Lösung a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Koordinaten\: der\: Punkte\: H\: und\: G $

$\qquad\:\:$ $ H \begin{pmatrix} 0\\10\\6 \end{pmatrix} $ und $ G \begin{pmatrix} 10\\10\\6 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ Berechne die Länge $|\overline{EL}|$ und $|\overline{EK}|$ und vergleich.

$\qquad\qquad$ $ |\overline{EL}|=\sqrt{(10-0)^2+(0-0)^2+(4-6)^2}=\sqrt{104}\approx10,2 $

$\qquad\qquad$ $ |\overline{EK}|=\sqrt{(2-0)^2+(10-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{104}\approx10,2 $

$\qquad\qquad$ $ |\overline{EL}|=|\overline{EK}| \Longrightarrow das\: Dreieck \: $ELK$\: ist \: gleichschenklig. $

Lösung b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Gleichung\: der\: Ebene\: E_p\: in\: Parameter-\: und\: in\: Koordinatenform $

$\qquad\:\:$ $E_p$ in Parameterform:

$\qquad\qquad$ $ E_p: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 10-0\\0-0\\4-6 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2-0\\10-0\\6-6 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ = \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 10\\0\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 2\\10\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ $E_p$ in Koordinatenform:

$\qquad\:\:$ Kreuzprodukt von beiden Richtungsvektoren (Normalenvektor $\vec{n}$)

$\qquad\qquad$ $ \vec{n} = \begin{pmatrix} 10\\0\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\10\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0-10\cdot (-2)\\ -2\cdot 2-10\cdot 0\\ 10\cdot10-0\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\-4\\100 \end{pmatrix} $


$\qquad\:\:$ Berechne $d=\vec{a}\cdot\vec{n}$, Punktprodukt Normalen- und Ortsvektor

$\qquad\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20\\-4\\100 \end{pmatrix} = 0\cdot20+0\cdot(-4)+6\cdot100=600 $

$\qquad\qquad$ Also $ E_p:20x-4y+100z \:\: \textcolor{red}{|:4} $

$\qquad\qquad$ $\iff \underline{ E_p:5x-y+25z } $

Lösung c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\:Begründe\: dass\: E_B:5x-y+25z=50 $

$\qquad\:\:$ Der Boden des Zuschauerraums ist parallel zur Plane
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow $ der Boden liegt in der Ebene $E_B:5x-y+25=d$
$\qquad\qquad\qquad$ und durch Einsetzen der Koordinaten von $B$, ist $\underline{E_B:5x-y+25=50}$

$\qquad\:\:$ Die größte Höhe des Bodens über der Grundfläche wird an dem Eckpunkt de s Bodens angenommen,
$\qquad\:\:$ der auf der Kante DH liegt.

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} x=0\\ \\ und\\ \\ y=10 \end{cases} $, also $5\cdot0-10+25z=50 \Rightarrow$ z=2,4.

$\qquad\:\:$ Die größte Höhe des Bodens über der Grundfläche beträgt: $\underline{h=2,4m}$

Lösung d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d)\:Begründe\: dass\: der\: Abstand\: der\: Plane\: vom\: Boden\: des\: Zuschauerraums\:<4m $

$\qquad\:\:$ Der Punkt $L$ der Plane ist $4m$ entfernt von Punkt $B$ des Bodens.

$\qquad\:\:$ Die Strecke $|\overline{LB}|$ verläuft nicht senkrecht zu den beiden Ebenen

$\qquad\qquad$ $ \iff |\overline{LB}|$ ist länger als der Abstand der beiden Ebenen.

Lösung e)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize e)\:Berechne\: die\: Größe\: der\:trapezförmigen\: Bühnenfläche $

$\qquad\:\:$ Schnittgerade $S_G$ von $E_B$ und die Bühnenebene

$\qquad\qquad$ $E_B=5x-y+25z=50$ und $ S_G= \begin{pmatrix} x\\ y\\ 0,8 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ Mit $x=r$, $5r-y+20=50 \Longrightarrow y=-30+5r$

$\qquad\qquad$ $ \iff S_G:\vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\-30\\0,8 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ Bestimme die $x-Werte$ der Schnittpunkt der Geraden $S_G$ mit den Seitenflächen
$\qquad\:\:$ $ABFE$ und $DCGH$

$\qquad \qquad $ Für den Schnittpunkt $S_{ABFE}$ gilt: $y=0 \Rightarrow 0=-30+5r \longrightarrow \begin{cases} r=6\\ also\\ x=6 \end{cases} $

$\qquad \qquad $ Für den Schnittpunkt $S_{DCGH}$ gilt: $y=10 \Rightarrow 10=-30+5r \longrightarrow \begin{cases} r=8\\ also\\ x=8 \end{cases} $

$\qquad \qquad $ Also bekommst du die parallelen Trapezseiten Länge: $ \begin{cases} c=10-6=4\: LE\\ und\\ a=10-8=2\: LE \end{cases} $


$\qquad\:\:$ Für ein Trapez gilt $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ mit $ \begin{cases} a=2\: LE\\ \\ c=4\: LE\\ \\ h=10\: LE \end{cases} $

$\qquad \qquad $ Also: $A=\frac{2+4}{2}\cdot 10=30$, die Bühne hat eine Fläche von $\underline{A=30 m^2}$