Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Normalenform umgewandelt, indem man den zugehörigen Normalenvektor $vec{n}$ berechnet, einen beliebigen in der Ebene liegenden Punkt mit Richtungsvektor $vec{a}$ wählt und die beide Vektoren in die allgemeine Normalform einsetzt.

von Parameterform in Normalform

von Normalform in Koordinatenform

Die Formen:

Parameterform	Normalenform
$E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$	$E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$

Weitere Umwandlungen

Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Nornalenform um.

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $

Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

$ \qquad\qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} $

Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

$ \qquad\qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix}=0 $

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $

Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

$ \qquad\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} $

Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $ oder $ \Rightarrow E:[\vec{x}-\vec{a}]∘\vec{n}=0 $

$ \qquad\qquad \Rightarrow E: \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix}∘\begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} $

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

$ \qquad\qquad E: \begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =0 $

Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

$ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} $

Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

$ \qquad\qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$ \qquad\qquad E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} $

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $

Der Ortsvektor aus der Normalenform wird als $\vec{a}$ gewählt.

$ \qquad \qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} $

Jetzt werden die Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die allgemeine Normalform eingesetzt:

$ \qquad \qquad \Rightarrow E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0 $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E:\begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} ∘ \begin{bmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} $

Ebenengleichungen - von Normalform in Parameterform umwandeln

October 14, 2023

Normalform in Parameterform”

Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Parameterform umgewandelt, indem man nacheinander folgende Umwandlungen vornimmt:

von Normalform in Koordinatenform

von Koordinatenform in Parameterform

Die Formen:

Normalenform	Parameterform
$E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$	$E:\vec{x} = \vec{a} + r\cdot \vec{b} + s\cdot \vec{c}$

Weitere Umwandlungen

Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $

Lösung

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 0 $

Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

$ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = x\cdot 1 + y\cdot 1 + z\cdot (-1)= x + y -z $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0\cdot 1 + 0\cdot 1 + 1\cdot (-1)= -1 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

$ x+y-z+1=0 $

Also die Koordinatenform von $E$ lautet:

$ E:x+y-z=-1 $

Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

$E$ nach $z$ umstellen:

$ \qquad E:x+y-z=-1 \qquad \qquad \qquad | \qquad \textcolor{red}{-x} \:/\: \textcolor{red}{-y} $

$ \qquad \qquad \qquad\: -z=-1-x-y \qquad \:\:\:| \qquad \textcolor{red}{:(-1)} $

$ \qquad\qquad\qquad\:\:\:\: z=1+x+y $

Setze $x=r$ und $y=s \qquad \Rightarrow \:\: z=1+1\cdot r+1\cdot s$

Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{1}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $

Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} $

$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Lösung

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = 0 $

Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

$ \qquad \qquad E:\begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = x\cdot 0 + y\cdot 1 + z\cdot 0= 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} = 2\cdot 0+2\cdot 1+2\cdot 0= 2 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

$ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z-2=0 $

Also die Koordinatenform von $E$ lautet:

$ 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z=2 $

Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

$E$ nach $y$ umstellen:

$ \qquad E:y=2+0\cdot x+0\cdot z $

Setze $x=r$ und $z=s \qquad \Rightarrow \:\: y=2+0\cdot r+0\cdot s$

Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{2}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$} \end{cases} $

Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} $

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

Lösung

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot (-10)+y\cdot (-3)+z\cdot 2=-10x-3y+2z $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-10\\-3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot (-10)+3\cdot (-3)+4\cdot 2=-21 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

$ E:-10x-3y+2z+21=0 $

$ E:-10x-3y+2z=-21 $

Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

$E$ nach $z$ umstellen:

$ -10x-3y+2z=-21 \qquad | \qquad \textcolor{red}{+10x} \:/\: \textcolor{red}{+3y} $

$ 2z=-21+10x+3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $

$ z=-10,5+5x+1,5y $

Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=-10,5+5r+1,5s $

Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{-10,5}+\textcolor{red}{5}\cdot r+\textcolor{red}{1,5}\cdot s$} \end{cases} $

Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-10,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1,5 \end{pmatrix} $

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

Lösung

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

Normalform in entsprechende Koordinatenform umwandeln durch Skalarprodukt (Ausmultiplizieren):

$ E:\begin{bmatrix} \vec{x}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\3\\2 \end{pmatrix} = 0 $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = x\cdot 4+y\cdot 3+z\cdot 2=4x+3y+2z $

$ \qquad \qquad \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\3\\2 \end{pmatrix} = 2\cdot 4+ (-1)\cdot 3+0\cdot 2=5 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man:

$ E:4x+3y+2z-5=0 $

$ E:4x+3y+2z=5 $

Jetzt Koordinaten-, in Parameterform umwandeln:

$E$ nach $z$ umstellen:

$ 4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad \textcolor{red}{-4x} \:/\: \textcolor{red}{-3y} $

$ 2z=5-4x-3y \qquad | \qquad \textcolor{red}{:2} $

$ z=2,5-2x-1,5y $

Setze $x=r$ und $y=s$: $ \qquad \Rightarrow \qquad z=2,5-2r-1,5s $

Dann ergibt sich: $ \qquad \begin{cases} \text{$x=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{1}\cdot r+\textcolor{red}{0}\cdot s$}\\ \text{$y=\textcolor{red}{0}+\textcolor{red}{0}\cdot r+\textcolor{red}{1}\cdot s$}\\ \text{$z=\textcolor{red}{2,5}+\textcolor{red}{-2}\cdot r+\textcolor{red}{-1,5}\cdot s$} \end{cases} $

Also lässt sich die Ebene wie folgt in Parameterform beschreiben:

$ E:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\2,5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-1,5 \end{pmatrix} $

Ebenengleichungen - von Parameterform in Koordinatenform umwandeln

October 13, 2023

Parameterform in Koordinatenform

Eine Ebene in Parameterform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man nacheinander folgende Umwandlungen vornimmt:

von Parameterform in Normalform

von Normalform in Koordinatenform

Die Formen:

Parameterform	Koordinatenform
$E:\vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{b}+s\cdot\vec{c}$	$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$

Weitere Umwandlungen

Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Parameterform in Koordinatenform um.

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot 1-1\cdot 0\\ 1\cdot 1-0\cdot 1\\ 0\cdot 0-1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = 0 $

Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} $

$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} =x\cdot 1+y\cdot 1+z\cdot (-1)=x+y-z $

$\qquad \begin{pmatrix}1\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix} =1\cdot 1+2\cdot 1+4\cdot (-1)=-1 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

$x+y-z+1=0$

Also die Koordinatenform lautet:

$E:x+y-z=-1$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\0\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-3\\4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot 2-(-1)\cdot 4\\ -1\cdot (-3)-2\cdot 1\\ 1\cdot 4-0\cdot (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = 0 $

Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} $

$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} =x\cdot 4+y\cdot 1+z\cdot 4 = 4x+y+4z $

$\qquad \begin{pmatrix}2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\1\\4 \end{pmatrix} =2\cdot 4+3\cdot 1+ (-1)\cdot 4=7 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

$4x+y+4z-7=0$

Also die Koordinatenform lautet:

$E:4x+y+4z=7$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-2\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-2\\3\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot (-4)-3\cdot 3\\ 3\cdot (-2)-(-2)\cdot (-4)\\ (-2)\cdot 3-0\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} = 0 $

Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} $

$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =x\cdot (-9)+y\cdot (-14)+z\cdot (-6) = -9x-14y-6z $

$\qquad \begin{pmatrix}-2\\3\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-9\\-14\\-6 \end{pmatrix} =-2\cdot (-9)+3\cdot (-14)+ (-1)\cdot (-6) = -18 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

$-9x-14y-6z+18=0$

Also die Koordinatenform lautet:

$E:-9x-14y-6z=-18$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

Lösung

Parameterform der Ebene $E$

$E:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$

Normalenvektor berechnen: Kreuzprodukt der Richtungsvektoren bestimmen

$ \qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot (-1)-4\cdot 1\\ 4\cdot 2-(-1)\cdot (-1)\\ (-1)\cdot 1-2\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

$ \qquad \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = 0 $

Normalform in Koordinatenform umwandeln durch Ausführen des Skalarproduktes (Ausmultiplizieren):

$ \qquad \Rightarrow E: \begin{bmatrix}\vec{x} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \end{bmatrix} ∘ \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} $

$\qquad \begin{pmatrix}x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} =x\cdot (-6)+y\cdot 7+z\cdot (-5) = -6x+7y-5z $

$\qquad \begin{pmatrix}3\\2\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-6\\7\\-5 \end{pmatrix} =3\cdot (-6)+2\cdot 7+ 4\cdot (-5) = -24 $

Setzt man diese beiden Ergebnisse in die ausmultiplizierte Normalenform ein, erhält man

$-6x+7y-5z+24=0$

Also die Koordinatenform lautet:

$E:-6x+7y-5z=-24$

Ebenengleichungen - von Koordinatenform in Normalform umwandeln

October 13, 2023

Koordinatenform in Normalform

Eine Ebene in Koordinatenform wird in die entsprechende Normalform umgewandelt, indem man die Einträge des Normalenvektors $\vec{n}$ aus den Koeffizienten der Koordinaten $x, y$ und $z$ in der Koordinatenform abliest und die Einträge von $\vec{a}$ als die Koordinaten eines beliebigen Punktes, der die Koordinatengleichung erfüllt auswählt.

Die Formen:

Koordinatenform	Normalform
$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$	$E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$

Weitere Umwandlungen

Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Koordinatenform in Normalenform um.

$E:x+y-z+1=0$

Lösung

$E:x+y-z+1=0$

Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ und $z$ überein.

$\qquad E:1\cdot x + 1\cdot y + (-1)\cdot z+1=0$

$\qquad \qquad \vec{n}= \begin{pmatrix}1\\1\\-1 \end{pmatrix}$

Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

$x$ und $y$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad x=1 \:(a_1)$
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot 1 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot z = -1$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2-z=-1$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow z=3\: (a_3)$

Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}$

Und die Normalenform der Ebene:

$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\1\\-1 \end{pmatrix}=0$

$E:2x-y+3z-5=0$

Lösung

$E:2x-y+3z-5=0$

Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.

$\qquad E:2\cdot x + (-1)\cdot y + 3\cdot z -5 = 0$

$\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}$

Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2\cdot x + (- 1)\cdot 1 + 3\cdot 1 = 5$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2x=3$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\: (a_1)$

Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1 \\1 \end{pmatrix}$

Und die Normalenform der Ebene:

$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 2\\-1\\3\end{pmatrix}=0$

$E:x+15y+2z=19$

Lösung

$E:x+15y+2z=19$

Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x, y$ uns $z$ überein.

$E:1\cdot x + 15\cdot y + 2\cdot z = 19$

$\qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}1\\15\\2 \end{pmatrix}$

Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $\vec{a}$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen:

$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 1\cdot x + 15\cdot 1 + 2\cdot 1 = 19$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow x=2\: (a_1)$

Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix}$

Und die Normalenform der Ebene:

$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}2\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} 1\\15\\2\end{pmatrix}=0$

$E:-x+2y+4z=0$

Lösung

$E:-x+2y+4z=0$

Einträge des Normalenvektors bestimmen.
Diese stimmen mit den jeweiligen Koeffizienten von $x$, $y$ und $z$ überein.

$\qquad E:(-1)\cdot x + 2\cdot y + 4\cdot z = 0$

$\qquad \qquad \vec{n}=\begin{pmatrix}-1\\2\\4 \end{pmatrix}$

Beliebigen Punkt mit Ortsvektor $a$ suchen, dessen Koordinaten die Ebenengleichung in Koordinatenform erfüllen, z. B.:

$y$ und $z$ werden frei gewählt:
$\qquad \qquad \qquad y=1 \:(a_2)$
$\qquad \qquad \qquad z=1 \:(a_3)$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow -1\cdot 1 + 2y + 4\cdot 1 = 0$
$\qquad \qquad \qquad \Rightarrow 2y=-3$
$\qquad \qquad \qquad \Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}\: (a_1)$

Der Ortsvektor ist also: $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\ – \frac{3}{2} \\1 \end{pmatrix}$

Und die Normalenform der Ebene:

$E:\begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}1\\-\frac{3}{2}\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}∘\begin{pmatrix} -1\\2\\4\end{pmatrix}=0$

Ebenengleichungen - von Normalform in Koordinatenform umwandeln

October 12, 2023

Normalform in Koordinatenform

Eine Ebene in Normalform wird in die entsprechende Koordinatenform umgewandelt, indem man das vorliegende Skalarprodukt ausmultipliziert und den erhaltenen Term zusammenfasst.

Die Formen:

Normalenform	Koordinatenform
$E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]=0$	$E:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3-b=0$

Weitere Umwandlungen

Übungsaufgaben

Wandle die folgenden Ebenen von Normalenform in Koordinatenform um.

$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Lösung

$E:\begin{pmatrix}4\\-7\\2\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Erst das Skalarprodukt berechnen:

$E:4\cdot x+(-7)\cdot(y-1)+2\cdot(z-2)=0$

Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

$E:4x-7y+7+2z-4=0$

und jetzt zusammenfassen:

$E:4x-7y+2z+3=0$

Die Koordinatenform lautet:

$E:4x-7y+2z+3=0$ oder $E:4y-7y+2z=-3$

$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Lösung

$E:\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Erst das Skalarprodukt berechnen:

$E:0\cdot(x-2)+1\cdot(y-2)+0\cdot(z-2)=0$

Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

$E:y-2=0$

Die Koordinatenform lautet:
$E:y-2=0$ oder $E:y=2$

(Hinweis: Die Ebene $E:y-2=0$ ist parallel zur Ebene-$x-z$)

$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Lösung

$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=0$

Berechne das Skalarprodukt:

$E:1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z-(1\cdot0+1\cdot0+(-1)\cdot1)=0$

Die Klammern mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizieren:

$E:x+y-z+1=0$

Die Koordinatenform lautet:
$E:x+y-z+1=0$ oder $E:x+y-z=-1$

$E:\begin{pmatrix}-6\\-3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=0$

Lösung

$E:\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}∘\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0$

Berechne das Skalarprodukt:

$E:-6x-3y+2z=0 \qquad | \qquad \cdot (-1)$

$E:6x+3y-2z=0$

Die Koordinatenform lautet:
$E:6x+3y-2z=0$

Geradengleichungen

October 11, 2023

Geradengleichungen umwandeln

Geraden in der zweidimensionalen Zeichenebene lassen sich durch lineare Funktionsgleichungen der Form $y(x)=mx+n$ erfassen.

Eine Geradengleichung in Normalenform gibt es nur im $\mathbb{R^2}$, da keinen eindeutigen Normalenvektor im $\mathbb{R^3}$ gibt.

Anleitung

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Distributivgesetz anwenden

Ausmultiplizieren

Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Koordinatenform nach $z$ auflösen

$x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen

Parameterform aufstellen

Beispiel

$\qquad $ Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

$\qquad $ $g:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} \end{bmatrix}=0$

$\qquad \qquad $ 1) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden

$\qquad \qquad \qquad $ $g:\vec{n}∘\vec{x}-\vec{n}∘\vec{a}= \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=0 $

$\qquad \qquad \qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren / Skalarprodukt

$\qquad \qquad \qquad $ $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-(4\cdot2)-(3\cdot(-1))=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-8+3=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-5=0$

$\qquad \qquad \qquad $ Die Koordinatenform der Gerade lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y-5=0\qquad oder \qquad4x+3y=5$

$\qquad \qquad $ 2) Koordinatenform in Parameterform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $y$ auflösen

$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y=5 \qquad | \qquad -4x$
$\qquad \qquad \qquad $ $3y=5-4x \qquad | \qquad :3$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}x$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ ersetzen
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $x=r$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen
$\qquad \qquad \qquad $ So sieht’s erst aus:
$\qquad \qquad \qquad $ $g: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u} \qquad oder \qquad g: \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad $ mit:

$a_1$ und $a_2$ als Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
$u_1$ und $u_2$ als Koordinaten des Richtungsvektors $\vec{u}$

$\qquad \qquad \qquad $ $x$ und $y$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=a_1+r\cdot$$u_1$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=a_2+r\cdot$$u_2$

$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}r$

$\qquad \qquad \qquad $ $y$ wird umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{\frac{5}{3}}$+$r\cdot(\textcolor{red}{-\frac{4}{3}})$
$\qquad \qquad \qquad $ und die allgemeine Form lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{a_2}+r\cdot\textcolor{red}{u_2}$

$\qquad \qquad \qquad $ jetzt wird $x$ umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r\cdot1$
$\qquad \qquad \qquad $ auch geschrieben:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot\textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ und das entspricht die allgemeine Form:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{a_1}+r\cdot {u_1}$

$\qquad \qquad \qquad $ zusammen haben wir:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}r$

$\qquad \qquad \qquad $ oder auch

$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{\frac{5}{3}}+r\cdot (\textcolor{red}{-\frac{4}{3}})$

$\qquad \qquad \qquad $ daraus haben wir die Parameterform:
$\qquad \qquad \qquad $ $g: \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{\frac{5}{3}}\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{- \frac{4}{3}}\end{pmatrix}$

Ebenengleichungen umwandeln

Anleitung

Normalenform in Koordinatenform umwandeln

Distributivgesetz anwenden

Ausmultiplizieren

Koordinatenform in Parameterform umwandeln

Koordinatenform nach $z$ auflösen

$x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen

Parameterform aufstellen

Beispiel

$\qquad $ Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

$\qquad $ $E:\vec{n}∘[\vec{x}-\vec{a}]= \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{bmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} \end{bmatrix}=0$

$\qquad \qquad $ 1) Normalenform in Koordinatenform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 1.1) Distributivgesetz anwenden

$\qquad \qquad \qquad $ $g:\vec{n}∘\vec{x}-\vec{n}∘\vec{a}= \begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=0 $

$\qquad \qquad \qquad $ 1.2) Ausmultiplizieren / Skalarprodukt

$\qquad \qquad \qquad $ $\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘ \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}∘\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-(4\cdot2)-(3\cdot(-1))-(2\cdot0)=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-8+3-0=0$
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-5=0$
$\qquad \qquad \qquad $ Die Koordinatenform der Gerade lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z-5=0\qquad oder \qquad4x+3y+2z=5$

$\qquad \qquad $ 2) Koordinatenform in Parameterform umwandeln

$\qquad \qquad \qquad $ 2.1) Koordinatenform nach $z$ auflösen

$\qquad \qquad \qquad $ $4x+3y+2z=5 \qquad | \qquad -4x-3y$
$\qquad \qquad \qquad $ $2z=5-4x-3y \qquad | \qquad :2$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2x-\frac{3}{2}y$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.2) $x$ durch $r$ und $y$ durch $s$ ersetzen
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad \qquad$ $y=s$

$\qquad \qquad \qquad $ $\Rightarrow$ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$

$\qquad \qquad \qquad $ 2.3) Parameterform aufstellen

$\qquad \qquad \qquad $ So sieht’s erst aus:

$\qquad \qquad \qquad $ $E: \vec{x}=\vec{a}+r\cdot\vec{u}+s\cdot\vec{v}$
$\qquad \qquad \qquad $ oder

$\qquad \qquad \qquad $ $E: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$
$\qquad \qquad \qquad $ mit:

$a_1$, $a_2$ und $a_3$ als Koordinaten des Aufpunkts $\vec{a}$
$u_1$, $u_2$ und $u_3$ als Koordinaten des 1. Richtungsvektors $\vec{u}$
$v_1$, $v_2$ und $v_3$ als Koordinaten des 2. Richtungsvektors $\vec{v}$

$\qquad \qquad \qquad $ $x$, $y$ und $z$ lassen sich auch getrennt voneinander betrachten:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=a_1+r\cdot$$u_1+s\cdot$$v_1$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=a_2+r\cdot$$u_2+s\cdot$$v_2$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=a_3+r\cdot$$u_3+s\cdot$$v_3$

$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$

$\qquad \qquad \qquad $ $z$ wird umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{\frac{5}{2}}$+$r\cdot(\textcolor{red}{-2})$+$s\cdot(\textcolor{red}{-\frac{3}{2}})$
$\qquad \qquad \qquad $ und die allgemeine Form lautet:
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{a_3}+r\cdot\textcolor{red}{u_3}+s\cdot\textcolor{red}{v_3}$

$\qquad \qquad \qquad $ jetzt wird $y$ umgeformt:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s\cdot1$
$\qquad \qquad \qquad $ auch geschrieben:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{0}+r\cdot\textcolor{red}{1}+s\cdot\textcolor{red}{0}$
$\qquad \qquad \qquad $ und das entspricht die allgemeine Form:
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{a_2}+r\cdot\textcolor{red}{u_2}+s\cdot\textcolor{red}{v_2}$

$\qquad \qquad \qquad $ zusammen haben wir:
$\qquad \qquad \qquad $ $x=r$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=s$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\frac{5}{2}-2r-\frac{3}{2}s$

$\qquad \qquad \qquad $ oder auch

$\qquad \qquad \qquad $ $x=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{1}+s\cdot \textcolor{red}{0}$
$\qquad \qquad \qquad $ $y=\textcolor{red}{0}+r\cdot \textcolor{red}{0}+s\cdot \textcolor{red}{1}$
$\qquad \qquad \qquad $ $z=\textcolor{red}{\frac{5}{2}}+r\cdot(\textcolor{red}{-2})+s\cdot(\textcolor{red}{-\frac{3}{2}})$

$\qquad \qquad \qquad $ daraus haben wir die Parameterform:
$\qquad \qquad \qquad $ $E: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{\frac{5}{2}}\end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{-2}\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}\textcolor{red}{0}\\ \textcolor{red}{1}\\ \textcolor{red}{-\frac{3}{2}}\end{pmatrix} $

Vektor- oder Kreuzprodukt

October 5, 2023

Das Vektorprodukt ist die Kombination zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Vektor senkrecht zu den beiden Vektoren ist.

Das Vektorprodukt wird oft auch als Kreuzprodukt bezeichnet.

Mathematische Definition

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{matrix})

ist definiert als

u⃗ \times v⃗ = (\begin{matrix} u2 v3 & - & u3 v2 \\ u3 v1 & - & u1 v3 \\ u1 v2 & - & u2 v1 \end{matrix})

Beispiel

Für

u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

ist das Kreuzprodukt

w⃗ = u⃗ \times v⃗ = (\begin{matrix} 2 • 1 - 1 • 4 \\ 1 • 2 - 1 • 1 \\ 1 • 4 - 2 • 2 \end{matrix})

=

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}),

mit

w⃗ ⊥ u⃗

und

w⃗ ⊥ v⃗

(⊥ = Senkrecht)

Länge von $w⃗$

|

w⃗

|

=

|

u⃗ \times v⃗

|

=

|

u⃗

|

•

|

v⃗

|

•

sin (α),

- α

der winkel, den

u⃗

und

v⃗

bilden.

-

Der Wert |

w⃗

| entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von

u⃗

und

v⃗

aufgespannt wird.

Beispiele Skizze

Probe zu Orthogonalität

u⃗

o

w⃗

=

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

o

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

=

- 2 + 2 + 0 = 0

➪

u⃗ ⊥ w⃗

v⃗

o

w⃗

=

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

o

(\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

=

- 4 + 4 + 0 = 0

➪

v⃗ ⊥ w⃗

Eigenschaften

$u⃗ \times (v⃗ + w⃗) = u⃗ \times v⃗ + u⃗ \times w⃗$

$u⃗ \times v⃗ = - (v⃗ \times u⃗)$

$(u⃗ + v⃗) \times w⃗ = u⃗ \times w⃗ + v⃗ \times w⃗$ (Distributivgesetze)

$(r • u⃗) \times v⃗ = r • (u⃗ \times v⃗) = u⃗ \times (r • v⃗)$

Achtung !!!
Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ.

Übungsaufgaben

$u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} 8 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 4) • 12 - 0 • 1 \\ 0 • 8 - 3 • 12 \\ 3 • 1 - (- 4) • 8 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 48 \\ - 36 \\ 35 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} 3 • (- 2) - 1 • (1) \\ 1 • (- 1) - (- 2) • (- 2) \\ (- 2) • 1 - 3 • (- 1) \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 7 \\ - 5 \\ 1 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} 6 \\ 7 \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 1) • 2 - 5 • 7 \\ 5 • 6 - 2 • 2 \\ 2 • 7 - (- 1) • 6 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} - 37 \\ 26 \\ 20 \end{matrix})$

$u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$

Lösung

Berechne das Kreuzprodukt.

$(\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})$ $\times$ $(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} (- 2) • (- 1) - (- 4) • 3 \\ (- 4) • (- 3) - 1 • (- 1) \\ 1 • 3 - (- 2) • (- 3) \end{matrix})$ $=$ $(\begin{matrix} 14 \\ 13 \\ - 3 \end{matrix})$

Vektoren addieren und subtrahieren

September 29, 2023

Addition von Vektoren

Graphische Darstellung

Vektoren lassen sich als Richtungsanzeigen oder Wegbeschreibungen interpretieren.

Addierst du Vektoren, “führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus”.
Anstatt beide Wege nacheinander zu gehen, kann man aber auch gleich 3 nach rechts und 2 nach oben gehen. Das ist die Summe der Vektoren.

Beispielaufgaben

Addiere die Vektoren:

Lösung

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Category Archives: Vectorrechnung

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