Lösung a)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Der\: 6er-Würfel\: wird\: 10-mal\: geworfen $

$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”

$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $

$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”

$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $

Lösung b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Baumdiagramm $

$\qquad\:\:$

$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.

$\qquad\:\:$

$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $

Lösung c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Wie\: oft\: mit\: dem\: 6er-Würfel\: mindestens\: gewürfelt\: werden\: müsste, \:… $

$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $

$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $

$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.

Lösung d)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d)\: Die\: Augensumme: beträgt\: 11 $

$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $

Lösung e)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize e)\: Zeige,\: dass\: die\: Wahrscheinlichkeit\: dafür,\: dass\: Luisa\: die\: Augensumme\: 15\: erhält,\: \frac{5}{54}\: beträgt $

$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben

$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $

$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $


$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $

$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $

Lösung f)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize f)\: Begründe,\: dass\: Pedros: Behauptung\: falsch\: ist $

$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.

$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.