1. Eine Funktion 2. Grades, besitzt einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0|-3)$ und einen Hochpunkt bei $H(3|2)$
   
   Lösung
   1. Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen
   
   

   • Eine Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion, der Form:
     
     $ \qquad f(x)=ax^2+bx+c$, $\qquad a, b \:\:und\:\: c \in \mathbb{R} $
   
   
   
   • Die 1. und 2. Ableitungen sind:
     
     $ \qquad f'(x)=2ax+b $
     
     $ \qquad f”(x)=2a $

   
   
   2. Informationen in Mathe Gleichungen übersetzen
   
   
   $\:\:\:\:$ I. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y(0|-3) \rightarrow f(0)=-3$
   
   $ \qquad \Leftrightarrow f(0)=a(0)^2+b(0)+c=-3 $
   
   $ \qquad \longrightarrow {c=-3}\:\:\: \textcolor{red}{(I)} $
   
   
   $\:\:\:\:$ II. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f(3)=2$
   
   $ \qquad \Leftrightarrow a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=2 $
   
   $ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b+c=2\:\:\: \textcolor{red}{(II)} $
   
   
   $\:\:\:\:$ III. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f'(3)=0$
   
   $ \qquad \Leftrightarrow 2a\cdot 3+b=0 $
   
   $ \qquad \Leftrightarrow 6a+b=0\:\:\: \textcolor{red}{(III)} $
   
   3. Lineares Gleichungssystem (LGS) auftellen und lösen
   
   $ \qquad \begin{cases} \begin{align*} c &=-3 \:\:\: \textcolor{red}{(I)}\\ 9a + 3b + c &=2 \:\:\:\:\: \textcolor{red}{(II)}\\ 6a + b &=0 \:\:\:\: \textcolor{red}{(III)} \end{align*} \end{cases} $
   
   $\:\:\:$ Setze $I$ in $II$
   
   $ \qquad \Rightarrow 9a+3b-3=2\:\:|\:\:+3 $
   
   $ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b-3=5\:\:\: \textcolor{red}{(IV)} $
   
   
   $ \qquad -3\cdot III+IV \Rightarrow \begin{cases} \begin{align*} (6a+b &=0)\cdot(-3)\\ 9a+3b &=5 \end{align*} \end{cases} $ $ \:\: \Rightarrow \:\: \begin{cases} \begin{align*} -18a-3b &=0\\ 9a+3b &=5\\ \hline -9a &=5 \:\:\: |\: (-9) \end{align*} \end{cases} $
   
   $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\:\:\:\:\: \large \longrightarrow a=-\frac{5}{9} $
   
   $\:\:\:$ Setze $a$ in $III$ ein: $\Rightarrow 6(-\frac{5}{9})+b=0 \:\:\:| \: +\frac{30}{9}$
   
   $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \large \longrightarrow b=\frac{30}{9}=\frac{10}{3} $
   
   4. Rekonstruierte Funktion bestimmen
   $\:\:\:$ Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:
   
   $\qquad$ ➪ $ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $
   
   

   Graphische Darstellung

   $ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $
   



2. Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=-2$, eine einfache Nullstelle bei $x_3=0$ und verläuft durch den Punkt $P(-1|-2).$
   
   Lösung
   Allg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
   
   

   • Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
     
     $ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $
     
     Die Nullstellenform lautet:
     
     $ f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $
     
     Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $ \large \textcolor{DodgerBlue}{x_{1,2}=-2} $ und eine Nullstelle bei $ \large \textcolor{OliveGreen}{x_3=0} $
     
     Übersetze:
     $ \qquad \large \longrightarrow f(x)=a\cdot (x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{OliveGreen}{0}) $
     
     Die Funktion verläuft durch den Punkt $P(-1|-2)$
     
     $ \qquad \Rightarrow f(-1)=-2\:\: \Leftrightarrow \:\:a\cdot (-1+2)(-1+2)(-1-0)=-2 $
     
     Klammer auf und fasse zusammen:
     
     $ \qquad \Rightarrow\:\: a\cdot 1\cdot (-1)=-2 $
     
     $ \qquad \large \iff \:\: a=2 $
     
     Nun lautet die Funktionsgleichung (Funktionsterm):
     
     $ \qquad f(x)= 2\cdot (x+2)(x+2)(x-0), $
     
     Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form:
     
     $ \qquad f(x)= 2\cdot (x^2+4x+4) $
     
     $ \qquad = 2x^3+8x^2+8x $
     
     Die Funktionsgleichung lautet:
     
     $\qquad$ ➪ $ \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $

   
   
   

   Graphische Darstellung

   $ \:\:\: \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $
   
   



3. Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte $P(1|-1,5).$ und $Q(3|7,5)$.
   
   Lösung
   Allg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
   
   

   • Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
     
     $ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $
     
     Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit gerade Exponenten:
     
     $\qquad \longrightarrow f(x)=ax^3+cx $
     
     Die Punkte $P(1|-1,5)$ und $Q(3|7,5)$ liegen auf f:
     
     Bedeutet:
     
     $\qquad$ – Setze $P(1|-1,5)$ in die Gleichung ein:
     
     $ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 1^3+c\cdot 1=-1,5 $
     
     $ \qquad\qquad \Leftrightarrow a+c=-1,5\:\:\: (I) $
     
     $\qquad$ – Setze $Q(3|7,5)$ in die Gleichung ein:
     
     $ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 3^3+c\cdot 3=7,5 $
     
     $ \qquad\qquad \Leftrightarrow 27a+3c=7,5\:\:\: | \textcolor{red}{:3} $
     
     $ \qquad\qquad \rightarrow 9a+c=2,5\:\:\: (II) $
     
     Stelle ein Lineares Gleichungssystem auf und löse es:
     
     $ \qquad \qquad \begin{align*} \begin{cases} a+c &=-1,5 \:\:\: (I) \\ 9a+c &=2,5 \:\:\:\:\:\: (II) \end{cases} \end{align*} $
     
     $\qquad \qquad (I)-(II)\:\: \Rightarrow \:\: -8a=-4\:\:\:|\: \textcolor{red}{:(-8)} $
     
     $\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: a=\frac{1}{2} $
     
     $\qquad$ Setze $a$ in $(I)$ ein:
     
     $ \qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\: \Rightarrow\:\: \frac{1}{2}+c=-1,5\:\:\: |\: \textcolor{red}{-0,5} $
     
     $\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: c=-2 $
     
     Die Funktionsgleichung lautet:
     
     $\qquad\qquad$ ➪ $ \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x. $

   
   

   Graphische Darstellung

   $ \qquad \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x $
   
   Punktsymmetrie: $ \Large \textcolor{DodgerBlue}{f(-x)}= \textcolor{OliveGreen}{-f(x)} $
   
   




4. Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und geht durch den Punkt $P(0|3)$.
   
   Lösung
   Allg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
   
   

   • Eine Funktion 4. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
     
     $ \qquad f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. $
     
     und dir Nullstellenform: $f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$
     
     Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und weil achsensymmetrisch,
     hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei $x_{3,4}=-1$.
     
     Das heißt, die Nullstellenform ist:
     $ \qquad f(x)=a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1) $
     
     Der Punkte $P(0|3)$ liegt auf f:
     
     Bedeutet:
     
     $\qquad$ Setze $P(0|3)$ in die Gleichung ein und löse nach $a$:
     
     $\qquad$ $a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)=3 $
     
     Klammer auf und fasse zusammen:
     
     $\qquad a\cdot (-1)(-1)\cdot 1 \cdot 1=3 $
     
     Stelle nun den Funktionsterm auf:
     
     $ \Large \downarrow $ Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form.
     
     $ f(x)=3\cdot (x-1)(x+1)\cdot (x-1)(x+1) $
     
     
     $ \Large \downarrow $ Benutze die 3. binomische Formel.
     
     $ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^2-1)\cdot (x^2-1) $
     
     $ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^4-2x^2+1) $
     
     $ \qquad \Leftrightarrow f(x)=3x^4-6x^2+3 $
     
     Die Funktionsgleichung lautet:
     
     $\qquad\qquad$ ➪ $ \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $

   
   
   

   Graphische Darstellung

   $ \qquad \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $
   
   

Weitere Aufgaben

---

1. Bestimme eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=a^x+b$, welche durch die Punkte $P(1|4)$ und $Q(-1|\frac{4}{3})$ geht.
   
   Lösung
   
   Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:
   
   $\:\:\:$ Für $P$ $\Rightarrow\:a^1+b=4$
   
   $\:\:\:$ Für $Q$ $\Rightarrow\:a^{-1}+b=\frac{4}{3}$
   
   Löse das Gleichungssystem:
   
   $ \qquad \begin{cases} \begin{align*} a+b &=4 \:\:\:\: (I)\\ a^{-1}+b &=\frac{4}{3} \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
   
   Subtrahiere die Gleichungen:
   
   $\qquad (I)-(II) \: \Rightarrow\: a-a^{-1}=4-\frac{4}{3}$
   
   Fasse zusammen und mache Gleichnahmig:
   
   $\qquad \large \iff a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3} \iff \frac{3\cdot a^2}{3a}- \frac{3\cdot 1}{3a}-\frac{8\cdot a}{3a}=0 $
   
   $\qquad \Rightarrow 3a^2-8a-3=0\:\: |\: :3 $
   
   $\qquad \Rightarrow a^2-2,66a-1=0 $
   
   Löse mit pq-Formel oder andere Formeln:
   
   $\qquad$ Mit pq-Formel: $a^2-2,66a-1=0$, mit $p=-2,66$ und $q=-1$.
   
   Die 2 Lösungen sind:
   
   $\qquad$ $ \large a_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} $
   
   Setze $p$ und $q$ ein:
   
   $\qquad$ $ \longrightarrow \begin{cases} a_1=2,99\approx3\\ oder\\ a_2=-0,33 \:\: \textcolor{red}{\longrightarrow (entfällt\: bei\: Exponentialfunktionen)} \end{cases} $
   
   $\qquad$ $ \Rightarrow $ die Lösung ist $ \large \underline {a=3} $
   
   Setze $a=3$ in Gleichung $(I)$ ein:
   
   $\qquad$ $ \Rightarrow 3+b=4\:\:|\: (-3) $
   
   $\qquad$ $ \iff \large \underline{b=1} $
   
   Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann also:
   
   $\qquad$ ➪ $ \large f(x)=3^x+1 $
   
   

   Graphische Darstellung

   
   $ \large f(x)=3^x+1 $
   
   




2. Gesucht ist eine Funktion der Form $f(x)=log_a x$. Die Funktion geht durch den Punkt $P(8|1,5)$.
   Ermittle die Funktionsgleichung.
   
   Lösung
   
   Setze $P$ in die Funktion $f$ ein und löse nach a auf:
   
   $\qquad$ $ 1,5=log_a\:8 $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Nach Logarithmusgesetze:
   
   $\qquad$ $ \large a^{1,5}=8 $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Schreibe den Exponenten rationale um:
   
   $\qquad$ $ \large a^{\frac{3}{2}}=8 $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Es gilt nach dem dritten Potenzgesetz:
   
   $\qquad$ $ \large (a^3)^{\frac{1}{2}}=8 \:\:\:\:|\:\:\:\: \frac{3}{2} \equiv 3\cdot \frac{1}{2} $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ oder auch:
   
   $\qquad$ $ \large \sqrt{a^3}=8 $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Quadriere $(…)^2$:
   
   $\qquad$ $ \large a^3=64 $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Ziehe die dritte Wurzel $\sqrt[3]{{…}}$:
   
   $\qquad$ $ \large a=4 $
   
   $\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $
   
   Damit lautet die Basis Funktionsgleichung:
   
   $\qquad$ ➪ $ \large f(x)=log_4\:x $
   
   

   Graphische Darstellung

   
   $ \large f(x)=log_4\:x $