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Übungen Satz des Pythagoras

October 10, 2023

Berechne mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:


  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen a=5 cm und c=15 cm. Berechne die Länge der Hypotenuse.
    Lösung



  2. Wie lang ist die Diagonale eines Rechtecks mit den Seitenlängen 5 cm und 7 cm?
    Lösung

    Gegeben: $a=5cm, b=7cm$
    Gesucht: $c=?$

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
    $\qquad \qquad \Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{a^2+b^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c=\sqrt{(5cm)^2+(7cm)^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad c\approx8,6cm$

    Die Diagonale ist ca. $8,6cm$ lang.


  3. In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Länge der Basis 8 cm und die Höhe ist 4 cm lang. Wie lang sind die beiden Schenkel?
    Lösung
    Gegeben: $a=3,5cm \:(die Basis),\: \frac{a}{2},\: b=4cm\:(Die Hypothenuse)$
    Gesucht: $h=?$

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
    $\qquad \qquad \Rightarrow\qquad b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h^2=b^2-(\frac{a}{2})^2$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h=\sqrt{(4cm)^2-(\frac{3,5cm}{2})^2}$
    $\qquad \qquad \Leftrightarrow \qquad h\approx3,6cm$

    $\qquad\qquad\qquad\qquad$ Die Höhe ist ca. $3,6cm$ lang.


  4. Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide besitzt eine Seitenlänge von $2m$ die Höhe beträgt $2,5m$. Berechne die Länge der Seitenkanten
    Lösung

    Nach dem Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck $MCS$:

    $\qquad s^2=h^2+|\overline{MC}|^2$, mit $\overline{MC}$ gleich die Hälfte der Diagonalen des Quadrates $ABCD$.

    $ \qquad\qquad\qquad\:\: s^2=h^2+(\frac{d}{2})^2 $

    $ \qquad \iff \qquad s=\sqrt{h^2 + \frac{d^2}{4}} $

    $d$ wird im Dreieck $ABC$ mit dem Satz des Pythagoras berechnet:

    $ \qquad \qquad \qquad d=a^2+a^2=2a^2$

    $d$ in $s$ einsetzen:

    $ \qquad \qquad \qquad s=\sqrt{h^2+\frac{2a^2}{4}} $

    $h=2,5m$ und $a=2m$ einsetzen:

    $ \qquad \qquad \qquad s=\sqrt{(2,5m)^2+\frac{2\cdot(2m)^2}{4}}=2,87m $

    $ \qquad \qquad \qquad s\approx2,9m $

    Die Seitenkante der Pyramide hat eine Lange von ca. $2,9m$.


Satz des Pythagoras | Einfach gemacht!

September 17, 2023

Satz des Pythagoras



  • Der Satz des Pythagoras stellt eine Beziehung zwischen den Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks her

  • Die Summe der quadrierten Katheten (a) und (b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c).

⚠ Merke
Die Formel a2+ b2 = c 2 ist nur bei rechtwinkligen Dreiecken, wenn c die Hypotenuse ist!

Beispiel


Gegeben sind die beiden Katheten a = 4 und b = 3 eines rechtwinkligen Dreiecks. Berechne die Hypotenuse c.

c2 = 42 + 32              |    a und b in den Satz des Pythagoras einsetzen und ausrechnen.

c2 = 16 + 9 = 25       |    √  (Ziehe die Wurzel)

c = 5


Bemerkung: Es gibt zwei Lösungen c = ±5, aber -5 scheidet aus, weil eine Länge nicht negativ sein kann.

⇄ Vorgehen
Wenn man nach einer Kathete sucht, muss man diese Formel umstellen.
Die Katheten a und b lassen sich zum Beispiel berechnen mit a = c2 – b2 und b = c2 – a2






Übungsaufgaben