Home » Untersuchung der Funktionen
Category Archives: Untersuchung der Funktionen
Skaterbahn - Rekonstruktion von Funktionen
Skaterbahn
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gegebene Punkte:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \:\:Startpunkt:\:\: P\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \qquad|\qquad Endpunkt:\:\: Q\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ a) Modellierung mit einer Funktion dritten Grades: $ \Large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x)&=&3ax^2&+&2bx&+&c\\ f^{”}(x)&=&6ax&+&2b \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Kurve beginnt im Ursprung $(0,0)\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Die Kurve endet bei $x=10,\: y=4\:\: \Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Die Steigung am Anfang ist $tan(45^{\circ})=1\:\: \Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Die Steigung am Ende ist $tan(0^{\circ})=0\:\: \Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{d = 0}} &(I)\\ \\ a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) +0 &=& 4\:\: \Longrightarrow\:\:1000a + 100b + 10c = 4 &(II)\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{c = 1}} &(III)\\ \\ 3a(10)^2 + 2b(10) + c &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: 300a + 20b = -1 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $c=1$ in $(II)$ und rechne $(II)-5\cdot (IV)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (II)-5\cdot (IV)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 1000a &+& 100b &=& -6\\ \\ -1500a &-& 100b &=& 5\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -500a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:-1\:\:|\:\: $ $\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=0,002}} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = 0,002$ in $(IV)$ und rechne
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(IV) \:\: \Longrightarrow \:\: 300(0,002)+20b=-1\qquad|\:\:(-0,6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \: 20b=-1,6\:\:\:\:\:|\:\:(20)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = – 0,08 }} $
$\qquad\:\:$ Die Polynomfunktion lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=0,002x^3-0,08x^2+x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Zeige, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsruck erzeugt
$\qquad\qquad\:\:$ Die zweite Ableitung lautet: $f^{”}(x)=6ax+2b$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Startpunkt, $x=0\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(0)=6\cdot(0,002)\cdot(0)+2\cdot(-0,08)=-0,16$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Endpunkt, $x=10\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(10)=6\cdot(0,002)\cdot(10)+2\cdot(-0,08)=-0,04$
$\qquad\qquad\:\:$ Mit $\large f^{”}(0)\neq f^{”}(10)$, die Funktion erzeugt einen Krümmungsruck
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Modellierung mit einer Polynomfunktion fünften Grades:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 5ax^4 &+& 4bx^3 &+& 3cx^2 &+& 2dx &+& e\\ f^{”}(x) &=& 20ax^3 &+& 12bx^2 &+& 6cx &+& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Startpunkt liegt im Ursprung $ \:\:\Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Endpunkt bei $x=10,\: y=4 \:\:\Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Anfangssteigung ist $tan(45^{\circ})=1 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Endsteigung ist $tan(0^{\circ})=0 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 5. Krümmungskontinuität soll sichergestellt werden $\:\:\Longrightarrow\:\:f^{”}(0)=f^{”}(10)$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^5+b(0)^4+c(0)^3+d(0)^2+e(0)+f &=& 0\\ \\ a(10)^5+b(10)^4+c(10)^3+d(10)^2+e(10)+0 &=&4\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\\ \\ 5a(0)^4 + 4b(0)^3 + 3c(0)^2+ 2d(0) + e &=& 1\\ \\ 5a(10)^4+4b(10)^3+3c(10)^2+2d(10)+1 &=& 0\\ \\ 20a(10)^3+12b(10)^2+6c(10)+2d &=& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f = 0\\ \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e = 4 &(I)\\ \\ e = 1 &(II)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Setze $e=1$ in $(I)$ und löse die Gleichungen $(I)$, $(III)$ und $(IV)$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d+10(1) = 4\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d = -6 &(I)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d = -1 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Gleichungslösung liefert die Parameter der Funktion in Abhängigkeit von d:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a= \Large -\frac{3}{50000} $, $ \:\: b= \Large \frac{d}{100}+\frac{1}{500} $, $ \:\: c= \Large -\frac{d}{5}-\frac{1}{50} $
$\qquad\qquad$ Setze $a,\: b\:$ und $c$ in $(I)$, $(III)$ und $(IV)$ und löse weiter nach $d$
$\qquad\qquad\qquad$ Du bekommst $d=-0,3$
$\qquad\qquad$ Also, zusammen hast du:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a=-0,0003,\:\: b=0,009,\:\: c=-0,03,\:\: d=-0,3 $
$\qquad\qquad$ Und die Funktionsgleichung 5. Grades lautet:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f(x)=-0,0003x^5+0,009x^4-0,03x^3-0,3x^2+1 $
Oberfläche der dreiseitigen Pyramide
Oberfläche der dreiseitigen Pyramide
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide
$\qquad\:\:$ $ Die\: Punkte:\:\: A \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix}, \:\: B \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \:\: C \begin{pmatrix} 6\\0\\2 \end{pmatrix}, \:\: D \begin{pmatrix} 4\\4\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Grundfläche der Dreieck $ABC$
$\qquad\qquad$ Die Formel für Dreiecke: $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AB}} = B-A = \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3\\1-3\\4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AC}} = C-A = \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-3\\0-3\\2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Kreuzprodukt von $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot(2) &-&4\cdot(-3)\\4\cdot(3)&-&2\cdot(-2)\\-2\cdot(-3)&-&3\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\16\\12 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Betrag von $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| = \sqrt{(-8)^2+16^2+12^2} = 21,54 $
$\qquad\qquad$ Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $ = $ \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 21,45 = $ $ \underline { \underline { 10,77\:\: FE } } $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Seitenflächen der Dreiecke $ABD,\: ACD\:$ und $BCD$
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für jedes Dreieck wird dieselbe Methode angewandt.
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ABD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 4-3\\4-3\\3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot(3)&-&4\cdot(1)\\4\cdot(1)&-&3\cdot(-2)\\-2\cdot(1)&-&1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\10\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ABD$: $\sqrt{(-10)^2+10^2+0^2}=10\sqrt{2}=14,14$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABD$: $ \:\: A_{ABD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,14 = \underline { \underline { 7,07\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ACD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\cdot(3)&-&2\cdot(1)\\2\cdot(1)&-&3\cdot(3)\\3\cdot(1)&-&1\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11\\-7\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ACD$: $\sqrt{(-11)^2+(-7)^2+6^2}=\sqrt{206}=14,35$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ACD$: $ \:\: A_{ACD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,35 = \underline { \underline { 7,17\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $BCD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} = \begin{pmatrix} 6-1\\0-1\\2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\-1\\-2 \end{pmatrix} , \:\: \overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 4-1\\4-1\\3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}}\times\overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 5\\-1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\3\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot(-1)&-&3\cdot(-2)\\-2\cdot(3)&-&5\cdot(-1)\\5\cdot(3)&-&(-1)\cdot(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\-1\\18 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $BCD$: $\sqrt{7^2+(-1)^2+18^2}=\sqrt{206}=19,33$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $BCD$: $ \:\: A_{BCD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 19,33 = \underline { \underline { 9,66\:\: FE }} $
$\qquad\:\:$ Oberflächeninhalt der Pyramide = Gesamtoberfläche (Die Summe der vier Dreiecksflächen)
$\qquad\qquad$ $ O_Pyramide = A_{ABC}+A_{ABD}+A_{ACD}+A_{BCD} = 10,77+7,07+7,17+9,66 = \underline { \underline { 34,67\:\: FE }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ B) Lese die Koordinaten der Punkte aus dem Schaubild ab
$\qquad\:\:$ $ Die\: Punkte:\:\: A \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix}, \:\: B \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix}, \:\: C \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \:\: D \begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Grundfläche der Dreieck $ABC$
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AB}} = B-A = \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4\\5-4\\2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AC}} = C-A = \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4\\1-4\\4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Kreuzprodukt von $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(0)&-&(-2)\cdot(-3)\\(-2)\cdot(-3)&-&0\cdot(-3)\\-3\cdot(-3)&-&1\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\6\\12 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Betrag von $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| = \sqrt{(-6)^2+6^2+12^2} = 14,69 $
$\qquad\qquad$ Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $ = $ \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,69 = $ $ \underline { \underline { 7,34\:\: FE } } $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Seitenflächen der Dreiecke $ABD,\: ACD\:$ und $BCD$
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für jedes Dreieck wird dieselbe Methode angewandt.
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ABD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 2-4\\4-4\\6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(2)&-&0\cdot(-2)\\(-2)\cdot(-2)&-&2\cdot(-3)\\(-3)\cdot(0)&-&1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\10\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ABD$: $\sqrt{2^2+10^2+2^2}=6\sqrt{3}=10,39$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABD$: $ \:\: A_{ABD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 10,39 \approx \underline { \underline { 5,19\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ACD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot(-3)&-&0\cdot(0)\\0\cdot(-2)&-&2\cdot(-3)\\0\cdot(-3)&-&(-2)\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\6\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ACD$: $\sqrt{(-6)^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{3}=10,39$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ACD$: $ \:\: A_{ACD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 10,39 \approx \underline { \underline { 5,19\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $BCD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} = \begin{pmatrix} 1-1\\1-5\\4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 2-1\\4-5\\6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}}\times\overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot(-4)&-&2\cdot(-1)\\2\cdot(1)&-&0\cdot(4)\\0\cdot(-1)&-&1\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14\\2\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $BCD$: $\sqrt{(-14)^2+2^2+4^2}=6\sqrt{6}=14,69$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $BCD$: $ \:\: A_{BCD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,69 = \underline { \underline { 7,34\:\: FE }} $
$\qquad\:\:$ Gesamtoberfläche der Pyramide (Die Summe der vier Dreiecksflächen)
$\qquad\qquad$ $ O_Pyramide = A_{ABC}+A_{ABD}+A_{ACD}+A_{BCD} = 7,34+5,19+5,19+7,34 = \underline { \underline { 25,06\:\: FE }} $
Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil2
Aufgabe 2.2 Teststrecke
Lösung a)
$
f(x)=-0,01\cdot (x-8)(x+1)^2\: ;\:\: x\in \mathbb{R}.
$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Gebe\: die\: Nullstellen\: von\: f\: an $
$\qquad\:\:$ $ f(x)=-0,01\cdot (x-8)(x+1)^2=0 $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} (x-8)=0\:\: \longrightarrow x=8\\ \\ (x+1)^2=0\:\: \textcolor{red}{|\sqrt(…)\:und\: (-1)}\:\: \longrightarrow x=-1 \end{cases} $
$\qquad\:\:$ Es gibt Nullstellen bei $\underline{x=8}$ und $\underline{x=-1}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Gebe\: die\: Nullstellen\: von\: f\: an $
$\qquad\:\:$ $ f(x)=-0,01\cdot (x-8)(x+1)^2=0 $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} (x-8)=0\:\: \longrightarrow x=8\\ \\ (x+1)^2=0\:\: \textcolor{red}{|\sqrt(…)\:und\: (-1)}\:\: \longrightarrow x=-1 \end{cases} $
$\qquad\:\:$ Es gibt Nullstellen bei $\underline{x=8}$ und $\underline{x=-1}$
Lösung b)
$
f(x)=-0,01\cdot (x-8)(x+1)^2\: ;\:\: x\in \mathbb{R}.
$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b) $
$\qquad\:\:$ Zeige, dass $f$ auch in der Form $f(x)=- \frac{1}{100}x^3+ \frac{3}{50}x^2+ \frac{3}{20}x+ \frac{2}{25}$
$\qquad\:\:$ geschrieben werden kann.
$\qquad\qquad$ $ f(x)=-0,01\cdot (x-8)(x+1)^2=-0,01\cdot (x-8)(x^2+2x+1) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =-0,01\cdot (x^3+2x^2+x-8x^2-16x-8)\:\: \textcolor{red}{| \:\cdot 100} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =\underline{- \frac{1}{100}x^3+ \frac{3}{50}x^2+ \frac{3}{20}x+ \frac{2}{25}} $
$\qquad\:\:$ Gebe das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x\to +\infty$ und $x\to -\infty$ an.
$\qquad\qquad$ $ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty \:\:\:\: | \:\:\:\: \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)= \infty $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b) $
$\qquad\:\:$ Zeige, dass $f$ auch in der Form $f(x)=- \frac{1}{100}x^3+ \frac{3}{50}x^2+ \frac{3}{20}x+ \frac{2}{25}$
$\qquad\:\:$ geschrieben werden kann.
$\qquad\qquad$ $ f(x)=-0,01\cdot (x-8)(x+1)^2=-0,01\cdot (x-8)(x^2+2x+1) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =-0,01\cdot (x^3+2x^2+x-8x^2-16x-8)\:\: \textcolor{red}{| \:\cdot 100} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =\underline{- \frac{1}{100}x^3+ \frac{3}{50}x^2+ \frac{3}{20}x+ \frac{2}{25}} $
$\qquad\:\:$ Gebe das Verhalten der Funktionswerte von $f$ für $x\to +\infty$ und $x\to -\infty$ an.
$\qquad\qquad$ $ \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty \:\:\:\: | \:\:\:\: \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)= \infty $
Lösung c)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
c)\: Ermittle\: die\: Lage\: und\: Art\: der\: Extrempunkte\: des\: Graphen\: von\: f
$
$\qquad\qquad$ $ f^\prime(x)=-\frac{1}{100}\cdot 3x^2+ \frac{3}{50}\cdot 2x+ \frac{3}{20} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ = -\frac{3}{100}\cdot x^2+ \frac{6}{50}\cdot x+ \frac{3}{20} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ = -\frac{3}{100}\cdot x^2+ \frac{12}{100}\cdot x+ \frac{15}{100} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ = \underline{-\frac{3}{100}(x^2-4x-5)} $
$\qquad\qquad$ $ f^{\prime\prime}(x)=\underline{-\frac{3}{100}(2x-4)} $
$\qquad\:\:$ $ f^\prime(x)=0 \iff -\frac{3}{100}(x^2-4x-5)=0 \iff (x^2-4x-5)=0 \Longrightarrow \begin{cases} x_1=-1\\ \\ x_2=5 \end{cases} $
$\qquad\:\:$ $ f^{\prime\prime}(-1)= -\frac{3}{100}[2(-1)-4]=0,18>0 \longrightarrow Tiefpunkt $
$\qquad\qquad$ Es gibt ein Tiefpunkt bei $\underline{[-1|f(-1)]=(-1|0)}$
$\qquad\:\:$ $ f^{\prime\prime}(5)= -\frac{3}{100}[2(5)-4]=-0,18<0 \longrightarrow Hochpunkt $
$\qquad\qquad$ Es gibt ein Hochpunkt bei $\underline{[5|f(5)]=(5|1,08)}$
$\qquad\qquad$ $ f^\prime(x)=-\frac{1}{100}\cdot 3x^2+ \frac{3}{50}\cdot 2x+ \frac{3}{20} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ = -\frac{3}{100}\cdot x^2+ \frac{6}{50}\cdot x+ \frac{3}{20} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ = -\frac{3}{100}\cdot x^2+ \frac{12}{100}\cdot x+ \frac{15}{100} $
$\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ = \underline{-\frac{3}{100}(x^2-4x-5)} $
$\qquad\qquad$ $ f^{\prime\prime}(x)=\underline{-\frac{3}{100}(2x-4)} $
$\qquad\:\:$ $ f^\prime(x)=0 \iff -\frac{3}{100}(x^2-4x-5)=0 \iff (x^2-4x-5)=0 \Longrightarrow \begin{cases} x_1=-1\\ \\ x_2=5 \end{cases} $
$\qquad\:\:$ $ f^{\prime\prime}(-1)= -\frac{3}{100}[2(-1)-4]=0,18>0 \longrightarrow Tiefpunkt $
$\qquad\qquad$ Es gibt ein Tiefpunkt bei $\underline{[-1|f(-1)]=(-1|0)}$
$\qquad\:\:$ $ f^{\prime\prime}(5)= -\frac{3}{100}[2(5)-4]=-0,18<0 \longrightarrow Hochpunkt $
$\qquad\qquad$ Es gibt ein Hochpunkt bei $\underline{[5|f(5)]=(5|1,08)}$
Lösung d)
Lösung e)
Wo der Hochpunkt des Graphen von $f^\prime$ liegt. liegt ein Wendepunkt des Graphen von $f$.
An der Stelle, hat die Steigung des Graphen von $f$ eine relatives Extremum.
An der Stelle, hat die Steigung des Graphen von $f$ eine relatives Extremum.
Lösung f)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
f)\: Weise\: nach,\: dass\: die\: Tangente\: der\: Gleichung\: t(x)=-0,21x+2,24
$
$\qquad\:\:$ $ t(x)=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \:\: mit \:\: \begin{cases} x_0=6\\ \\ f^\prime(6)=-\frac{3}{100}(6^2-4\cdot 6-5)=-0,21\\ \\ f(6)=-0,01\cdot (6-8)(6+1)^2=0,98 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \underline{t(x)=-0,21(x-6)+0,98=-0,21x+2,24} $
$\qquad\:\:$ $ t(x)=f^\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0) \:\: mit \:\: \begin{cases} x_0=6\\ \\ f^\prime(6)=-\frac{3}{100}(6^2-4\cdot 6-5)=-0,21\\ \\ f(6)=-0,01\cdot (6-8)(6+1)^2=0,98 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \underline{t(x)=-0,21(x-6)+0,98=-0,21x+2,24} $
Lösung g)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
g)\: Berechne\: das\: Volumen\: im\: Bereich\: 6 \leq x \leq10,27
$
$\qquad\:\:$ Ansatz
$\qquad\qquad$ $ V=A\cdot h\:\: mit \:\: \begin{cases} A= \int\limits_6^{10,67} t(x)dx- \int\limits_6^8 f(x)dx\:\: (Querschnittsfläche\: der\: Fahrbahn)\\ \\ h=5m\:\: (Breite\: der\: Fahrbahn) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ A_1=\int\limits_6^{10,67} t(x)dx $
$\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =\int\limits_6^{10,67} (-0,21x+2,24)dx = \begin{bmatrix} -\frac{0,21}{2}x^2+2,24x \end{bmatrix} _6^{10,67}=11,94-9,66\approx2,29m^2 $
$\qquad\qquad$ $ A_2=\int\limits_6^8 f(x)dx $
$\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =\int\limits_6^8 (-\frac{1}{100}x^3 + \frac{3}{50}x^2 +\frac{3}{20}x + \frac{2}{25})dx $
$\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = \begin{bmatrix} -\frac{1}{400}x^4 + \frac{1}{50}x^3 +\frac{3}{40}x^2 + \frac{2}{25}x \end{bmatrix} _6^8\approx1,18m^2 $
$\qquad\:\:$ $ \underline{V=(A_1-A_2)\cdot h=(2,29m^2-1,18m^2)\cdot 5m=5,55m^3} $
$\qquad\:\:$ Ansatz
$\qquad\qquad$ $ V=A\cdot h\:\: mit \:\: \begin{cases} A= \int\limits_6^{10,67} t(x)dx- \int\limits_6^8 f(x)dx\:\: (Querschnittsfläche\: der\: Fahrbahn)\\ \\ h=5m\:\: (Breite\: der\: Fahrbahn) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ A_1=\int\limits_6^{10,67} t(x)dx $
$\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =\int\limits_6^{10,67} (-0,21x+2,24)dx = \begin{bmatrix} -\frac{0,21}{2}x^2+2,24x \end{bmatrix} _6^{10,67}=11,94-9,66\approx2,29m^2 $
$\qquad\qquad$ $ A_2=\int\limits_6^8 f(x)dx $
$\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =\int\limits_6^8 (-\frac{1}{100}x^3 + \frac{3}{50}x^2 +\frac{3}{20}x + \frac{2}{25})dx $
$\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = \begin{bmatrix} -\frac{1}{400}x^4 + \frac{1}{50}x^3 +\frac{3}{40}x^2 + \frac{2}{25}x \end{bmatrix} _6^8\approx1,18m^2 $
$\qquad\:\:$ $ \underline{V=(A_1-A_2)\cdot h=(2,29m^2-1,18m^2)\cdot 5m=5,55m^3} $
Lösung h)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
h)\: Stelle\: der\: neuen\: Tangente\: t_neu
$
$\qquad\:\:$ Im Wendepunkt hat der Graph von $f$ die Steigung $f^\prime(2)=\frac{27}{100}$
$\qquad\:\:$ Damit die neue Tangente den gleichen Steigungswinkel hat, muss eine Steigung
$\qquad\:\:$ $f^\prime(2)=\frac{27}{100}$
$\qquad\:\:$ von $-\frac{27}{100}$ gelten. An der Stelle, muss also $f^\prime(2)=-\frac{27}{100}$
$\qquad\qquad$ $ \iff -\frac{3}{100}(x^2-4x-5)=-\frac{27}{100} $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow x^2-4x-14=0 \Longrightarrow \begin{cases} x_1=2-\sqrt{18} \longrightarrow x_1=-2,24\\ \\ x_2=2+\sqrt{18} \longrightarrow x_2=6,24 \end{cases} $
$\qquad\:\:$ $x_1$ erfüllt die Bedingung $x>5$ nicht, also $\underline{x_2=6,25}$ ist die gesuchte Stelle
$\qquad\:\:$ Im Wendepunkt hat der Graph von $f$ die Steigung $f^\prime(2)=\frac{27}{100}$
$\qquad\:\:$ Damit die neue Tangente den gleichen Steigungswinkel hat, muss eine Steigung
$\qquad\:\:$ $f^\prime(2)=\frac{27}{100}$
$\qquad\:\:$ von $-\frac{27}{100}$ gelten. An der Stelle, muss also $f^\prime(2)=-\frac{27}{100}$
$\qquad\qquad$ $ \iff -\frac{3}{100}(x^2-4x-5)=-\frac{27}{100} $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow x^2-4x-14=0 \Longrightarrow \begin{cases} x_1=2-\sqrt{18} \longrightarrow x_1=-2,24\\ \\ x_2=2+\sqrt{18} \longrightarrow x_2=6,24 \end{cases} $
$\qquad\:\:$ $x_1$ erfüllt die Bedingung $x>5$ nicht, also $\underline{x_2=6,25}$ ist die gesuchte Stelle