Lösung

$ F(x)=2x^4-x+1 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Gleichung\: der\: Funktion\: f $

$\qquad\:\:$ $F^\prime(x)=f(x) \iff f(x)= 2\cdot 4\cdot x^{4-1}-1=\underline{8x^3-1} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b) $

$\qquad\:\:$ * Gleichung aller Stammfunktionen von f
$\qquad\:\:$ $ F(x)=2x^4-x+1+C, $ mit $C\in \mathbb{R}$ ($C$ als Integrationskonstante)


$\qquad\:\:$ * Die zwei Stammfunktionen von f

$\qquad\:\:$ $ F_{1/2}(x)=2x^4-x+1\pm3 \iff \begin{cases} F_1(x)=2x^4-x+1-3=\underline{2x^4-x+1-2}\\ \\ F_2(x)=2x^4-x+1+3=\underline{2x^4-x+1+4} \end{cases} $

Lösung

Die quadratische Funktion lautet:
$\qquad\:\:$ $f(x)=ax^2+bx+c$, mit $a,\:b,\: und\: c \in \mathbb{R}$

Die quadratische Funktion verläuft durch $(0|0)$:
$\qquad\:\:$ $ \iff f(0)=0 \longrightarrow \underline{c=0} $

Die Tangente im Punkt $(2|f(2))$ hat die Gleichung $y=4x-2$:

$\qquad\:\:$ $ \iff \begin{cases} *\:\: f(2)=4a+2b &\longrightarrow 6=4a+2b\:\: (I)\\ \\ *\:\: f^\prime(2)=4 &\longrightarrow 4=4a+b\:\: (II) \end{cases} $

$\qquad\qquad$ (I) und (II) gleichzeitig lösen

$\qquad\qquad\qquad$ $ – \begin{cases} 6=4a+2b\:\: (I)\\ \\ 4=4a+b\:\: (II) \end{cases} \longrightarrow \underline{b=2},\:\: und\:\: \underline{a=\frac{1}{2}} $


Die Funktionsterm von $f$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline{f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x} $

Lösung

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Weise\: nach,\: dass\: A,\: B\: und\: C\: auf\: einer\: Geraden\: g\: liegen $

$\qquad\:\:$ * Ermittle die Gerade $AB$

$\qquad\qquad$ $g_{AB}: \vec{x}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 4\\6\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = \underline { \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} } $

$\qquad\:\:$ * Probe ob $C$ auf $g_{AB}$ liegt

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 1\\0\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \iff \begin{cases} 1=3+r &\longrightarrow r=-2\\ \\ 0=4+2r &\longrightarrow r=-2\\ \\ -3=-1+r &\longrightarrow r=-2 \end{cases} $

$\qquad\:\:$ $C$ liegt auf $g_{AB}$ ist erfüllt für $r=-2$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow $ Die drei Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen auf der Geraden $g$.


$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Koordinaten\: des\: weiteren\: Punktes\: D $

$\qquad\:\:$ Für $r=1$, $ \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\6\\0 \end{pmatrix} \longrightarrow $ die Geradengleichung $\overline{OB}$

$\qquad\:\:$ Für $r=-1$, $ \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} \longrightarrow D \begin{pmatrix} 2\\2\\-2 \end{pmatrix} $, mit $ | \overrightarrow{AB} | = | \overrightarrow{AD} | $

Lösung

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Abstand\: der\: Punkte\: A\: und\: B $

$\qquad\:\:$ $ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} – \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 4&-&7\\ 1&-&(-3)\\ 5&-&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ 4\\ 0 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ $ |\overrightarrow{AB}| =\sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5 $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\:Koordinaten\: der\: möglichen\: Punktes\: C $

$\qquad\:\:$ Ein gleichschenkliges Dreieck, mit Flächeninhalt von $10\:FE$

$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow \frac{1}{2}\cdot g\cdot h=10\:FE $, $ \: g=|\overrightarrow{AB}|=5 $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \frac{1}{2}\cdot 5\cdot h=10\:\:\: \textcolor{red}{|\cdot 2} $

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:$ $ 5\cdot h=20\:\:\: \textcolor{red}{|:5} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \underline{h=4\:LE} $, Höhe des Dreiecks

$\qquad\:\:$ $|AC|$ und $|BC|$ sollen gleichschenklig sein
$\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ der Punkt $C$ liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$

$\qquad\qquad$ $ M ( \frac{4+7}{2}\:|\: \frac{1-3}{2}\:|\: \frac{5+5}{2} ) = (5,5\:|\: -1\:|\: 5) $

$\qquad\:\:$ Ein möglicher Punkt wäre $\underline{C(5,5\:|\: -1\:|\: 5+4)=(5,5\:|\: -1\:|\: 9)}$

Lösung

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Wahrscheinlichkeit\: beiden\: Kugeln\: unterschiedliche\: Farben\: haben $

$\qquad\:\:$ $ P_{untersch. Farben}(B/R) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5} \longrightarrow \underline{P_{untersch. Farben}(B/R)=60\%} $


$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Weise\: nach,\: dass\: die\: Spielerin,\: die\: die\: 1.\: Kugel\: entnimmt,\: einen\: Vorteil\: hat $

$\qquad\:\:$ Für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spielerin gewinnt, die die 1. Kugel entnimmt, gilt:

$\qquad\qquad$ $ \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{5}>\frac{1}{2} $