Lösung a)

Gegeben sind die Ebene:

$ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix}, $ in parameterform

und

$ E_2:6x+2y+9z=18, $ in Koordinatenform.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Bestimme\: für\: E_1\: eine\: Ebenengleichung\: in \: Koordinatenform $

$\qquad\:\:$ $ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ Normalenvektor $\vec{n}$ der beiden Richtungsvektoren

$\qquad\qquad$ Mit Kreuzprodukt:

$\qquad\qquad$ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\cdot (-4)-0\cdot 0\\ 0\cdot 3-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot 0-9\cdot 3 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} -36\\ -12\\ -27 \end{pmatrix} } $

$\qquad\qquad$ Berechne $d$ (Skalarprodukt aus Ortsvektor und Normalenvektor)

$\qquad\qquad$ $ d=\vec{o}\cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -36\\ -12\\ -27 \end{pmatrix} =3\cdot (-36)+0\cdot (-12)+0\cdot (-27)=-108 $

$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow d=-108 $

$\qquad\qquad\qquad$ Also: $E_1:-36x-12y-27z=-108\:\: \textcolor{red}{|:(-3)}$

$\qquad\qquad\qquad$ Die Ebenengleichung lautet: $\underline{E_1:12x+4y+9z=36}$

Lösung b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Die\: 3\: Schnittpunkte\: der\: Ebene\: E_1\: mit\: den\: Koordinateachsen $

$\qquad\:\:$ Für die $x-Achse$ gilt: $y=z=0$

$\qquad\qquad$ $ 12x+4(0)+9(0)=36\:\: \textcolor{red}{|:12} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ x=3 \longrightarrow \underline{S_x(3|0|0)} $

$\qquad\:\:$ Für die $y-Achse$ gilt: $x=z=0$

$\qquad\qquad$ $ 12(0)+4y+9(0)=36\:\: \textcolor{red}{|:4} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ y=9 \longrightarrow \underline{S_y(0|9|0)} $

$\qquad\:\:$ Für die $z-Achse$ gilt: $x=y=0$

$\qquad\qquad$ $ 12(0)+4(0)+9z=36\:\: \textcolor{red}{|:9} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ z=4 \longrightarrow \underline{S_y(0|0|4)} $

Lösung c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Abstand\: der\: Ebene\: E_1\: zum\: Koordinatenursprung\: 0 $

$\qquad\:\:$ $ d(E_1,O)= \begin{vmatrix} \frac { \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} -36 } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac { 12\cdot 0+4\cdot 0+9\cdot 0-36 } { \sqrt{12^2+4^2+9^2} } \end{vmatrix} =2,318 $

$\qquad\:\:$ Der Abstand beträgt $\underline{d\approx2,32\: LE}$

Lösung d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d)\: Begründe,\: dass\: E_1\: und\: E_2\: nicht\: zueinander \: parallel\: sind $

$\qquad\:\:$ $E_1: 12x+4y+9z=36 \longrightarrow$ der Normalenvektor $ n_1 = \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ $E_2: 6x+2y+9z=18 \longrightarrow$ der Normalenvektor $ n_2 = \begin{pmatrix} 6\\2\\9 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ $ \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \ne r\cdot \begin{pmatrix} 6\\2\\9 \end{pmatrix} \longrightarrow $ $E_1$ und $E_2$ sind nicht kollinear und dann nicht parallel.

$\qquad\:\:$ Schnittgerade der Ebenen $E_1$ und $E_2$

$\qquad\qquad$ $ E_1 \cap E_2: 6(3-3r+3s)+2(9r)+9(-4s)=18 $

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff \textcolor{red}{\cancel{18}} \textcolor{blue}{\cancel{-18r}} \underline{+ 18s} \textcolor{blue}{\cancel{+18r}} \underline{- 36s}=\textcolor{red}{\cancel{18}} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \iff -18s=0 \longrightarrow \underline{s=0} $

$\qquad\qquad$ Setzte $s=0$ in $E_1$ ein

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3\\0\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ Die Gleichung der Schnittgerade $s$ lautet:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { s:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} } $

Lösung e)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize e)\: dass\: Volumen\: der\: Pyramide $

$\qquad\:\:$ $ \underline { V_{Pyramide}= \frac{1}{3}A_G \cdot h=\frac{1}{3}(\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 9)\cdot 4=18\: VE } $

Lösung f)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize f)\: Ermittle\: den\: Punkt\: P $

$\qquad\:\:$ Gleichung der Geraden g_AB:

$\qquad\qquad$ g_AB: $ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0-3\\9-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad\qquad$ $P$ auf g_AB ist also $C$ auf g_AB $ \longrightarrow \overrightarrow{PC}= $ g_AB

$\qquad\qquad$ $ \iff \overrightarrow{PC} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-3r\\9r\\-4 \end{pmatrix} $

$\qquad\:\:$ $\overrightarrow{PC}\perp g_{AB} \Longrightarrow \overrightarrow{PC}\cdot g_{AB}=0$ (also Richtungsvektor von $g_{AB}$)

$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3-3r\\9r\\-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} = (-9+9r)+(81r)+(0)=-9+90r=0 \Rightarrow r=\frac{1}{10} $

$\qquad\:\:$ Also
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { P \begin{pmatrix} 3&+&\frac{1}{10}\cdot (-3) \\ 0&+&\frac{1}{10}\cdot 9 \\ 0&+&\frac{1}{10}\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,7\\0,9\\0 \end{pmatrix} } $