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Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Würfel
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Würfel
Aufgabe 4.1. Würfel
Lösung a)
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\:\:\:
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\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
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\normalsize
a)\: Der\: 6er-Würfel\: wird\: 10-mal\: geworfen
$
$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $
$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $
$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $
$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $
Lösung b)
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\:\:\:
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\:
\Large
\Bigg\downarrow
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\normalsize
b)\: Baumdiagramm
$
$\qquad\:\:$
$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.
$\qquad\:\:$
$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $
$\qquad\:\:$
$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.
$\qquad\:\:$
$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $
Lösung c)
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\:\:\:
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\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
c)\: Wie\: oft\: mit\: dem\: 6er-Würfel\: mindestens\: gewürfelt\: werden\: müsste, \:…
$
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $
$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $
$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.
Lösung d)
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\:\:\:
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\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
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\normalsize
d)\: Die\: Augensumme: beträgt\: 11
$
$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $
$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $
Lösung e)
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\:\:\:
$
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\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
e)\: Zeige,\: dass\: die\: Wahrscheinlichkeit\: dafür,\: dass\: Luisa\: die\: Augensumme\: 15\: erhält,\: \frac{5}{54}\: beträgt
$
$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $
$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $
$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $
$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $
$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $
$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $
$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $
$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $
Lösung f)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
f)\: Begründe,\: dass\: Pedros: Behauptung\: falsch\: ist
$
$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.
$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.
$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.
$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.
Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Theater
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Theater
Aufgabe 3.2: Theater
Lösung a)
$
\:\:\:
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\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
a)\: Koordinaten\: der\: Punkte\: H\: und\: G
$
$\qquad\:\:$ $ H \begin{pmatrix} 0\\10\\6 \end{pmatrix} $ und $ G \begin{pmatrix} 10\\10\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Berechne die Länge $|\overline{EL}|$ und $|\overline{EK}|$ und vergleich.
$\qquad\qquad$ $ |\overline{EL}|=\sqrt{(10-0)^2+(0-0)^2+(4-6)^2}=\sqrt{104}\approx10,2 $
$\qquad\qquad$ $ |\overline{EK}|=\sqrt{(2-0)^2+(10-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{104}\approx10,2 $
$\qquad\qquad$ $ |\overline{EL}|=|\overline{EK}| \Longrightarrow das\: Dreieck \: $ELK$\: ist \: gleichschenklig. $
$\qquad\:\:$ $ H \begin{pmatrix} 0\\10\\6 \end{pmatrix} $ und $ G \begin{pmatrix} 10\\10\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Berechne die Länge $|\overline{EL}|$ und $|\overline{EK}|$ und vergleich.
$\qquad\qquad$ $ |\overline{EL}|=\sqrt{(10-0)^2+(0-0)^2+(4-6)^2}=\sqrt{104}\approx10,2 $
$\qquad\qquad$ $ |\overline{EK}|=\sqrt{(2-0)^2+(10-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{104}\approx10,2 $
$\qquad\qquad$ $ |\overline{EL}|=|\overline{EK}| \Longrightarrow das\: Dreieck \: $ELK$\: ist \: gleichschenklig. $
Lösung b)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
b)\: Gleichung\: der\: Ebene\: E_p\: in\: Parameter-\: und\: in\: Koordinatenform
$
$\qquad\:\:$ $E_p$ in Parameterform:
$\qquad\qquad$ $ E_p: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 10-0\\0-0\\4-6 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2-0\\10-0\\6-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ = \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 10\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2\\10\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $E_p$ in Koordinatenform:
$\qquad\:\:$ Kreuzprodukt von beiden Richtungsvektoren (Normalenvektor $\vec{n}$)
$\qquad\qquad$ $ \vec{n} = \begin{pmatrix} 10\\0\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\10\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0-10\cdot (-2)\\ -2\cdot 2-10\cdot 0\\ 10\cdot10-0\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\-4\\100 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Berechne $d=\vec{a}\cdot\vec{n}$, Punktprodukt Normalen- und Ortsvektor
$\qquad\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20\\-4\\100 \end{pmatrix} = 0\cdot20+0\cdot(-4)+6\cdot100=600 $
$\qquad\qquad$ Also $ E_p:20x-4y+100z \:\: \textcolor{red}{|:4} $
$\qquad\qquad$ $\iff \underline{ E_p:5x-y+25z } $
$\qquad\:\:$ $E_p$ in Parameterform:
$\qquad\qquad$ $ E_p: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 10-0\\0-0\\4-6 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2-0\\10-0\\6-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ = \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 10\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2\\10\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $E_p$ in Koordinatenform:
$\qquad\:\:$ Kreuzprodukt von beiden Richtungsvektoren (Normalenvektor $\vec{n}$)
$\qquad\qquad$ $ \vec{n} = \begin{pmatrix} 10\\0\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\10\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0-10\cdot (-2)\\ -2\cdot 2-10\cdot 0\\ 10\cdot10-0\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\-4\\100 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Berechne $d=\vec{a}\cdot\vec{n}$, Punktprodukt Normalen- und Ortsvektor
$\qquad\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20\\-4\\100 \end{pmatrix} = 0\cdot20+0\cdot(-4)+6\cdot100=600 $
$\qquad\qquad$ Also $ E_p:20x-4y+100z \:\: \textcolor{red}{|:4} $
$\qquad\qquad$ $\iff \underline{ E_p:5x-y+25z } $
Lösung c)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
c)\:Begründe\: dass\: E_B:5x-y+25z=50
$
$\qquad\:\:$ Der Boden des Zuschauerraums ist parallel zur Plane
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow $ der Boden liegt in der Ebene $E_B:5x-y+25=d$
$\qquad\qquad\qquad$ und durch Einsetzen der Koordinaten von $B$, ist $\underline{E_B:5x-y+25=50}$
$\qquad\:\:$ Die größte Höhe des Bodens über der Grundfläche wird an dem Eckpunkt de s Bodens angenommen,
$\qquad\:\:$ der auf der Kante DH liegt.
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} x=0\\ \\ und\\ \\ y=10 \end{cases} $, also $5\cdot0-10+25z=50 \Rightarrow$ z=2,4.
$\qquad\:\:$ Die größte Höhe des Bodens über der Grundfläche beträgt: $\underline{h=2,4m}$
$\qquad\:\:$ Der Boden des Zuschauerraums ist parallel zur Plane
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow $ der Boden liegt in der Ebene $E_B:5x-y+25=d$
$\qquad\qquad\qquad$ und durch Einsetzen der Koordinaten von $B$, ist $\underline{E_B:5x-y+25=50}$
$\qquad\:\:$ Die größte Höhe des Bodens über der Grundfläche wird an dem Eckpunkt de s Bodens angenommen,
$\qquad\:\:$ der auf der Kante DH liegt.
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} x=0\\ \\ und\\ \\ y=10 \end{cases} $, also $5\cdot0-10+25z=50 \Rightarrow$ z=2,4.
$\qquad\:\:$ Die größte Höhe des Bodens über der Grundfläche beträgt: $\underline{h=2,4m}$
Lösung d)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
d)\:Begründe\: dass\: der\: Abstand\: der\: Plane\: vom\: Boden\: des\: Zuschauerraums\:<4m
$
$\qquad\:\:$ Der Punkt $L$ der Plane ist $4m$ entfernt von Punkt $B$ des Bodens.
$\qquad\:\:$ Die Strecke $|\overline{LB}|$ verläuft nicht senkrecht zu den beiden Ebenen
$\qquad\qquad$ $ \iff |\overline{LB}|$ ist länger als der Abstand der beiden Ebenen.
$\qquad\:\:$ Der Punkt $L$ der Plane ist $4m$ entfernt von Punkt $B$ des Bodens.
$\qquad\:\:$ Die Strecke $|\overline{LB}|$ verläuft nicht senkrecht zu den beiden Ebenen
$\qquad\qquad$ $ \iff |\overline{LB}|$ ist länger als der Abstand der beiden Ebenen.
Lösung e)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
e)\:Berechne\: die\: Größe\: der\:trapezförmigen\: Bühnenfläche
$
$\qquad\:\:$ Schnittgerade $S_G$ von $E_B$ und die Bühnenebene
$\qquad\qquad$ $E_B=5x-y+25z=50$ und $ S_G= \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Mit $x=r$, $5r-y+20=50 \Longrightarrow y=-30+5r$
$\qquad\qquad$ $ \iff S_G:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\-30\\0,8 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Bestimme die $x-Werte$ der Schnittpunkt der Geraden $S_G$ mit den Seitenflächen
$\qquad\:\:$ $ABFE$ und $DCGH$
$\qquad \qquad $ Für den Schnittpunkt $S_{ABFE}$ gilt: $y=0 \Rightarrow 0=-30+5r \longrightarrow \begin{cases} r=6\\ also\\ x=6 \end{cases} $
$\qquad \qquad $ Für den Schnittpunkt $S_{DCGH}$ gilt: $y=10 \Rightarrow 10=-30+5r \longrightarrow \begin{cases} r=8\\ also\\ x=8 \end{cases} $
$\qquad \qquad $ Also bekommst du die parallelen Trapezseiten Länge: $ \begin{cases} c=10-6=4\: LE\\ und\\ a=10-8=2\: LE \end{cases} $
$\qquad\:\:$ Für ein Trapez gilt $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ mit $ \begin{cases} a=2\: LE\\ \\ c=4\: LE\\ \\ h=10\: LE \end{cases} $
$\qquad \qquad $ Also: $A=\frac{2+4}{2}\cdot 10=30$, die Bühne hat eine Fläche von $\underline{A=30 m^2}$
$\qquad\:\:$ Schnittgerade $S_G$ von $E_B$ und die Bühnenebene
$\qquad\qquad$ $E_B=5x-y+25z=50$ und $ S_G= \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Mit $x=r$, $5r-y+20=50 \Longrightarrow y=-30+5r$
$\qquad\qquad$ $ \iff S_G:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\-30\\0,8 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Bestimme die $x-Werte$ der Schnittpunkt der Geraden $S_G$ mit den Seitenflächen
$\qquad\:\:$ $ABFE$ und $DCGH$
$\qquad \qquad $ Für den Schnittpunkt $S_{ABFE}$ gilt: $y=0 \Rightarrow 0=-30+5r \longrightarrow \begin{cases} r=6\\ also\\ x=6 \end{cases} $
$\qquad \qquad $ Für den Schnittpunkt $S_{DCGH}$ gilt: $y=10 \Rightarrow 10=-30+5r \longrightarrow \begin{cases} r=8\\ also\\ x=8 \end{cases} $
$\qquad \qquad $ Also bekommst du die parallelen Trapezseiten Länge: $ \begin{cases} c=10-6=4\: LE\\ und\\ a=10-8=2\: LE \end{cases} $
$\qquad\:\:$ Für ein Trapez gilt $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ mit $ \begin{cases} a=2\: LE\\ \\ c=4\: LE\\ \\ h=10\: LE \end{cases} $
$\qquad \qquad $ Also: $A=\frac{2+4}{2}\cdot 10=30$, die Bühne hat eine Fläche von $\underline{A=30 m^2}$
Analytische Geometrie / Abi Berlin
Übungsaufgaben
Lösung
a) Zeige, dass das Viereck $ABFE$ ein Trapez ist.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Länge\: AE\: und\: BF $
$\qquad$ $ |\overline{AE}|=\sqrt{(0-0)^2+(40-0)^2+(120-0)^2}=126,491 $
$\qquad$ $ |\overline{BF}|=\sqrt{(0-0)^2+(58-20)^2+(114-0)^2}=120,166 $
$\qquad$ $ \large \frac {\overline{AE}} {\overline{BF}} = \frac{126,491}{120,166} $ $ \large = \frac{20}{19} $ $ \iff 20\cdot \overline{BF}=19\cdot \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF}= \large \frac{19}{20} \cdot $ $ \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF} \parallel \overline{AE} \:\: \longrightarrow \:\: ABFE $ ist ein Trapez.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Prüfe\: ob\: das\: Viereck\: im\: E\: einen\: rechten\: Winkel\: hat $
$\qquad$ Berechene das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AE}$ und $\overrightarrow{EF}$
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 0-0\\40-0\\120-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \:\:\:\: | \:\:\:\: \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0-0\\58-40\\114-120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} = 0\cdot 0+40\cdot 18+120\cdot (-6)=0 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow $ das Viereck hat im Punkt $E$ einen rechten Winkel.
b) Liegen $L$ und $M$ auf $AE$ bzw. $BF$ und verläuft $LM$ parallel zu $AB$ durch den Mittel-punkt von $EF$ , so ist der Flächeninhalt des Vierecks $ABFE$ ebenso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABML$. Betrachtet man $AB$ als dessen Grund- seite, so ist die zugehörige Höhe der Mittelwert der $z$-Koordinaten von $E$ und $F$. Die untere Teilfläche ist ein Parallelogramm, dessen Höhe zur Grundseite $AB$ halb so groß ist wie die des Parallelogramms $ABML$.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Länge\: AE\: und\: BF $
$\qquad$ $ |\overline{AE}|=\sqrt{(0-0)^2+(40-0)^2+(120-0)^2}=126,491 $
$\qquad$ $ |\overline{BF}|=\sqrt{(0-0)^2+(58-20)^2+(114-0)^2}=120,166 $
$\qquad$ $ \large \frac {\overline{AE}} {\overline{BF}} = \frac{126,491}{120,166} $ $ \large = \frac{20}{19} $ $ \iff 20\cdot \overline{BF}=19\cdot \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF}= \large \frac{19}{20} \cdot $ $ \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF} \parallel \overline{AE} \:\: \longrightarrow \:\: ABFE $ ist ein Trapez.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Prüfe\: ob\: das\: Viereck\: im\: E\: einen\: rechten\: Winkel\: hat $
$\qquad$ Berechene das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AE}$ und $\overrightarrow{EF}$
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 0-0\\40-0\\120-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \:\:\:\: | \:\:\:\: \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0-0\\58-40\\114-120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} = 0\cdot 0+40\cdot 18+120\cdot (-6)=0 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow $ das Viereck hat im Punkt $E$ einen rechten Winkel.
b) Liegen $L$ und $M$ auf $AE$ bzw. $BF$ und verläuft $LM$ parallel zu $AB$ durch den Mittel-punkt von $EF$ , so ist der Flächeninhalt des Vierecks $ABFE$ ebenso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABML$. Betrachtet man $AB$ als dessen Grund- seite, so ist die zugehörige Höhe der Mittelwert der $z$-Koordinaten von $E$ und $F$. Die untere Teilfläche ist ein Parallelogramm, dessen Höhe zur Grundseite $AB$ halb so groß ist wie die des Parallelogramms $ABML$.
Ebenengleichungen - von Parameterform in Normalenform umwandeln
Parameterform in Normalenform
Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Normalenform umgewandelt, indem man den zugehörigen Normalenvektor $vec{n}$ berechnet, einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $vec{a}$ wählt und die beide Vektoren in die allgemeine Normalform einsetzt.
- von Parameterform in Normalform
- von Normalform in Koordinatenform
Die Formen:
| Parameterform | Normalenform |
|---|---|
| $E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$ | $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Nornalenform um.
-
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$
Lösung
Parameterform der Ebene $E$
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $
Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.
$ \qquad\qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} $
Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:
$ \qquad\qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix}=0 $ -
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$
Lösung
Parameterform der Ebene $E$
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $
Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.
$ \qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} $
Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:
$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $ oder $ \Rightarrow E:[\vec{x}-\vec{a}]∘\vec{n}=0 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow E: \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $ -
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$
LösungParameterform der Ebene $E$
$ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} $
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $
$ \qquad\qquad E: \begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =0 $
Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.
$ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} $
Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:
$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $
-
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$
LösungParameterform der Ebene $E$
$ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $
Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.
$ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} $
Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:
$ \qquad \qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $
Ebenengleichungen - von Normalform in Parameterform umwandeln
Normalform in Parameterform”
Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Parameterform umgewandelt, indem man nacheinander folgende Umwandlungen vornimmt:
- von Normalform in Koordinatenform
- von Koordinatenform in Parameterform
Die Formen:
| Normalenform | Parameterform |
|---|---|
| $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ | $E:\vec{x} = \vec{a} + r\cdot \vec{b} + s\cdot \vec{c}$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.
-
$
E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix}
∘
\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0
$
Lösung$ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $
Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
$ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = x\cdot 1 + y\cdot 1 + z\cdot (-1)= x + y -z $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot (-1)= -1 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
$ x+y-z+1=0 $
Also die Koordinatenform von $E$ lautet:
$ E:x+y-z=-1 $
Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
$E$ nach $z$ umstellen:
$ \qquad E:x+y-z=-1 \qquad \qquad \qquad | \qquad \textcolor{red}{-x} \:/\: \textcolor{red}{-y} $
$ \qquad \qquad \qquad\: -z=-1-x-y \qquad \:\:\:| \qquad \textcolor{red}{:(-1)} $
$ \qquad\qquad\qquad\:\:\:\: z=1+x+y $
Setze $x=r$ und $y=s \qquad \Rightarrow \:\: z=1+1\cdot r+1\cdot s$
Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{1}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $
Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} $ -
$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = 0 $
Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
$ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0= 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = 2\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 0= 2 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
$ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z-2=0 $
Also die Koordinatenform von $E$ lautet:
$ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=2 $
Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
$E$ nach $y$ umstellen:
$ \qquad E:y=2+0\cdot x+0\cdot z $
Setze $x=r$ und $z=s \qquad \Rightarrow \:\: y=2+0\cdot r+0\cdot s$
Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{2}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $
Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} $ -
$
E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix}
∘
\begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix}
=
0
$
Lösung$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot (-10)+y\cdot (-3)+z\cdot 2=-10x-3y+2z $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot (-10)+3\cdot (-3)+4\cdot 2=-21 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
$ E:-10x-3y+2z+21=0 $
$ E:-10x-3y+2z=-21 $
Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
$E$ nach $z$ umstellen:
$ -10x-3y+2z=-21 \qquad | \qquad \textcolor{red}{+10x} \:/\: \textcolor{red}{+3y} $
$ 2z=-21+10x+3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $
$ z=-10,5+5x+1,5y $
Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=-10,5+5r+1,5s $
Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{-10,5}+\textcolor{red}{5}\cdot r+\textcolor{red}{1,5}\cdot s$} \end{cases} $
Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-10,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1,5 \end{pmatrix} $ -
$
E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix}
∘
\begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix}
=
0
$
Lösung$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):
$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot 4+y\cdot 3+z\cdot 2=4x+3y+2z $
$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot 4+ (-1)\cdot 3+0\cdot 2=5 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:
$ E:4x+3y+2z-5=0 $
$ E:4x+3y+2z=5 $
Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:
$E$ nach $z$ umstellen:
$ 4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad \textcolor{red}{-4x} \:/\: \textcolor{red}{-3y} $
$ 2z=5-4x-3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $
$ z=2,5-2x-1,5y $
Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=2,5-2r-1,5s $
Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{2,5}+\textcolor{red}{-2}\cdot r+\textcolor{red}{-1,5}\cdot s$} \end{cases} $
Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:
$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1,5 \end{pmatrix} $
Ebenengleichungen - von Parameterform in Koordinatenform umwandeln
Parameterform in Koordinatenform
Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man nacheinander folgende Umwandlungen vornimmt:
- von Parameterform in Normalform
- von Normalform in Koordinatenform
Die Formen:
| Parameterform | Koordinatenform |
|---|---|
| $E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$ | $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Koordinatenform um.
-
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$
Lösung
Parameterform der Ebene $E$
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $
Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):
$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} =x\cdot 1+y\cdot 1+z\cdot (-1)=x+y-z $
$\qquad \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} =1\cdot 1+2\cdot 1+4\cdot (-1)=-1 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man
$x+y-z+1=0$
Also die Koordinatenform lautet:
$E:x+y-z=-1$ -
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$
Lösung
Parameterform der Ebene $E$
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $
Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):
$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} =x\cdot 4+y\cdot 1+z\cdot 4 = 4x+y+4z $
$\qquad \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} =2\cdot 4+3\cdot 1+ (-1)\cdot 4=7 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man
$4x+y+4z-7=0$
Also die Koordinatenform lautet:
$E:4x+y+4z=7$ -
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$
LösungParameterform der Ebene $E$
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} = 0 $
Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):
$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =x\cdot (-9)+y\cdot (-14)+z\cdot (-6) = -9x-14y-6z $
$\qquad \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =-2\cdot (-9)+3\cdot (-14)+ (-1)\cdot (-6) = -18 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man
$-9x-14y-6z+18=0$
Also die Koordinatenform lautet:
$E:-9x-14y-6z=-18$ -
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$
LösungParameterform der Ebene $E$
$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$
Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen
$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $
$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $
Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):
$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $
$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} =x\cdot (-6)+y\cdot 7+z\cdot (-5) = -6x+7y-5z $
$\qquad \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} =3\cdot (-6)+2\cdot 7+ 4\cdot (-5) = -24 $
Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man
$-6x+7y-5z+24=0$
Also die Koordinatenform lautet:
$E:-6x+7y-5z=-24$
Ebenengleichungen - von Koordinatenform in Normalform umwandeln
Koordinatenform in Normalform
Eine Ebene in Koordinatenform wird in die entsprechende Normalform umgewandelt, indem man die Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ aus den Koeffizienten der Koordinaten $x, y$ und $z$ in der Koordinatenform abliest und die Einträge von $\vec{a}$ als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt auswählt.
Die Formen:
| Koordinatenform | Normalform |
|---|---|
| $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ | $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Normalenform um.
-
$E:x+y-z+1=0$
Lösung$E:x+y-z+1=0$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ und $z$ überein.
$\qquad E:1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z+1=0$
$\qquad \qquad \vec{n}= \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:
$x$ und $y$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad x=1 \:(a_1)$
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot z = -1$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2-z=-1$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow z=3\: (a_3)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}=0$ -
$E:2x-y+3z-5=0$
Lösung$E:2x-y+3z-5=0$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.
$\qquad E:2\cdot x + (-1)\cdot y + 3\cdot z -5 = 0$
$\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:
$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2\cdot x + (- 1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 5$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2x=3$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\: (a_1)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1 \\1 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}=0$ -
$E:x+15y+2z=19$
Lösung$E:x+15y+2z=19$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ uns $z$ überein.
$E:1\cdot x + 15\cdot y + 2\cdot z = 19$
$\qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\15\\2 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen:
$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot x + 15\cdot 1 + 2\cdot 1 = 19$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow x=2\: (a_1)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\15\\2\end{pmatrix}=0$ -
$E:-x+2y+4z=0$
Lösung$E:-x+2y+4z=0$
Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.
$\qquad E:(-1)\cdot x + 2\cdot y + 4\cdot z = 0$
$\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix}$
Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $a$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:
$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow -1\cdot 1 + 2y + 4\cdot 1 = 0$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2y=-3$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}\: (a_1)$
Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\ – \frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}$
Und die Normalenform der Ebene:
$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} -1\\2\\4\end{pmatrix}=0$
Ebenengleichungen - von Normalform in Koordinatenform umwandeln
Normalform in Koordinatenform
Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man das vorliegende Skalarprodukt ausmultipliziert und den erhaltenen Term zusammenfasst.
Die Formen:
| Normalenform | Koordinatenform |
|---|---|
| $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$ | $E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$ |
Weitere Umwandlungen
Übungsaufgaben
Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.
-
$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Erst das Skalarprodukt berechnen:
$E:4\cdot x+(-7)\cdot(y-1)+2\cdot(z-2)=0$
Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
$E:4x-7y+7+2z-4=0$
und jetzt zusammenfassen:
$E:4x-7y+2z+3=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:4x-7y+2z+3=0$ oder $E:4y-7y+2z=-3$ -
$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Erst das Skalarprodukt berechnen:
$E:0\cdot(x-2)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-2)=0$
Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
$E:y-2=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:y-2=0$ oder $E:y=2$
(Hinweis: Die Ebene $E:y-2=0$ ist parallel zur Ebene-$x-z$) -
$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$E:1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z-(1\cdot0+1\cdot0+(-1)\cdot1)=0$
Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:
$E:x+y-z+1=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:x+y-z+1=0$ oder $E:x+y-z=-1$
-
$E:\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$
Lösung$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$
Berechne das Skalarprodukt:
$E:-6x-3y+2z=0 \qquad | \qquad \cdot (-1)$
$E:6x+3y-2z=0$
Die Koordinatenform lautet:
$E:6x+3y-2z=0$
Geradengleichungen
Geradengleichungen umwandeln
Geraden in der zweidimensionalen Zeichenebene lassen sich durch lineare Funktionsgleichungen der Form $y(x)=mx+n$ erfassen.
Eine Geradengleichung in Normalenform gibt es nur im $\mathbb{R^2}$, da keinen eindeutigen Normalenvektor im $\mathbb{R^3}$ gibt.
Eine Geradengleichung in Normalenform gibt es nur im $\mathbb{R^2}$, da keinen eindeutigen Normalenvektor im $\mathbb{R^3}$ gibt.
Anleitung
- Normalenform in Koordinatenform umwandeln
- Koordinatenform in Parameterform umwandeln
$\qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden
$\qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren
$\qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen
$\qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen
$\qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen
Beispiel
$\qquad $ Gegeben ist eine Gerade in Normalenform
$\qquad $ $g:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} \end{bmatrix}=0$
$\qquad \qquad $ 1) Normalenform in Koordinatenform umwandeln
$\qquad \qquad \qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden
$\qquad \qquad \qquad $ $g:\vec{n}∘\vec{x}-\vec{n}∘\vec{a}= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=0 $
$\qquad \qquad \qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren / Skalarprodukt
$\qquad \qquad \qquad $ $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-(4\cdot2)-(3\cdot(-1))=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-8+3=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-5=0$
$\qquad \qquad \qquad $ Die Koordinatenform der Gerade lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-5=0\qquad oder \qquad4x+3y=5$
$\qquad \qquad $ 2) Koordinatenform in Parameterform umwandeln
$\qquad \qquad \qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $y$ auflösen
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y=5 \qquad | \qquad -4x$
$\qquad \qquad \qquad $ $3y=5-4x \qquad | \qquad :3$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}x$
$\qquad \qquad \qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ ersetzen
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen
$\qquad \qquad \qquad $ So sieht’s erst aus:
$\qquad \qquad \qquad $ $g: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u} \qquad oder \qquad g: \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad $ mit:
- $a_1$ und $a_2$ als Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
- $u_1$ und $u_2$ als Koordinaten des Richtungsvektors $\vec{u}$
$\qquad \qquad \qquad $ $x$ und $y$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=a_1+r\cdot$$u_1$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=a_2+r\cdot$$u_2$
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y$ wird umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{\frac{5}{3}}$+$r\cdot(\textcolor{red}{-\frac{4}{3}})$
$\qquad \qquad \qquad $ und die allgemeine Form lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{a_2}+r\cdot\textcolor{red}{u_2}$
$\qquad \qquad \qquad $ jetzt wird $x$ umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r\cdot1$
$\qquad \qquad \qquad $ auch geschrieben:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot\textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ und das entspricht die allgemeine Form:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{a_1}+r\cdot {u_1}$
$\qquad \qquad \qquad $ zusammen haben wir:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}r$
$\qquad \qquad \qquad $ oder auch
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{\frac{5}{3}}+r\cdot (\textcolor{red}{-\frac{4}{3}})$
$\qquad \qquad \qquad $ daraus haben wir die Parameterform:
$\qquad \qquad \qquad $ $g: \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{\frac{5}{3}}\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{- \frac{4}{3}}\end{pmatrix}$
Ebenengleichungen umwandeln
Anleitung
- Normalenform in Koordinatenform umwandeln
- Koordinatenform in Parameterform umwandeln
$\qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden
$\qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren
$\qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen
$\qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen
$\qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen
Beispiel
$\qquad $ Gegeben ist eine Gerade in Normalenform
$\qquad $ $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]= \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} \end{bmatrix}=0$
$\qquad \qquad $ 1) Normalenform in Koordinatenform umwandeln
$\qquad \qquad \qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden
$\qquad \qquad \qquad $ $g:\vec{n}∘\vec{x}-\vec{n}∘\vec{a}= \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=0 $
$\qquad \qquad \qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren / Skalarprodukt
$\qquad \qquad \qquad $ $\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-(4\cdot2)-(3\cdot(-1))-(2\cdot0)=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-8+3-0=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-5=0$
$\qquad \qquad \qquad $ Die Koordinatenform der Gerade lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-5=0\qquad oder \qquad4x+3y+2z=5$
$\qquad \qquad $ 2) Koordinatenform in Parameterform umwandeln
$\qquad \qquad \qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad -4x-3y$
$\qquad \qquad \qquad $ $2z=5-4x-3y \qquad | \qquad :2$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2x-\frac{3}{2}y$
$\qquad \qquad \qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $\Rightarrow$ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$
$\qquad \qquad \qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen
$\qquad \qquad \qquad $ So sieht’s erst aus:
$\qquad \qquad \qquad $ $E: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$
$\qquad \qquad \qquad $ oder
$\qquad \qquad \qquad $ $E: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad $ mit:
- $a_1$, $a_2$ und $a_3$ als Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
- $u_1$, $u_2$ und $u_3$ als Koordinaten des 1. Richtungsvektors $\vec{u}$
- $v_1$, $v_2$ und $v_3$ als Koordinaten des 2. Richtungsvektors $\vec{v}$
$\qquad \qquad \qquad $ $x$, $y$ und $z$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=a_1+r\cdot$$u_1+s\cdot$$v_1$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=a_2+r\cdot$$u_2+s\cdot$$v_2$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=a_3+r\cdot$$u_3+s\cdot$$v_3$
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z$ wird umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{\frac{5}{2}}$+$r\cdot(\textcolor{red}{-2})$+$s\cdot(\textcolor{red}{-\frac{3}{2}})$
$\qquad \qquad \qquad $ und die allgemeine Form lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{a_3}+r\cdot\textcolor{red}{u_3}+s\cdot\textcolor{red}{v_3}$
$\qquad \qquad \qquad $ jetzt wird $y$ umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s\cdot1$
$\qquad \qquad \qquad $ auch geschrieben:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{0}+r\cdot\textcolor{red}{1}+s\cdot\textcolor{red}{0}$
$\qquad \qquad \qquad $ und das entspricht die allgemeine Form:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{a_2}+r\cdot\textcolor{red}{u_2}+s\cdot\textcolor{red}{v_2}$
$\qquad \qquad \qquad $ zusammen haben wir:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$
$\qquad \qquad \qquad $ oder auch
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{1}+s\cdot \textcolor{red}{0}$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{0}+s\cdot \textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{\frac{5}{2}}+r\cdot(\textcolor{red}{-2})+s\cdot(\textcolor{red}{-\frac{3}{2}})$
$\qquad \qquad \qquad $ daraus haben wir die Parameterform:
$\qquad \qquad \qquad $ $E: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{\frac{5}{2}}\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{-2}\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{-\frac{3}{2}}\end{pmatrix} $
Vektor- oder Kreuzprodukt
Das Vektorprodukt ist die Kombination zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Vektor senkrecht zu den beiden Vektoren ist.
Das Vektorprodukt wird oft auch als Kreuzprodukt bezeichnet.
Mathematische Definition
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren
und
ist definiert als
Beispiel
Für
und
ist das Kreuzprodukt
mit
und (⊥ = Senkrecht)
Länge von
|| ||
|| ||
der winkel, den und bilden.
Der Wert || entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von und aufgespannt wird.
Beispiele Skizze
Probe zu Orthogonalität
Eigenschaften
- (Distributivgesetze)
Achtung !!!
Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ.
Übungsaufgaben
-
Lösung
Berechne das Kreuzprodukt.
-
Lösung
Berechne das Kreuzprodukt.
-
Lösung
Berechne das Kreuzprodukt.
-
Lösung
Berechne das Kreuzprodukt.