Wahrscheinlichkeit

Unabhängigkeit von Ereignissen

  • Stochastische Unabhängigkeit
  • Zwei Ereignisse A und B heißen voneinander (stochastisch) unabhängig, wenn das Eintreten des Ereignisses A die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des Ereignissess B nicht beeinflusst.

    Es gilt:       P(A B) = P(A) · P(B)

  • Stochastische Abhängigkeit
  • Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch) abhängig, wenn si nicht unabhängig sind.

    Es gilt:       P(A B) ≠ P(A) · P(B)

Beispiele Übungen: Videos unten


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    Aufgaben zum Üben

  1. Bei einem Preisausschreiben gibt es 6 Gewinner, auf die 3 Laptops und 3 Fernseher verteilt werden sollen. Dies soll durch das Werfen einer Münze geschehen, wobei Kopf einem Fernseher und Zahl einem Laptop entspricht. Nacheinander wird für die Gewinner geworfen, bis keine Auswahlmöglichkeit mehr besteht, da nur noch entweder Laptops oder Fernseher verfügbar sind.

    • Hat nach diesem System jeder Gewinner die gleichen Chancen auf einen Laptop?
    • Ist es für je zwei der Gewinner gleichwahrscheinlich, einen Fernseher zu erhalten?
  2. Lösung

  3. Drei hoffnungslose Jugendliche jagen einem Counter-Strike Terroristen hinterher. Als sie ihn gestellt haben, hat jeder die Möglichkeit, einmal auf ihn zu schießen. Sie haben unabhängig voneinander eine Treffsicherheit von 0,4; 0,6 und 0,8. Wie wahrscheinlich ist es, dass

    • keinmal getroffen wird?
    • mindestens einmal getroffen wird?
    • genau einmal getroffen wird?
  4. Lösung

  5. Eine Urne enthält 4 grüne und 7 gelbe Kugeln, eine andere 2 grüne und 9 gelbe Kugeln.

    • Aus jeder der beiden Urnen wird eine Kugel gezogen. Wie lautet eine Unabhängigkeitsannahme und wie ist diese zu begründen?
    • Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln grün sind?
    • Die Urneninhalte werden zusammengefügt und mit Zurücklegen wird dreimal gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle drei Kugeln grün?
    • Lösung

Lösung zu 2 Bild: (click to enlarge)

Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Ereignissen (Beispiel)

Lösung zu 3 Bild: (click to enlarge)


Unabhängigkeit von Ereignissen
Unabhängigkeit von Ereignissen (Weiteres Beispiel)