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Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Unternehmen
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Unternehmen
Aufgabe 4.2. Unternehmen
Lösung 1)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Wahrscheinlichkeit,\: dass\: mindestens\: 17\: der\: ausgewählten\: Beschäftigten\: weiblich\: sind $
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq17) = 1-F(50;\frac{1}{3};16)\approx0,5132\approx51,3\% $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Beschreibe\: die\: Bedeutung\: der\: folgenden\: mathematischen\: Aussage $
$\qquad\:\:$ $ \begin{pmatrix} 50\\ 13 \end{pmatrix} \large \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^{13} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^{37} $ $ + \begin{pmatrix} 50\\ 14 \end{pmatrix} \large \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^{14} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^{36} $ $ \approx0,158 $
$\qquad\:\:$ Die Aussage beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $50$ ausgewählten Beschäftigten
$\qquad\:\:$ $13$ oder $14$ weiblich sind, beträgt ca. $15,8\%$.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c) $
$\qquad\:\:$ $ B(50;\frac{1}{10};10) = \begin{pmatrix} 50\\ 10 \end{pmatrix} \large \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^{10} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^{40} $ $ \approx0,0157\approx1,57\% $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d) $
$\qquad\:\:$ $ E(X)=50\cdot \large \frac{1}{3} $ $\approx16,67$
$\qquad\:\:$ Damit hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ihren größten wert für eine der beiden
$\qquad\:\:$ natürlichen Zahlen, die $16,67$ benachbart sind.
Lösung 2)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a) \: die\: Werte\: von\: $x$\: und\: $y$ $
$\qquad\:\:$ $ x=100\%-10,5\%=89,5\%, \:\:\: y= $ $ \large \frac{1}{3} $ $ \cdot0,035\approx0,01 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Wahrscheinlichkeit\: dafür,\: dass\: sie\: nicht\: weiblich\: ist\: (Vierfeldertafel) $
$\qquad\qquad$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Anteil\: der\: weiblichen\: Beschäftigten $
$\qquad\qquad$ $ 5\cdot \frac{4}{100}\cdot a=\frac{1}{10} \cdot(1-a)\iff a=\frac{1}{3} $
Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Würfel
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Würfel
Aufgabe 4.1. Würfel
Lösung a)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
a)\: Der\: 6er-Würfel\: wird\: 10-mal\: geworfen
$
$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $
$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $
$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $
$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $
Lösung b)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
b)\: Baumdiagramm
$
$\qquad\:\:$
$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.
$\qquad\:\:$
$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $
$\qquad\:\:$
$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.
$\qquad\:\:$
$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $
Lösung c)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
c)\: Wie\: oft\: mit\: dem\: 6er-Würfel\: mindestens\: gewürfelt\: werden\: müsste, \:…
$
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $
$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $
$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.
Lösung d)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
d)\: Die\: Augensumme: beträgt\: 11
$
$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $
$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $
Lösung e)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
e)\: Zeige,\: dass\: die\: Wahrscheinlichkeit\: dafür,\: dass\: Luisa\: die\: Augensumme\: 15\: erhält,\: \frac{5}{54}\: beträgt
$
$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $
$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $
$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $
$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $
$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $
$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $
$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $
$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $
Lösung f)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
f)\: Begründe,\: dass\: Pedros: Behauptung\: falsch\: ist
$
$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.
$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.
$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.
$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.
Stochastik - Abi Berlin
Übungsaufgaben
-
In einer Urne befinde sich $4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander und ohne Zurücklegen $3$ Kugel gezogen.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei gezogenen Kugeln schwarz sind.
b) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $3$ gezogenen
$\:\:\:\:\:\:$Kugeln mindestens $2$ schwarze Kugeln sind, genau $\frac{1}{3}$ beträgt.
Lösung$4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. $3$ Kugeln gezogen, nacheinander und ohne Zurücklegen.
$\:\:$ a) Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 3 gezogenen Kugeln schwarz sind.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Wahrscheinlichkeit\: für\: schwarze\: und\: weiße\: Kugeln $
$\qquad$ Gesamt Kugeln: $P(A)=10$
$\qquad\qquad\qquad$ $ P_{SK}= \large \frac{4}{10}\qquad|\qquad P_{WK}= \large \frac{6}{10} $
$\qquad$ Alle 3 gezogenen Kugeln sind schwarz $\Longrightarrow\:\: 3\times P_{SK}$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 3 \times P_{SK} \large =\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8} =\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} =\frac{1}{30} $
$\:\:$ b) Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 der gezogenen Kugeln sind schwarz
$\qquad$ $ P_{\ge2} = P_{SK}\cdot P_{SK}\cdot P_{SK} + P_{SK}\cdot P_{SK}\cdot P_{WK} + P_{SK}\cdot P_{WK}\cdot P_{SK} + P_{WK}\cdot P_{SK}\cdot P_{SK} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + 3\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + 3\cdot \frac{1}{10} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + \frac{9}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} $
Baumdiagramm
-
Lösunga) Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme 6 beträgt.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Wahrscheinlichkeit\: für\: die\: Seite\: 1\: und\: 5 $
$\qquad$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Seite 1 beträgt: $p_1=\frac{1}{2}$
$\qquad$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Seite 5 beträgt: $p_5=\frac{1}{2}$
$ \:\:\: $ $ P(AS=6) \large = p_1\cdot p_5+p_5\cdot p_1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
a) Erwartungswert der Auszahlung
$\qquad$ Weil $ P(AS=2)=P(AS=10) = \frac{1}{4}, $
$\qquad$ ergibt sich:$\:\:$ $ E = \frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot 6 + \frac{1}{4}\cdot 10 =3 $
Wenn der Einsatz 3€ beträgt, wird der Erwartungswert für den Gewinn null.
$\iff$ Das Spiel fair. -
Lösunga) Wahrscheinlichkeit dafür, dass es gleichzeitig Stau an Baustelle 2 und 3 gibt.
$\qquad$ $ P_{(Stau\: an\: Baustelle\: 2/3)} \large = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $
b) Wahrscheinlichkeit dafür, dass es kein Stau gibt.
$\qquad$ $ P_{(Kein\: Stau)} = P_{(1-Frei/2-Frei/3-Frei)} + P_{(1-Frei/2-Frei/3-Stau)} + P_{(1-Frei/2-Stau/3-Frei)} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \large = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \large = \frac{42}{60} = \frac{7}{10} $ -
Ein Landwirt verpackt Eier in Packungen zu jeweils $6$ Stück. Bei einer Kontrolle wird festge-
stellt, dass bei 5% der verpackten Eier die Schale beschädigt ist.
a) Gebe im Sachzusammenhang ein Ereignis $E$ an, für das die Wahrscheinlichkeit durch $P(E)=1-(0,95)^6$ ermittelt werden kann.
b) Bei einer genaueren Kontrolle wird zusätzlich registriert, ob die beschädigten Eier eine weiße oder eine braune Schale haben. Daraus ergibt sich folgende unvollständige Vier- feldertafel:
Schale weiß Schale braun Schale beschädigt 150 350 Schale nicht beschädigt 10 000
Lösunga) $E:$ Mindestens ein Ei in einer 6er-Packung ist beschädigt.
b)Schale weiß Schale braun Schale beschädigt 150 350 500 Schale nicht beschädigt 2850 6650 9500 3000 7000 10 000
Mathe | Formelsammlung
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Abitur 2020 Mathematik Stochastik
Aufgabe 1
In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. 46% aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.
Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:
A: “Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss.”
B: “Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts.”
Stellen Sie zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfen Sie, ob die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind. Lösung Anzeigen
Aufgabe 2
In einer Klinik haben durchschnittlich 5% der Patienten Diabetes.
2% der Patienten sind gleichzeitig Diabetiker und Raucher. 80% aller Patienten sind Nichtraucher. Sind die Ereignisse Raucher und Diabetiker unabhängig voneinander? Bewerte die Aussage „Raucher haben ein erhöhtes Diabetesrisiko“!
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