Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion $\Large s(t)$ des Vorgangs?

$\qquad\qquad\qquad$ $\Large s(t)=at^3+bt^2+ct+d$

$\qquad\qquad\qquad$ Ableitugen:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} s'(t)=3at^2+2bt+c\\ \\ s^{”}(t)=6at+2b \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Punkte:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} s(0)=0 \Longrightarrow a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d=0 \longrightarrow \underline{d=0} &(I)\\ \\ s(4)=4 \Longrightarrow a(4)^3+b(4)^2+c(4)+d=4 \longrightarrow 64a+16b+4c=4 &(II)\\ \\ s'(0)=0 \Longrightarrow 3a(0)^2+2b(0)+c=0 \longrightarrow \underline{c=0} &(III)\\ \\ s'(8)=0 \Longrightarrow 3a(8)^2+2b(8)+c=0 \longrightarrow 192a+16b=0 &(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $(III)$ in $(II)$ einsetzen und $(II)-(IV)$ rechnen:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4 &(II)\\ \\ -192a &-& 16b &=& 0 &(IV)\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-128a \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:=\:\:\: 4\qquad|:(-128)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \Longrightarrow \underline { \Large a= -\frac{1}{32} =-0,031 } $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\Large a$ in $(II)$ einsetzen $\Longrightarrow 64(-0,031)+16b=4\:\:\:\:|+2 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 16b=6\:\:\:\:|\:\: :16 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Longrightarrow \underline { \Large b= \frac{3}{8} =0,375 } $


$\qquad\qquad$ Die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large s(t)=-0,031t^3+0,375t^2= -\frac{1}{32}t^3+ \frac{3}{8}t^2 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Die lange ist die gesamte Fahrstrecke?
$\qquad\qquad$ $\Large s$ nach $8$ Minuten wird gesucht

$\qquad\qquad$ $\large s(8) =-0,031(8)^3+0,375(8)^2= \large -\frac{1}{32}8^3+ \frac{3}{8}8^2=8,128 \longrightarrow \underline{ s\approx8\:km}$

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit des Zuges?
$\qquad\qquad$ Suche das Maximum von $\large v(t)$, wobei $\large v(t)$ die Ableitung von $\large s(t)$ ist.

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large v(t)=s'(t)= -\frac{3}{32}t^2+ \frac{6}{8}t $

$\qquad\qquad\qquad$ Die Max Geschwindigkeit ist erreicht wenn $\large v'(t)=0\:\:| \:\:(\large v'(t)=s'(t))$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large v'(t)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{32}t^2+ \frac{6}{8}t=0 $, mit p-q-Formal bekommst du

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} -3t &=& 0 &\longrightarrow& t &=& 0\\ \\ t-4 &=& 0 &\longrightarrow& t &=& 4 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large s^{”}(4)= -\frac{6}{32}4+ \frac{6}{8}= $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Die Max Geschwindigkeit ist erreicht wenn $\large t=4$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $v(4)=s'(4)= \large -\frac{3}{32}4^2+ \frac{3}{4}4=1,5 \Longrightarrow \underline{ \large v_{Max}=1,5\:km/min} $

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wann beträgt die Geschwindigkeit genau $67,5\: km/h$?
$\qquad\qquad$ $\Large v(t)= -\frac{3}{32}t^2+ \frac{3}{4}t= \frac{67,5}{60} \Longrightarrow \Large -\frac{3t^2+24t}{32}= \frac{67,5}{60} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\iff -180t^2+1440t=2160\:\:\:\:|\:\:(-2160)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff-180t^2+1440t-2160=0\:\:\:\:|\:\: :(-180) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\iff t^2-8t+12=0 \longrightarrow \begin{cases} t_1=2\:min\\ \\ t_2=6\:min \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Die Geschwindigkeit beträgt genau $\large 67,5\: km/h$ bei $ \:\:\:\: \large \begin{cases} t_1=2\:min\\ \\ oder\\ \\ t_2=6\:min \end{cases} $

Lösung zu a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung der Parabel?

$\qquad\:\:\:\:$ die Gleichungen und deren Bedingungen:

$\qquad\qquad$ $ \Large * \:\:f(x)= \frac{6}{x}=6\cdot x^{-1} \longrightarrow f'(x)= -6x^{-2}= \Large -\frac{6}{x^2} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} f(2)= \Large \frac{6}{2} = 3\\ \\ f'(2)= \Large -\frac{6}{2^2}=-\frac{6}{4} = -1,5 \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \Large * \:\:g(x)=ax^2+c \longrightarrow g'(x)=2ax $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} g(2)= \large a\cdot 2^2+c=4\cdot a+c\\ \\ g'(2)= \large 4\cdot a \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ f(2)=g(2) \Longrightarrow 3=4a+c \:\: (I) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ f'(2)=g'(2) \Longrightarrow -1,5=4a \longrightarrow \underline{a=-0,375} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Setze $a=-0,375$ in $(I)$: $\Longrightarrow 3=4(-0,375)+c \longrightarrow \underline{c=4,5} $

$\qquad\qquad$ Die Gleichung Parabel lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)=-0,375x^2+4,5 } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Unter welchem Winkel unterquert der neue Kanal die von Westen nach Osten
$\qquad\qquad$ verlaufende Straße?

$\qquad\qquad$ Der neue Kanal unterquert die von Westen nach Osten verlaufende Straße $g(x)=0$

$\qquad\qquad$ $ g(x)=0 \Longrightarrow -0,375x^2+4,5=0 \longrightarrow x^2=12 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow x=\pm2\sqrt{3}\\ $

$\qquad\qquad$ $g(x)=-0,375x^2+4,5 \Longrightarrow g'(x)=-0,75x$

$\qquad\qquad$ Berechne den Winkel an der Stelle $x=\pm2\sqrt{3}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $tan(\alpha)=g'(2\sqrt{3})=-0,75(2\sqrt{3})= -2,598 \longrightarrow \underline{ \alpha=|tan^{-1}(-2,598)| \approx68.95^{\circ}}$

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Südlich der Straße soll der Kanal geradlinig weitergeführt werden.
$\qquad\qquad$ Wie lautet die Gleichung des Kanals in diesem Bereich (Funktion $h$)?

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ Geradelinig $\Longrightarrow h(-2\sqrt{3})=g'(-2\sqrt{3})(x+2\sqrt{3})+g(-2\sqrt{3})$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} g'(-2\sqrt{3})=-2,589\\ \\ g(-2\sqrt{3})=-0,375(-2\sqrt{3})^2=0 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow h(x)=-2,598(x-2\sqrt{3})+0=-2,598x-8,99\approx 2,6x+9 $


$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \Large \underline { h(x)=-2,6x+9 } $

Lösung zu d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Trifft die Weiterführung des Kanals auf die Stadt $S(- 6 | – 9)$?
$\qquad\qquad$ $h(-6)=2,6(-6)+9\approx -6,6 \longrightarrow$ die Funkktion $h(x)$ geht durch $(-6|-6,6)$ und nicht $(-6|-9)$


$\qquad\qquad$ Die Weiterführung des Kanals trifft nicht auf die Stadt $\Large s(-6|-9)$

Lösung zu 19.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ * Die Parabelgleichungen

$\qquad\:\:\:\:$ Weil die Parabel Achsensymmetrisch ist, ist sie gerade

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \Large f(x)=ax^2+b $, $\:/\:a,\:$ und $b\in\mathbb{R}$


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 2ax\\ \\ f^{”}(x) &=& 2a \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Gegebene Bedingungen:

$\qquad\qquad$ Scheitelpunkt der Parabel: $(0/0)\:\: \Longrightarrow \:\: f(0)=0 \:\: \longrightarrow \:\: \underline{b=0}$

$\qquad\qquad$ $A(-8/6)$ und $B(8/6)$ auf die seitlichen Halbparabeln, haben $S(0/0)$ als Scheitelpunkt

$\qquad\qquad$ Die untere Parabel hat die allgemeine Gleichung $f(x)=ax^2$

$\qquad\qquad$ Berechne $\Large a$ mit $A(-8/6)$: $\Longrightarrow f(8)=64a=6 \longrightarrow \underline { a= \large \frac{6}{64}=\frac{3}{32} } $

$\qquad\qquad$ Die Funktionsgleichung der unteren Schneide lautet: $ \underline { f(x)= \Large \frac{3}{32}\cdot x^2 } $


$\qquad\qquad$ Die beiden Halbparabeln sind gleich und werden über die Scheitelpunktform ermittelt

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large g_{Links}(x)=g_{Rechts}(x)= a\cdot (x-c)^2+d$

$\qquad\qquad\qquad$ Mit $\Large c$ und $\Large d$ die Koordinaten des Scheitelpunkts: $ \begin{cases} (-8/6)\:\: für\:\: \Large g_{Links}\\ \\ (8/6)\:\: für\:\: \Large g_{Rechts} \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Wegen der Symmetrie ist $\Large a$ bei beiden Gleichungen identisch $ $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} \Large g_{Links} &=& \Large a\cdot (x+8)^2 \Large &\Large +& \Large 6\\ \\ \Large g_{Rechts} &=& \Large a\cdot (x-8)^2 \Large &\Large +& \Large 6 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Rechne $\Large a$ mit dem Punkt $\large C(2/14)$, wo die rechte Halbparabel an den Stiel stößt.

$\qquad\qquad\qquad$ Also:
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \Longrightarrow \Large g_{Rechts}(2)=a\cdot (2-8)^2+6=14 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \Large 36\cdot a+6=14 \qquad |-6 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \iff \Large 36\cdot a=8 \qquad\:\:\: |:36 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \iff \underline { \Large a= \frac{8}{36}=\frac{2}{9} } $


$\qquad\qquad$ Die beiden Halbparabeln (Links und Rechts) sind:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Links:\:\: \Large g_{Links} &=& \Large \frac{2}{9} \cdot (x+8)^2 \Large &\Large +& \Large 6\\ \\ und\\ \\ Rechts:\:\: \Large g_{Rechts} &=& \Large \frac{2}{9} \cdot (x-8)^2 \Large &\Large +& \Large 6 \end{cases} $


$\qquad\qquad$ * Unter welchem Winkel stößt die Schneide auf die Seitenkanten des Werkzeugs?

$\qquad\qquad\qquad$ Für den Winkel brauchst du die Ableitung von $f(x)$ and der gegebenen Stelle.

$\qquad\qquad\qquad$ Bilde die Ableitung von $f(x)$: $f'(x)= \Large \frac{3}{16}\cdot x $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze einmal $-8$ und $8$ um den Tangens des Winkels zu bekommen, mit der die Parabel

$\qquad\qquad\qquad$ an die Halbparabeln stößt.

$\qquad\qquad\qquad$ – Links: $tan(\alpha)=f'(-8)= \Large \frac{3}{16}\cdot $ $(-8)=-1,5\:\: \longrightarrow\:\: \underline{ \alpha=tan^{-1}(-1,5)\approx -56,31^{\circ}}$

$\qquad\qquad\qquad$ – Rechts: $tan(\beta)=f'(8)= \Large \frac{3}{16}\cdot $ $(8)=-1,5\:\: \longrightarrow\:\: \underline{ \beta=tan^{-1}(1,5)\approx 56,31^{\circ}}$


$\qquad\qquad$ * Unter welchem Winkel stoßen die Seitenkanten auf den Holzstiel?

$\qquad\qquad\qquad$ Bilde die Ableitung von $\Large g_{Links}(x)$ und $\Large g_{Rechts}(x)$:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Large g’_{Links}(x)= \frac{2}{9}\cdot 2\cdot (x+8) = \frac{4}{9}\cdot (x+8) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Large g’_{Rechts}(x)= \frac{2}{9}\cdot 2\cdot (x-8) = \frac{4}{9}\cdot (x-8) $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze jetzt $-2$ Links und $2$ Rechts ein.

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ – Links: $ \Large g’_{Links}(-2)= \frac{4}{9}\cdot (-2+8)= \frac{8}{3}\approx2,67 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $tan(\gamma)=2,67 \longrightarrow \underline{ \gamma=tan^{-1}(2,67)=69,46^{\circ}}$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ – Rechts: $ \Large g’_{Rechts}(2)= \frac{4}{9}\cdot (2-8)= -\frac{8}{3}\approx -2,67 $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $tan(\delta)=-2,67 \longrightarrow \underline{ \delta=tan^{-1}(-2,67)=-69,46^{\circ}}$