1. Berechnung des gespielten Punktes


2. Rückführung der Spiegelung Punkt-Ebene auf die Spiegelung des Punktes am Fußpunkt des Lots auf die Ebene


3. Rückführung der Spiegelung Punkt-Gerade auf die Spiegelung des Punktes am Fußpunkt des Lots auf die Gerade

Beispielaufgaben – Punkt an Punkt

---

1. $P(4|3|-7), \: Q(5|0|6)$
   Lösung
   $P(4|3|-7), \: Q(5|0|6)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Ortsvektor\: von\: P\: auf $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 4\\3\\-7 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Vektor\: zwischen\: P\: und\: Q\: auf $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 5-4\\0-3\\6-(-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-3\\13 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: ein\: und\: berechne $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PS} $ $\qquad \iff \begin{pmatrix} 4\\3\\-7 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 1\\-3\\13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\-3\\19 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad \iff \overrightarrow{OP^{\prime}} = \begin{pmatrix} 6\\-3\\19 \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:
   
   $\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}(6|-3|19) $



2. $P(2|-4|9), \: Q(1|7|7)$
   
   $\:\:$
   Antwort $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(0|18|5)$



3. $P(-5|3|4), \: Q(6|-3|3)$
   
   $\:\:$
   Antwort $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(17|-9|2)$



4. $P(1+a|3-2a|a^2), \: Q(1-a|a-2|2a-2)$
   Lösung
   $P(1+a|3-2a|a^2), \: Q(1-a|a-2|2a-2)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Ortsvektor\: von\: P\: auf $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1+a\\3-2a\\a^2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: Vektor\: zwischen\: P\: und\: Q\: auf $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 1-a-1-a\\a-2-3+2a-\\2a-2-a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a\\3a-5\\-a^2+2a-2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: ein\: und\: berechne $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PQ} $
   
   $\qquad \iff \begin{pmatrix} 1+a\\3-2a\\a^2 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} -2a\\3a-5\\-a^2+2a-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3a\\4a-7\\-a^2+4a-4 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad \iff \overrightarrow{OP^{\prime}} = \begin{pmatrix} 1-3a\\4a-7\\-a^2+4a-4 \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:
   
   $\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}[(1-3a|4a-7|-(a-2)^2] $



5. $P(1|-3|5), \: Q(4|-1|9)$
   
   $\:\:$
   Antwort $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(7|1|13)$

Beispielaufgaben – Punkt an Ebene

---

1. $P(7|14|-4), \: E:2x+6y-4z=2$
   
   
   Lösung
   $P(7|14|-4), \: E:2x+6y-4z=2$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: eine\: Hilfsgerade\: h $
   
   $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\14\\-4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\6\\-4 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: h\: mit\: E $
   
   $\qquad$ $ 2(7+2r)+6(14+6r)-4(-4-4r)=2 $
   
   $\qquad$ $ \iff\: 56r=-112\: \longrightarrow\: r=-2 $
   
   $\qquad$ Setzte $r$ in $h$ ein
   
   $\qquad$ $h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 7\\14\\-4 \end{pmatrix} + (-2)\cdot \begin{pmatrix} 2\\6\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad$ Der Lotfußpunkt lautet: $ L \begin{pmatrix} 3\\2\\4 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: und\: berechne $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}}= \overrightarrow{OP}+2\cdot \overrightarrow{PL} $
   
   $\qquad \iff $ $ \overrightarrow{OP^{\prime}}= \begin{pmatrix} 7\\14\\-4 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 3-7\\2-14\\4-(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\-10\\12 \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:
   
   $\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}(-1|-10|12) $



2. $P(2|4|6), \: E:x-2y-z=1$
   
   $\:\:$
   Antwort $Spiegelpunkt\: P^{\prime} \begin{pmatrix} \frac{19}{3}| – \frac{14}{3}| \frac{5}{3} \end{pmatrix} $



3. $P(10|5|5),$ Ebene $E$ durch die Punkte $A(5|7|0),$ $B(9|3|-2)$ und $C(7|-1|2)$
   
   
   Lösung
   $P(10|5|5),$ Ebene $E$ durch die Punkte $A(5|7|0),$ $B(9|3|-2)$ und $C(7|-1|2)$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: durch\: A,\:B \:und\: C\: in\: die\: Koordinatenform $
   
   $\qquad$ Schreibe in Parameterform:
   
   $\qquad$ $ E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 9-5\\3-7\\-2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 7-5\\-1-7\\2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 4\\-4\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2\\-8\\2 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad$ Berechne die Normalform:
   
   $\qquad\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-4\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\-8\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\cdot 2-(-2)\cdot (-8)\\ (-2)\cdot 2-4\cdot 2\\ 4\cdot (-8)-(-4)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad\qquad$ Die Normalform lautet:
   
   $\qquad\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} =0 $
   
   $\qquad$ Schreibe die Koordinatenform:
   
   $\qquad\qquad$ Multipliziere aus:
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} = -24x-12y-24z $
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\7\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} = 5\cdot (-24)+7\cdot (-12)+0\cdot (-24) =-204 $
   
   $\qquad\qquad$ Setzte zusammen:
   
   $\qquad$ Die Koordinatenform lautet: $ E:-24x-12y-24z=-204 $
   
   $P(10|5|5), E:-24x-12y-24z=-204$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: eine\: Hilfsgerade\: h $
   
   $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 10\\5\\5 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: h\: mit\: E $
   
   $\qquad$ $ -24(10-24r)-12(5-12r)-24(5-24r)=-204 $
   
   $\qquad \iff $ $ -240+576r-60+144r-120+576r=-204 $
   
   $\qquad \iff $ $ 1296r-420=-204\qquad |+420 $
   
   $\qquad \iff $ $ 1296r=216\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\: |:1296 \qquad \longrightarrow \qquad r=\frac{1}{6} $
   
   $\qquad$ Setzte $r$ in $h$ ein:
   
   $\qquad\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 10\\5\\5 \end{pmatrix} + \frac{1}{6} \cdot \begin{pmatrix} -24\\-12\\-24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\3\\1 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad\qquad$ Der Lotfußpunkt lautet: $\:\: L \begin{pmatrix} 6\\3\\1 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\: die\: Gleichung\: und\: berechne $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP} +2\cdot \overrightarrow{PL} $
   
   $\qquad \iff $ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \begin{pmatrix} 10\\5\\5 \end{pmatrix} +2\cdot \begin{pmatrix} 6-10\\3-5\\1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:
   
   $\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large P^{\prime}(2|1|-3) $



4. Gegeben sind der Punkt $P(9|-12|2)$ und die Ebene $E:x-y=5.$ Gesucht ist der Spiegelpunkt $B$ des Punktes $P$ an der Ebene $E.$
   
   
   Lösung
   $P(9|-12|2)$ und $E:x-y=5$
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: eine\: Hilfsgerade\: h $
   
   $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 9\\-12\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: h\ mit\: E $
   
   $\qquad$ $ 1(9+r)-1(-12-r)+0(2+0r)=5 $
   
   $\qquad \iff $ $ 9+r+12+r=5 $
   
   $\qquad \iff $ $ 2r+21=5\qquad |-21 $
   
   $\qquad \iff $ $ 2r=-16\qquad\:\:\:\: \:\:\:\: |:2 \:\: \longrightarrow \:\: r=-8 $
   
   $\qquad$ Setzte $r$ in $h$ ein:
   
   $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 9\\-12\\2 \end{pmatrix} + (-8)\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} $
   
   $\qquad$ Der Lotfußpunkt lautet: $ L \begin{pmatrix} 1\\-4\\2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Vektoren\: in\ die\: Gleichung\: und\: berechne $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OP} +2 \cdot \overrightarrow{PL^{\prime}} $
   
   $\qquad \iff $ $ \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 9\\-12\\2 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 1-9\\-4-(-12)\\2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7\\4\\2 \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $B$ ist:
   
   $\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large B(-7|4|2) $



5. In einem Labor wird die Wirkung von Laserstrahlen auf eine schleimige Substanz untersucht. Im Punkt $P(7|5|15)$ befindet sich ein Laserstrahler, der in Richtung
   
   $\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} $
   
   strahlt und auf einen Spiegel trifft, der in der Ebene $E$ liegt mit:
   
   $\qquad\qquad$ $E:3x+2y+5z=30.$
   
   Ein mit der schleimigen Substanz gefülltes Reagenzglas befindet sich im Punkt $R(-3|5|0)$.
   
   a) Stelle eine Gleichung der Gerade auf, in welcher der Laserstrahl verläuft, bevor er auf den Spiegel trifft. Bestimme zudem den Winkel, in welchem der Laserstrahl auf den Spiegel trifft.
   
   b) Bestimme die Gerade $f$, in welcher der reflektierte Lichtstrahl liegt und prüfe, ob der reflektierte Laserstrahl das Reagenzglas trifft.
   
   
   Lösung
   a) Stelle eine mögliche Gleichung der Geraden auf:
   
   $\qquad$ $ g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow Berechne\: der\: spitze\: Winkel\: \alpha\: zwischen\: g\: und\: E $
   
   $\qquad$ $ sin(\alpha)= \large \frac{ \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } = \frac{ \begin{vmatrix} 21 \end{vmatrix} } { \sqrt{38} \cdot \sqrt{21} } \: \longrightarrow \: \normalsize \alpha \approx48,02^{\circ}. $

   ---

   b) Stelle die Gleichungen des reflektierten Strahls f
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade\: h\ auf $
   
   $\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\5 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow Bestimme\: den\: Lotfußpunkt\: L $
   
   $\qquad$ Berechne den Schnittpunkt $h$ mit $E$.
   
   $\qquad$ $ 3(7+3s)+2(5+2s)+5(15+5s)=30 $
   
   $\qquad$ $ \iff 21+9s+10+4s+75+25s=30 $
   
   $\qquad$ $ \iff 38s=-76\:\: \longrightarrow \:\: s=-2, \:\: \longrightarrow \:\: L(1|1|5) $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: der\: Punkt\: P(7|5|15)\: an\: L $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{0P^{\prime}}= \overrightarrow{0P} + 2\cdot \overrightarrow{PL} = \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 1-7\\1-5\\5-15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\-3\\-5 \end{pmatrix} . $
   
   $\qquad$ Ein weiterer Punkt auf der Gerade könnte man zum Beispiel mit $r=-1$ erhalten
   
   $\qquad\qquad$ $ Q= \begin{pmatrix} 7\\5\\15 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix} 4\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\14 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: Q\: an\: der\: Ebene\: E $
   
   $\qquad$ $ C \large \begin{pmatrix} \frac{-108}{19}|\frac{-53}{19}|\frac{-9}{19} \end{pmatrix} $ .
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Kürze\: den\: Richtungsvektor $
   
   $\qquad$ $\Longrightarrow$ die Geradengleichung durch die Punkte $B$ und $C$ lautet:
   
   $\qquad\qquad$ $ h:\vec{x}= \begin{pmatrix} -5\\-3\\-5 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -13\\4\\86 \end{pmatrix} , \:\: t\in\mathbb{R} $.
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Prüfe\: ob\: der\: Laserstrahl\: auf\: das\: Reagenzglas\: trifft $
   
   $\qquad$ Führe eine Punktprobe mit $R(-3|5|0)$ und der Geraden h durch
   
   $\qquad$ $ \begin{pmatrix} -3\\5\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\-3\\-5 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -13\\4\\86 \end{pmatrix} $ $ \iff $ $ \begin{cases} -3&=-5-13t\: \longrightarrow\: t=\frac{-2}{13}\\ 5&=-3+4t\: \longrightarrow\: t=2\\ 0&=-5+86t\: \longrightarrow\: t=\frac{5}{86} \end{cases} $
   
   $\qquad$ Kein $t\in\mathbb{R}$ erfüllt diese Gleichung
   
   $\qquad \Longrightarrow $ das Reagenzglas liegt nicht in dem Laserstrahl.

Beispielaufgaben – Punkt an Gerade

---

1. $ P(4|0|4),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
   
   Lösung
   $ P(4|0|4),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsebene\: E\: auf,\: senkrecht\: zu\: g,\: die\: P\: beinhaltet. $
   
   $\qquad$ $ E:2x+y-z=d $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Punktprobe:\: setzte\: P\: in\: E\: ein $
   
   $\qquad$ $ 2(4)+0-4=d \: \iff \: d=4 \:\: \longrightarrow \:\: E:2x+y+z=4 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: den\: Schnittpunkt\: S\:von\: E\: und\: g $
   
   $\qquad$ $ 2(6+2t)+1(6+t)-1(2-t)=4 $
   
   $\qquad \iff $ $ 12+4t+6+t-2+t=4 $
   
   $\qquad \iff $ $ 6t=-12 \:\: \longrightarrow \:\: t=-2 $
   
   $\qquad$ Den Schnittpunkt S lautet:
   
   $\qquad$ $ S= \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} + (-2)\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-4\\6-2\\2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: P\: an\: S,\: um\: den\: Bildpunkt\: P’\: zu\: erhalten $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP} +2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 4\\0\\4 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} 2-4\\4-0\\4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\8\\4 \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:
   
   $\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large P^{\prime} \begin{pmatrix} 0\\8\\4 \end{pmatrix} $



2. $ P(-1|1|2),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\5\\4 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2\\-2\\1 \end{pmatrix} $
   
   $\:\:$
   Antwort $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(3|1|10)$


3. $ P(3|-1|5),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} $
   
   Lösung
   $ P(3|-1|5),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsebene\: E\: auf,\: senkrecht\: zu\: g,\: die\: P\: beinhaltet. $
   
   $\qquad$ $ E:x+3y+2z=d $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Punktprobe:\: setzte\: P\: in\: E\: ein $
   
   $\qquad$ $ 3+3(-1)+2(5)=d \: \iff \: d=10 \:\: \longrightarrow \:\: E:x+3y+2z=10 $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: den\: Schnittpunkt\: S\:von\: E\: und\: g $
   
   $\qquad$ $ 1(1+t)+3(-1+3t)+2(1+2t)=10 $
   
   $\qquad \iff $ $ 1+t-3+9t+2+4t=10 $
   
   $\qquad \iff $ $ 14t=10 \:\: \longrightarrow \:\: t=\frac{5}{7} $
   
   $\qquad$ Den Schnittpunkt S lautet:
   
   $\qquad$ $ S= \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} + \frac{5}{7} \cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+\frac{5}{7}\\ -1+\frac{15}{7}\\ 1+\frac{10}{7} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{12}{7}\\ \frac{8}{7}\\ \frac{17}{7} \end{pmatrix} $
   
   $ \:\:\: $ $ \: \normalsize \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Spiegle\: P\: an\: S,\: um\: den\: Bildpunkt\: P’\: zu\: erhalten $
   
   $\qquad$ $ \overrightarrow{OP^{\prime}} = \overrightarrow{OP} +2 \cdot \overrightarrow{PS} = \begin{pmatrix} 3\\-1\\5 \end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{12}{7}-3\\ \frac{8}{7}+1\\ \frac{17}{7}-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{7}\\ \frac{23}{7}\\ \frac{-1}{7} \end{pmatrix} $
   
   
   $\:\:\:$ Der Spiegelpunkt $P^{\prime} $ ist:
   
   $\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large P^{\prime} \begin{pmatrix} \frac{3}{7}|\frac{23}{7}|\frac{-1}{7} \end{pmatrix} $



4. $ P(8|-7|7),\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\1\\11 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-1\\-1 \end{pmatrix} $
   
   $\:\:$
   Antwort $Spiegelpunkt\: P^{\prime}(12|5|11)$