad$ 4. Die Steigung am Ende ist $tan(0^{\circ})=0\:\: \Longrightarrow\:\: f'(10)=0$


$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0) &=& 0\\ \\ a(10)^3 + b(10) &=& 2\:\: \Longrightarrow\:\:1000a &+& 10b &=& 2 &(I)\\ \\ 3a(10)^2 + b + c &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: 300a &+& b &=& 0 &(II) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Rechne $(I)-10\cdot(II)$

$\qquad\qquad\qquad $ $ (I)-10\cdot(II)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 1000a &+& 10b &=& 2\\ \\ -3000a &-& 10b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ -2000a \qquad\qquad\:\:\:\:\:=\:2| :(-2000) \:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=-0,001}} $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = -0,001$ in $(I)$ ein und rechne

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(II) \:\: \Longrightarrow \:\: 1000(-0,001)+10b=2 \:\: |\:\:(+1)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ \iff \: 10b=3 \:\: |\:\:(10)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = 0,3 }} $


$\qquad\:\:$ Die Polynomfunktion lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=-0,001x^3+0,3x } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Zeige, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsruck erzeugt
$\qquad\qquad\:\:$ Die zweite Ableitung lautet: $f^{”}(x)=6ax+2b$

$\qquad\qquad\qquad$ Am Startpunkt, $x=0\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(0)=6\cdot(0,002)\cdot(0)+2\cdot(-0,08)=-0,16$

$\qquad\qquad\qquad$ Am Endpunkt, $x=10\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(10)=6\cdot(0,002)\cdot(10)+2\cdot(-0,08)=-0,04$

$\qquad\qquad\:\:$ Mit $\large f^{”}(0)\neq f^{”}(10)$, die Funktion erzeugt einen Krümmungsruck

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Modellierung mit einer Polynomfunktion fünften Grades:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 5ax^4 &+& 4bx^3 &+& 3cx^2 &+& 2dx &+& e\\ f^{”}(x) &=& 20ax^3 &+& 12bx^2 &+& 6cx &+& 2d \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Randbedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. Startpunkt liegt im Ursprung $ \:\:\Longrightarrow\:\: f(0)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. Endpunkt bei $x=10,\: y=4 \:\:\Longrightarrow\:\: f(10)=4$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. Anfangssteigung ist $tan(45^{\circ})=1 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(0)=1$

$\qquad\qquad\qquad$ 4. Endsteigung ist $tan(0^{\circ})=0 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(10)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 5. Krümmungskontinuität soll sichergestellt werden $\:\:\Longrightarrow\:\:f^{”}(0)=f^{”}(10)$

$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:


$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^5+b(0)^4+c(0)^3+d(0)^2+e(0)+f &=& 0\\ \\ a(10)^5+b(10)^4+c(10)^3+d(10)^2+e(10)+0 &=&4\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\\ \\ 5a(0)^4 + 4b(0)^3 + 3c(0)^2+ 2d(0) + e &=& 1\\ \\ 5a(10)^4+4b(10)^3+3c(10)^2+2d(10)+1 &=& 0\\ \\ 20a(10)^3+12b(10)^2+6c(10)+2d &=& 2d \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f = 0\\ \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e = 4 &(I)\\ \\ e = 1 &(II)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Setze $e=1$ in $(I)$ und löse die Gleichungen $(I)$, $(III)$ und $(IV)$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d+10(1) = 4\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d = -6 &(I)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d = -1 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Die Gleichungslösung liefert die Parameter der Funktion in Abhängigkeit von d:

$\qquad\qquad\qquad$ $ a= \Large -\frac{3}{50000} $, $ \:\: b= \Large \frac{d}{100}+\frac{1}{500} $, $ \:\: c= \Large -\frac{d}{5}-\frac{1}{50} $


$\qquad\qquad$ Setze $a,\: b\:$ und $c$ in $(I)$, $(III)$ und $(IV)$ und löse weiter nach $d$
$\qquad\qquad\qquad$ Du bekommst $d=-0,3$

$\qquad\qquad$ Also, zusammen hast du:

$\qquad\qquad\qquad$ $ a=-0,0003,\:\: b=0,009,\:\: c=-0,03,\:\: d=-0,3 $


$\qquad\qquad$ Und die Funktionsgleichung 5. Grades lautet:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f(x)=-0,0003x^5+0,009x^4-0,03x^3-0,3x^2+1 $