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Category Archives: Körperberechnung
Talsenke - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Quadratische Funktion des Verlaufs
$\qquad$ Die Parabel hat die Form: $\large f(x)=ax^2+bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-20)=150 \longrightarrow a\cdot(-20)^2+b\cdot(-20)+c=150\:\:(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ f(40)=300 \longrightarrow a\cdot(40)^2+b\cdot(40)=300 \:\:(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 400a – 20b = 150 \:\:&(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ 1600a + 40b = 300 \:\:&(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(I)+(III):2 \Longrightarrow \begin{cases} 400a &-& 20b &=&150\\ \\ 800a &+& 20b &=&150\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $1200a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:300\:\:|\: :1200$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: \frac{300}{1200}=\frac{1}{4}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{4}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 1600\cdot(\frac{1}{4})+40b=300\:\:|(-400)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 40b=-100\:\:|:40$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=-\frac{100}{40}=-\frac{5}{2}}$
$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Bis zu welchem Punkt ist die Senke von oben einsehbar?
$\qquad\:\:$ Bekannten Punkten: $P_3(40|300)$ und $P_4(50|350)$
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Steigung: $ \Delta m= \Large \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{P_4}-y_{P_3}}{x_{P_4}-x_{P_3}}=\frac{350-300}{50-40}=\frac{50}{10} $ $ = 5 \longrightarrow \underline{\large m=5} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die $y$-Achsenabschitt: $ 300=5(40)+n \longrightarrow \underline{\large n=100} $
$\qquad\qquad$ Die Geradengleichung lautet: $\large y=5x+100$
$\qquad\:\:$ Schnittpunkt zwischen die Kurve und die Gerade ($\large f(x)$ und $\large y$) gleichsetzen
$\qquad\qquad$ $ 0,25x^2-2,5x=5x+100 \qquad\:\:\:\:|\:\: (-5x)/(-100) $
$\qquad\qquad$ $ \iff 0,25x^2-7,5x-100=0 \:\:\:\:|\:\: :(0,25) $
$\qquad\qquad$ $ \iff x^2-30x-400=0 $ und mit pq-Formel $ \large \begin{cases} x_1=-10\\ \\ x_2=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ f(-10)=5(-10)+100=50 \longrightarrow P_5(-10|50) $
$\qquad\:\:$ Die Senke ist von oben einsehbar bis zum Punkt $\underline{ \large P_5(-10|50)}$
$\qquad\:\:$ Graph der Funktion $\large f$
Oberfläche der dreiseitigen Pyramide
Oberfläche der dreiseitigen Pyramide
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide
$\qquad\:\:$ $ Die\: Punkte:\:\: A \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix}, \:\: B \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \:\: C \begin{pmatrix} 6\\0\\2 \end{pmatrix}, \:\: D \begin{pmatrix} 4\\4\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Grundfläche der Dreieck $ABC$
$\qquad\qquad$ Die Formel für Dreiecke: $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AB}} = B-A = \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3\\1-3\\4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AC}} = C-A = \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-3\\0-3\\2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Kreuzprodukt von $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot(2) &-&4\cdot(-3)\\4\cdot(3)&-&2\cdot(-2)\\-2\cdot(-3)&-&3\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\16\\12 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Betrag von $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| = \sqrt{(-8)^2+16^2+12^2} = 21,54 $
$\qquad\qquad$ Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $ = $ \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 21,45 = $ $ \underline { \underline { 10,77\:\: FE } } $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Seitenflächen der Dreiecke $ABD,\: ACD\:$ und $BCD$
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für jedes Dreieck wird dieselbe Methode angewandt.
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ABD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 4-3\\4-3\\3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot(3)&-&4\cdot(1)\\4\cdot(1)&-&3\cdot(-2)\\-2\cdot(1)&-&1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\10\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ABD$: $\sqrt{(-10)^2+10^2+0^2}=10\sqrt{2}=14,14$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABD$: $ \:\: A_{ABD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,14 = \underline { \underline { 7,07\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ACD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\cdot(3)&-&2\cdot(1)\\2\cdot(1)&-&3\cdot(3)\\3\cdot(1)&-&1\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11\\-7\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ACD$: $\sqrt{(-11)^2+(-7)^2+6^2}=\sqrt{206}=14,35$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ACD$: $ \:\: A_{ACD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,35 = \underline { \underline { 7,17\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $BCD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} = \begin{pmatrix} 6-1\\0-1\\2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\-1\\-2 \end{pmatrix} , \:\: \overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 4-1\\4-1\\3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}}\times\overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 5\\-1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\3\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot(-1)&-&3\cdot(-2)\\-2\cdot(3)&-&5\cdot(-1)\\5\cdot(3)&-&(-1)\cdot(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\-1\\18 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $BCD$: $\sqrt{7^2+(-1)^2+18^2}=\sqrt{206}=19,33$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $BCD$: $ \:\: A_{BCD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 19,33 = \underline { \underline { 9,66\:\: FE }} $
$\qquad\:\:$ Oberflächeninhalt der Pyramide = Gesamtoberfläche (Die Summe der vier Dreiecksflächen)
$\qquad\qquad$ $ O_Pyramide = A_{ABC}+A_{ABD}+A_{ACD}+A_{BCD} = 10,77+7,07+7,17+9,66 = \underline { \underline { 34,67\:\: FE }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ B) Lese die Koordinaten der Punkte aus dem Schaubild ab
$\qquad\:\:$ $ Die\: Punkte:\:\: A \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix}, \:\: B \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix}, \:\: C \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \:\: D \begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Grundfläche der Dreieck $ABC$
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AB}} = B-A = \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4\\5-4\\2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AC}} = C-A = \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4\\1-4\\4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Kreuzprodukt von $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(0)&-&(-2)\cdot(-3)\\(-2)\cdot(-3)&-&0\cdot(-3)\\-3\cdot(-3)&-&1\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\6\\12 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Betrag von $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| = \sqrt{(-6)^2+6^2+12^2} = 14,69 $
$\qquad\qquad$ Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $ = $ \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,69 = $ $ \underline { \underline { 7,34\:\: FE } } $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Seitenflächen der Dreiecke $ABD,\: ACD\:$ und $BCD$
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für jedes Dreieck wird dieselbe Methode angewandt.
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ABD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 2-4\\4-4\\6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(2)&-&0\cdot(-2)\\(-2)\cdot(-2)&-&2\cdot(-3)\\(-3)\cdot(0)&-&1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\10\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ABD$: $\sqrt{2^2+10^2+2^2}=6\sqrt{3}=10,39$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABD$: $ \:\: A_{ABD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 10,39 \approx \underline { \underline { 5,19\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ACD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot(-3)&-&0\cdot(0)\\0\cdot(-2)&-&2\cdot(-3)\\0\cdot(-3)&-&(-2)\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\6\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ACD$: $\sqrt{(-6)^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{3}=10,39$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ACD$: $ \:\: A_{ACD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 10,39 \approx \underline { \underline { 5,19\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $BCD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} = \begin{pmatrix} 1-1\\1-5\\4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 2-1\\4-5\\6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}}\times\overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot(-4)&-&2\cdot(-1)\\2\cdot(1)&-&0\cdot(4)\\0\cdot(-1)&-&1\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14\\2\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $BCD$: $\sqrt{(-14)^2+2^2+4^2}=6\sqrt{6}=14,69$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $BCD$: $ \:\: A_{BCD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,69 = \underline { \underline { 7,34\:\: FE }} $
$\qquad\:\:$ Gesamtoberfläche der Pyramide (Die Summe der vier Dreiecksflächen)
$\qquad\qquad$ $ O_Pyramide = A_{ABC}+A_{ABD}+A_{ACD}+A_{BCD} = 7,34+5,19+5,19+7,34 = \underline { \underline { 25,06\:\: FE }} $
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Abitur 2020 Mathematik Stochastik
Aufgabe 1
In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. 46% aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.
Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:
A: “Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss.”
B: “Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts.”
Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind. Lösung Anzeigen
Aufgabe 2
In einer Klinik haben durchschnittlich 5% der Patienten Diabetes.
2% der Patienten sind gleichzeitig Diabetiker und Raucher. 80% aller Patienten sind Nichtraucher. Sind die Ereignisse Raucher und Diabetiker unabhängig voneinander? Bewerte die Aussage „Raucher haben ein erhöhtes Diabetesrisiko“!
Lösung Anzeigen
Werkstück in Form einer quadratischen Pyramide mit kegelförmiger Vertiefung. Volumen und Gewicht?
Die Skizze zeigt ein Weerkstück. Es hat die Form einer quadratischen Pyramide aus der eine kegelförmige Vertiefung herausgearbeitet wurde. Die Höhe dieses Kegels beträgt 3/7 der Höhe der Pyramide.
a) berechne das volumen des werkstücks.
b)das werkstück ist aus aluminium gefertigt 1kubikzentimeter aluminium wiegt 2,7g.
Wie schwer ist das werkstück ?
