Home » Vektorrechnung
Category Archives: Vektorrechnung
Motorradstunt - Lagebeziehungen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Sind die Masten als Stützen geeignet? Können Sie ggf. durch Kürzen
$\qquad \qquad$ oder Verlängern passend gemacht werden?
$\qquad \qquad$ Gegeben:
$\qquad\qquad\qquad$ Startpunkt: $ \large A \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} $, Endpunkt: $ \large B \begin{pmatrix} 220\\420\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Masten: $ \large S_{1} \begin{pmatrix} 70\\120\\20 \end{pmatrix} $, $ \large S_{2} \begin{pmatrix} 120\\220\\30 \end{pmatrix} $, $ \large S_{3} \begin{pmatrix} 170\\300\\60 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Bestimmung der Geradengleichung durch A und B
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g_{AB}= \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \left[ \begin{pmatrix} 220\\420\\80 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Überprüfung der Stützpunkte
$\qquad\qquad\qquad$ – Für $\large S_{1}$: setzte $\large S_{1}=g_{AB}$ und finde $\large z_{1}$ und $\large t_{1}$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \Longrightarrow \begin{pmatrix} 70\\120\\z_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + t_{1}\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \iff \begin{cases} 70 &=& 20 &+& 200t_{1} &\longrightarrow &t_{1}=0.25\\ \\ 120 &=& 20 &+& 400t_{1} &\longrightarrow &t_{1}=0.25\\ \\ z_{1} &=& 0 &+& 80\cdot 0.25 &\longrightarrow &z_{1}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\large t_{1}=0.25$ und $\large z_{1}=20$ stimmen überein $\longrightarrow$ $\large S_{1}$ liegt auf der Geraden $\large g_{AB}$.
$\qquad\qquad\qquad$ – Für $\large S_{2}$: setzte $\large S_{2}=g_{AB}$ und finde $\large z_{2}$ und $\large t_{2}$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \Longrightarrow \begin{pmatrix} 120\\220\\z_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + t_{2}\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \iff \begin{cases} 120 &=& 20 &+& 200t_{2} &\longrightarrow &t_{2}=0.5\\ \\ 220 &=& 20 &+& 400t_{2} &\longrightarrow &t_{2}=0.5\\ \\ z_{2} &=& 0 &+& 80t_{2} &\longrightarrow &z_{2}=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\large t_{2}=0.5$ und $\large z_{2}=40$, $\longrightarrow$ $\large S_{2}$ musste um $\large 10 \:m$ verlängert werden.
$\qquad\qquad\qquad$ – Für $\large S_{3}$: setzte $\large S_{3}=g_{AB}$ und finde $\large z_{3}$ und $\large t_{3}$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \Longrightarrow \begin{pmatrix} 170\\300\\z_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + t_{3}\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \iff \begin{cases} 170 &=& 20 &+& 200t_{3} &\longrightarrow &t_{3}=0.75\\ \\ 300 &=& 20 &+& 400t_{3} &\longrightarrow &t_{3}=0.7\\ \\ z_{3} &=& 0 &+& 80t_{3} &\longrightarrow \begin{cases} z_{3_{1}}=60\\ \\ z_{3_{2}}=56 \end{cases} \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Für $\large z_{3_{1}}$: $ \large \begin{cases} x_{3_{1}} &=& 20 &+& 200\cdot0.75 &=& 170\\ \\ y_{3_{1}} &=& 20 &+& 400\cdot0.75 &=& 320\\ \\ z_{3_{1}} &=& 60 \end{cases} \longrightarrow S_{3_{1}} \begin{pmatrix} 170\\320\\60 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Für $\large z_{3_{2}}$: $ \large \begin{cases} x_{3_{2}} &=& 20 &+& 400\cdot0.75 &=& 160\\ \\ y_{3_{2}} &=& 20 &+& 400\cdot0.75 &=& 300\\ \\ z_{3_{2}} &=& 56 \end{cases} \longrightarrow S_{3_{2}} \begin{pmatrix} 160\\300\\56 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Man könnte den dritten Masten so verlegen: $ \large S_{3_{1}} \begin{pmatrix} 170\\320\\60 \end{pmatrix} $ oder $ \large S_{3_{2}} \begin{pmatrix} 160\\300\\56 \end{pmatrix} $.
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Wie lange dauert der Stunt, wenn das Motorrad mit $20\: km/h$ fährt?
$\qquad \qquad$ Gegeben: $ \large 20\: km/h = 5.556\: m/s $
$\qquad \qquad$ Betrag von $\large g_{AB}$ (Strecke $\Large s$): $ \Large s= \large \Bigg| \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} \Bigg| = \sqrt{200^2+400^2+80^2}=454.3\:m $
$\qquad \qquad$ Mit $ \Large s=v\cdot t \Longrightarrow \Large v = \Large \frac{s}{t} = \Large \frac{454.3\:m}{5.556\:m/s} \longrightarrow \underline { \large v\approx81.77\:s } $
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Unter welchem Winkel steigt das Fahrseil an?
$\qquad\qquad$ Der Steigungswinkel $\Large \alpha$ ergibt sich aus:
$\qquad\qquad$ $ \large tan(\alpha) = \Large \frac{\Delta _z}{\sqrt{\Delta _{x^2} + \Delta _{y^2}}} = \Large \frac{80}{447.21} \large \approx0.179 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large \longrightarrow \underline { \alpha= \large tan^{-1}(0.179)=\large 10.148^{\circ} } $
Trassierung eines Gleises - Rekonstruktion von Funktionen
Trassierung eines Gleises
Lösung
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Polynomfunktion 3. Grades ist Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Fkt.)
$\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^3+bx $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 3ax^2 &+& b\\ f^{”}(x) &=& 6ax \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Kurve beginnt im Ursprung $(0,0)\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Die Kurve endet bei $x=10,\: y=2\:\: \Longrightarrow\:\: f(10)=2$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Die Steigung am Ende ist $tan(0^{\circ})=0\:\: \Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0) &=& 0\\ \\ a(10)^3 + b(10) &=& 2\:\: \Longrightarrow\:\:1000a &+& 10b &=& 2 &(I)\\ \\ 3a(10)^2 + b + c &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: 300a &+& b &=& 0 &(II) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Rechne $(I)-10\cdot(II)$
$\qquad\qquad\qquad $ $ (I)-10\cdot(II)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 1000a &+& 10b &=& 2\\ \\ -3000a &-& 10b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ -2000a \qquad\qquad\:\:\:\:\:=\:2| :(-2000) \:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=-0,001}} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = -0,001$ in $(I)$ ein und rechne
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(II) \:\: \Longrightarrow \:\: 1000(-0,001)+10b=2 \:\: |\:\:(+1)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ \iff \: 10b=3 \:\: |\:\:(10)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = 0,3 }} $
$\qquad\:\:$ Die Polynomfunktion lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=-0,001x^3+0,3x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Zeige, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsruck erzeugt
$\qquad\qquad\:\:$ Die zweite Ableitung lautet: $f^{”}(x)=6ax+2b$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Startpunkt, $x=0\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(0)=6\cdot(0,002)\cdot(0)+2\cdot(-0,08)=-0,16$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Endpunkt, $x=10\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(10)=6\cdot(0,002)\cdot(10)+2\cdot(-0,08)=-0,04$
$\qquad\qquad\:\:$ Mit $\large f^{”}(0)\neq f^{”}(10)$, die Funktion erzeugt einen Krümmungsruck
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Modellierung mit einer Polynomfunktion fünften Grades:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 5ax^4 &+& 4bx^3 &+& 3cx^2 &+& 2dx &+& e\\ f^{”}(x) &=& 20ax^3 &+& 12bx^2 &+& 6cx &+& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Startpunkt liegt im Ursprung $ \:\:\Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Endpunkt bei $x=10,\: y=4 \:\:\Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Anfangssteigung ist $tan(45^{\circ})=1 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Endsteigung ist $tan(0^{\circ})=0 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 5. Krümmungskontinuität soll sichergestellt werden $\:\:\Longrightarrow\:\:f^{”}(0)=f^{”}(10)$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^5+b(0)^4+c(0)^3+d(0)^2+e(0)+f &=& 0\\ \\ a(10)^5+b(10)^4+c(10)^3+d(10)^2+e(10)+0 &=&4\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\\ \\ 5a(0)^4 + 4b(0)^3 + 3c(0)^2+ 2d(0) + e &=& 1\\ \\ 5a(10)^4+4b(10)^3+3c(10)^2+2d(10)+1 &=& 0\\ \\ 20a(10)^3+12b(10)^2+6c(10)+2d &=& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f = 0\\ \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e = 4 &(I)\\ \\ e = 1 &(II)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Setze $e=1$ in $(I)$ und löse die Gleichungen $(I)$, $(III)$ und $(IV)$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d+10(1) = 4\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d = -6 &(I)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d = -1 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Gleichungslösung liefert die Parameter der Funktion in Abhängigkeit von d:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a= \Large -\frac{3}{50000} $, $ \:\: b= \Large \frac{d}{100}+\frac{1}{500} $, $ \:\: c= \Large -\frac{d}{5}-\frac{1}{50} $
$\qquad\qquad$ Setze $a,\: b\:$ und $c$ in $(I)$, $(III)$ und $(IV)$ und löse weiter nach $d$
$\qquad\qquad\qquad$ Du bekommst $d=-0,3$
$\qquad\qquad$ Also, zusammen hast du:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a=-0,0003,\:\: b=0,009,\:\: c=-0,03,\:\: d=-0,3 $
$\qquad\qquad$ Und die Funktionsgleichung 5. Grades lautet:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f(x)=-0,0003x^5+0,009x^4-0,03x^3-0,3x^2+1 $
Skaterbahn - Rekonstruktion von Funktionen
Skaterbahn
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gegebene Punkte:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \:\:Startpunkt:\:\: P\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \qquad|\qquad Endpunkt:\:\: Q\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ a) Modellierung mit einer Funktion dritten Grades: $ \Large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x)&=&3ax^2&+&2bx&+&c\\ f^{”}(x)&=&6ax&+&2b \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Kurve beginnt im Ursprung $(0,0)\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Die Kurve endet bei $x=10,\: y=4\:\: \Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Die Steigung am Anfang ist $tan(45^{\circ})=1\:\: \Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Die Steigung am Ende ist $tan(0^{\circ})=0\:\: \Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{d = 0}} &(I)\\ \\ a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) +0 &=& 4\:\: \Longrightarrow\:\:1000a + 100b + 10c = 4 &(II)\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{c = 1}} &(III)\\ \\ 3a(10)^2 + 2b(10) + c &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: 300a + 20b = -1 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $c=1$ in $(II)$ und rechne $(II)-5\cdot (IV)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (II)-5\cdot (IV)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 1000a &+& 100b &=& -6\\ \\ -1500a &-& 100b &=& 5\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -500a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:-1\:\:|\:\: $ $\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=0,002}} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = 0,002$ in $(IV)$ und rechne
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(IV) \:\: \Longrightarrow \:\: 300(0,002)+20b=-1\qquad|\:\:(-0,6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \: 20b=-1,6\:\:\:\:\:|\:\:(20)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = – 0,08 }} $
$\qquad\:\:$ Die Polynomfunktion lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=0,002x^3-0,08x^2+x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Zeige, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsruck erzeugt
$\qquad\qquad\:\:$ Die zweite Ableitung lautet: $f^{”}(x)=6ax+2b$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Startpunkt, $x=0\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(0)=6\cdot(0,002)\cdot(0)+2\cdot(-0,08)=-0,16$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Endpunkt, $x=10\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(10)=6\cdot(0,002)\cdot(10)+2\cdot(-0,08)=-0,04$
$\qquad\qquad\:\:$ Mit $\large f^{”}(0)\neq f^{”}(10)$, die Funktion erzeugt einen Krümmungsruck
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Modellierung mit einer Polynomfunktion fünften Grades:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 5ax^4 &+& 4bx^3 &+& 3cx^2 &+& 2dx &+& e\\ f^{”}(x) &=& 20ax^3 &+& 12bx^2 &+& 6cx &+& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Startpunkt liegt im Ursprung $ \:\:\Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Endpunkt bei $x=10,\: y=4 \:\:\Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Anfangssteigung ist $tan(45^{\circ})=1 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Endsteigung ist $tan(0^{\circ})=0 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 5. Krümmungskontinuität soll sichergestellt werden $\:\:\Longrightarrow\:\:f^{”}(0)=f^{”}(10)$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^5+b(0)^4+c(0)^3+d(0)^2+e(0)+f &=& 0\\ \\ a(10)^5+b(10)^4+c(10)^3+d(10)^2+e(10)+0 &=&4\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\\ \\ 5a(0)^4 + 4b(0)^3 + 3c(0)^2+ 2d(0) + e &=& 1\\ \\ 5a(10)^4+4b(10)^3+3c(10)^2+2d(10)+1 &=& 0\\ \\ 20a(10)^3+12b(10)^2+6c(10)+2d &=& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f = 0\\ \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e = 4 &(I)\\ \\ e = 1 &(II)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Setze $e=1$ in $(I)$ und löse die Gleichungen $(I)$, $(III)$ und $(IV)$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d+10(1) = 4\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d = -6 &(I)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d = -1 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Gleichungslösung liefert die Parameter der Funktion in Abhängigkeit von d:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a= \Large -\frac{3}{50000} $, $ \:\: b= \Large \frac{d}{100}+\frac{1}{500} $, $ \:\: c= \Large -\frac{d}{5}-\frac{1}{50} $
$\qquad\qquad$ Setze $a,\: b\:$ und $c$ in $(I)$, $(III)$ und $(IV)$ und löse weiter nach $d$
$\qquad\qquad\qquad$ Du bekommst $d=-0,3$
$\qquad\qquad$ Also, zusammen hast du:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a=-0,0003,\:\: b=0,009,\:\: c=-0,03,\:\: d=-0,3 $
$\qquad\qquad$ Und die Funktionsgleichung 5. Grades lautet:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f(x)=-0,0003x^5+0,009x^4-0,03x^3-0,3x^2+1 $
Rekonstruktion von Funktionen - Flugbahn beim Landeanflug
Flugbahn beim Landeanflug
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gegeben:
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Startpunkt:\:\: P\begin{pmatrix} -4\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Endpunkt:\:\: Q\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Horizontale\: Geschwindigkeit:\:\: v_{x}=50\:\: m/s $
$\qquad\:\:$ a) Modelliere die Flugbahn mit einer Funktion dritten Grades: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\:\:$ 1. $f(-4)=1$: Die Höhe ist 1 km bei $x=-4$
$\qquad\qquad\:\:$ 2. $f(0)=0$: Die Höhe ist o km bei $x=0$
$\qquad\qquad\:\:$ 3. $f'(-4)=0$: Der Sinkflug beginnt waagerecht, also ist die Steigung bei $x=−4$ null.
$\qquad\qquad\:\:$ 4. $f'(0)=0$: Der Sinkflug endet waagerecht, also ist die Steigung bei $x=0$ null.
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\:\:$ $f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad\qquad\:\:$ $f^{”}(x)=6ax+2b$
$\qquad\qquad$ Funktion aufstellen. Aus den Bedingungen ergibt sich:
$\qquad\qquad\:\:$ $ \begin{cases} f(-4)&=&1\:\: &\Longrightarrow\:\: &-64a+16b-4c+d=1 &(I)\\ f(0)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &d=0 &(II)\\ f'(-4)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &48a-8b+c=0 &(III)\\ f'(0)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &c=0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Setze $(II)$ und $(IV)$ in $(I)$ und $(III)$
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Bleiben: $ \begin{cases} -64a&+&16b&=&1 &(I)\\ 48a&-&8b&=&0 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $(I)+2\cdot(III) \Rightarrow\:\: \begin{cases} -64a&+&16b&=&1\\ 96a&-&16b&=&0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 32a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:1\:\:\: \Longrightarrow\:\: \underline { \underline { a= \large \frac{1}{32} }} \:\:(V) $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ (V)\:\: in\:\: (I):\:\: \Longrightarrow\:\: -64( \large \frac{1}{32} ) $ $ +16b=1 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff -2+16b=1\qquad|\:\:+2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 16b=3\:\: \Longrightarrow\:\: \underline { \underline { b= \large \frac{3}{16} }} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Flugbahn (Funktionsgleichung lautet: $ \underline { \underline { f(x)= \large \frac{1}{32} \cdot x^3+ \large \frac{3}{16} \cdot x^2 }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Steilster Punkt der Flugbahn
$\qquad\qquad\:\:$ Die Steigung $ f'(x)= \large \frac{3}{32} \cdot x^2+ \large \frac{6}{16} \cdot x = \large \frac{3}{32} \cdot x^2+ \large \frac{3}{8} \cdot x $
$\qquad\qquad\:\:$ Die Flugbahn fällt im Wendepunkt von $f$ am Steilsten ab
$\qquad\qquad\qquad$ * Wendepunkt $ f^”(x)=0 \Longrightarrow \large \frac{3}{16} \cdot x+ \large \frac{3}{8} $ $ =0 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff 3x+6=0\:\:\:\:|\:\:\:\:(-6) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff 3x=-6\:\:\:\:\:\:\:\:|\:\:\:\:(:3)\:\: \Longrightarrow \:\: $ $ \underline { \underline { x=-2 }} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f(-2)= \large \frac{1}{32} $ $ \cdot (-2)^3+ $ $ \large \frac{3}{16} $ $ \cdot (-2)^2 =0,5 $
$\qquad\qquad\qquad$ Der Wendepunkt ist also: $ \underline{ \underline{ w \begin{pmatrix} -2\\0,5 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad\qquad$ * Berechnung des Abstiegswinkels and der Stelle $x=-2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ tan(\alpha)=\lvert \large \frac{3}{32} $ $ \cdot (-2)^2+ $ $ \large \frac{3}{8} $ $ \cdot (-2)\rvert =0,375 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff\:\: \alpha=tan^{-1}(0,375) \:\: \Longrightarrow \:\: \alpha\approx20,56^{\circ} $
$\qquad\qquad\qquad$ * Berechnung der Sinkgeschwindigkeit
$\qquad\qquad\qquad$

Pyramidenzelt - Spurpunkte mit Anwendungen
Pyramidenzelt – Spurpunkte mit Anwendungen
Pyramidenzelt
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Berechnung der Fläche des Eingangs EFGH
$\qquad\:\:$ EFGH ist ein Trapez, das die Seiten $\overline{EF}$ (oben) und $\overline{GF}$ (unten) hat:
$\qquad\qquad$ $ |EF|=4\:m $
$\qquad\qquad$ $G$ und $H$ die Mittelpunkte von $\overrightarrow{ES}$ und $\overrightarrow{FS}$ sind, ist die Länge der Strecke $HG$ die Hälfte der Pyramidenseitenhöhe.
$\qquad\qquad$ Die Höhe des Trapezes $HG$ ist die Hälfte der Pyramidenseitenhöhe
$\qquad\qquad$ Seitenhöhe $ = $ $ \large \sqrt{(\frac{8}{2})^2+3^2} $ $ = $ $ \large \sqrt{4^2+3^2}=5m $
$\qquad\qquad$ Daher: $HG=$ $ \large \frac{5}{2} $ $ = 2,5m $
$\qquad\qquad$ Die Fläche eines Trapezes berechnet sich mit der Formel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ A_{Trapez}= $ $ \large { \frac{1}{2} } $ $ \cdot (|EF|+|GH|) \cdot |FG|= $ $ \large { \frac{1}{2} } $ $ \cdot (4+8) \cdot 1,5=9\:m^2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Der Eingang EFGH hat eine Fläche von $\underline{\underline{9\:m^2}}$.
Lösung b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b)
Lösung c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c)
Lösung d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d)
Geraden - Pyramide
Pyramide
Pyramide
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Die Eckpunkte der quadratischen Basis sind:
$\qquad\qquad$ $ A \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\: $ $ C \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\: $ $ D \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Die Kanten der Pyramide sind $AS$, $BS$, $CS$, und $DS$
$\qquad\qquad$ Gleichungen der Geraden, in denen die vier Pyramidenkanten $AS$, $BS$, $CS$, und $DS$ verlaufen.
$\qquad\qquad$ * Für Kante $AS: \:\:\:\:$ $ A \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{AS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0-50\\0-50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad$ * Für Kante $BS: \:\:\:\:$ $ B \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{BS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0+50\\0-50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad$ * Für Kante $CS: \:\:\:\:$ $ C \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{CS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0+50\\0+50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 50\\50\\50 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad$ * Für Kante $DS: \:\:\:\:$ $ D \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{DS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 0-50\\0+50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Bestimme den Punkt P, an dem die erste Rampe eine Höhe von 10 m erreicht.
$\qquad\:\:$ Angenommen, dass $P$ auf der Geraden $g_{AS}$ liegt und ist 10 m hoch, setze $z=10$ und löse nach $r$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 10=0+50r\:\: \Longrightarrow\:\: r=0,2 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} x=50+0,2\cdot(-50)=40\\ \\ y=50+0,2\cdot(-50)=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Also der Punkt $P$, an dem die Rampe eine Höhe von 10 m erreicht, ist: $\:\: \underline { \underline { P \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} }} $
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Die anschließende Rampe soll den gleichen Steigungswinkel besitzen. Gleichung der Geraden.
$\qquad\qquad$ Die Rampe soll den gleichen Steigungswinkel besitzen, wie aus b). Dies bedeutet, die Richtungsvektor
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{v}}_{AS}= \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Finde den Punkt $Q$, der 50 m hoch ist, mit $ P \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Geradengleichung der Rampe: $ g_{PQ}:\:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Für $\textcolor{red}{z_{PQ}=50}$, hast du: $50=10+r\cdot50 \iff 40=50r \iff r=$ $ \large { \frac{40}{50} } $ $=0,8$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} x_{PQ}=40+0,8\cdot(-50)=0\\ \\ y_{PQ}=40+0,8\cdot(-50)=0\\ \\ z_{PQ}=10+0,8\cdot 50=50 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Der Punkt, wo diese Rampe endet ist somit $ Q \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix}, $ also der Spitzenpunkt der Pyramide.
$\qquad\qquad$ In welchem Punkt erreicht die Rampe die Höhe von 15 m?
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $\textcolor{red}{z_{PQ}=15}$ in die Geradengleichung der Rampe ein:
$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PQ}: \: \begin{pmatrix} x\\y\\ \textcolor{red}{15} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \textcolor{red}{15}=10+50\cdot r \iff 5=50\cdot r \iff r= $ $ \large { \frac{5}{50} } $ $ =0,1 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} x=40-50\cdot 0,1=35\\ \\ y=40-50\cdot 0,1=35\\ \\ z=15 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Rampe erreicht die Höhe von 15 m im Punkt $ \:\: \underline { \underline { \begin{pmatrix} 35\\35\\15 \end{pmatrix} }} $
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) In welchen Punkten durchstoßen die Pyramidenkanten eine Höhe von 20 m?
$\qquad\qquad$ setze $z=20$ in die Geradengleichungen der Kanten ein, berechne $r,\: s,\: t$ und $u$
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $AS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50r \iff r= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{AS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ y_{AS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ z_{AS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $AS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} 30\\30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $BS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50s \iff s= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{BS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ y_{BS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ z_{BS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $BS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} -30\\30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $CS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50t \iff t= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{CS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ y_{CS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ z_{CS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $CS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} -30\\-30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $DS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50u \iff u= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{DS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ y_{DS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ z_{DS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $DS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} 30\\-30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ In welcher Höhe beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide $25\: m^2$?
$\qquad\qquad$ Der Querschnitt einer Pyramide in einer bestimmten Höhe ist ein Quadrat. Wenn du die Höhe $z$ kennst,
$\qquad\qquad$ ist die Seitenlänge des Quadrats $100−2z$ (da sich die Basis von $100m$ Breite auf $0$ in der Spitze verjüngt).
$\qquad\qquad$ $\iff$ Die Fläche des Querschnitts ist daher: $A(z)=(100-2z)^2$
$\qquad\qquad$ Setze $A(z)=25$ ein:
$\qquad\qquad$ $\iff (100-2z)^2=25 \quad|\: \sqrt{…} $
$\qquad\qquad$ $\iff 2z=95 \Longrightarrow z=47,5 $
$\qquad\qquad$ Der horizontale Querschnitt der Pyramide beträgt bei einer Höhe von $ \underline { \underline { z=47,5\: m }} $ eine Fläche von $25\: m^2$.
Lösung zu e)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ $\textcolor{red}{e)}$ Zeige, dass vom Punkt $T$ je ein Lichtstrahl auf die Punkte $B$ und $S$ fällt.
$\qquad\qquad$ Untersuche die Richtungsvektoren $ \overrightarrow{\text{TB}} $ und $ \overrightarrow{\text{TS}} $ und zeige, dass sie sich in der Richtung des gegebenen
$\qquad\qquad$ Lichtstrahls ( Richtungsvektor $\overrightarrow{\text{v}}$ ) bewegen können.
$\qquad\qquad$ Gegebene Punkte:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ T \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix}, \:\:\:\: B \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix}, \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} \:\:\:\: $ und $ \:\:\:\: \overrightarrow{\text{v}}= \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Lichtstrahl auf $B$:
$\qquad\qquad\qquad$ Vector $T$ nach $B$: $ \:\:\:\: \overrightarrow{\text{TB}}=B-T= \begin{pmatrix} -50-50\\50+50\\0-100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\100\\-100 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Um zu zeigen, dass ein Lichtstrahl auf $B$ fällt, setze $ \overrightarrow{\text{TB}}=\lambda\vec{v} $ und lösen das Gleichungssystem:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} -100 &=& \lambda(-1-a) &(1)&\\ \\ 100 &=& \lambda(3-a) &(2)&\\ \\ -100 &=& \lambda(2-a) &(3)& \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $(1): \:\: \lambda(-1-a)=0 \Longrightarrow \begin{cases} \lambda=0 &\Rightarrow& 0=0 was\: trivial\: ist,\: also\: nicht\: relevant.\\ \vee\\ -1-a=0 &\Rightarrow& a=-1 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Setze $a=−1$ in die anderen Gleichungen ein: $ $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \textcolor {red} { To\: Be\: Continued … } $
Lagebeziehungen - Wasserspeicher
Lagebeziehungen – Wasserspeicher
Lagebeziehungen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Trifft\: die\: Belüftungsbohrung\: b\: den\: Überlaufkanal\: k? $
$\qquad\:\:$ $ M \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ N \begin{pmatrix} 14\\2\\-10 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ A \begin{pmatrix} 11\\0\\-9 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ T \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{\text{v}}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Gleichung\: der\: Geraden\: k: \overrightarrow{\text{MA}} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ k:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 11-8\\0-12\\-9+6 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ $ Gleichung\: der\: Geraden\: b: \overrightarrow{\text{Tv}} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ b:\: \overrightarrow{\text{x}}= \underline { \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ Untersuchen\: des\: Schnittpunktes\: k\: und\: b $
$\qquad\qquad$ $ k=b\:\: \iff\:\: \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Ensteht\: ein\: LGS,\: nach\: r\: und\: s\: zu\: lösen: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{aligned} \begin{cases} 8 &+& 3r &=& 8 &+& s &(1)&\\ \\ 12 &-& 12r &=& 2 &+& s &(2)&\\ \\ -6 &-& 3r &=& 0 &-& 4s &(3)& \end{cases} \end{aligned} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ (1)-(2) \Longrightarrow \begin{cases} 8 &+& 3r &=& 8 &+& s\\ \\ -12 &+& 12r &=& -2 &-& s\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -4\quad+\quad15r\quad=\quad6 \quad\quad|+4 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \quad\:\:\:15r\quad=\quad10 \quad\:\:|:15 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \quad\quad\:\:\:r\quad=\quad $ $ \large { \frac{2}{3} } $ $ \:\:\:\: \Longrightarrow \:\:\:\: $ $ \underline { r \quad=\quad0,667 } \:\:\:\:(4) $
$\qquad\qquad$ $ (4)\:\:\:\: in \:\:\:\: (3)\:\:\:\: \iff \:\:\:\: -6 \quad-\quad 3(0,667) \quad=\quad -4s $
$\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:$ $ \iff \:\:\:\: -8 \quad=\quad -4s \quad\:\:|:(-4) $
$\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $ \Longrightarrow \:\:\:\: \underline { 2 \quad=\quad s } $
$\qquad\qquad$ $ Das\: LGS\: hat\: Lösungen\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: Es\: gibt\: ein\: Schnittpunkt\: S $
$\qquad\qquad$ $ r\: und\: s\: in\: eine\: der\: beiden\: Geraden\: einsetzen $
$\qquad\qquad\qquad$ $ in\: k: \begin{cases} x &=& 8 &+& 0,667(3) &=& 10\\ \\ y &=& 12 &+& 0,667(-12) &=& 4\\ \\ z &=& -6 &+& 0,667(-3) &=& -8 \end{cases} \:\:\:\: \iff \:\:\:\: Schnittpunt\:\:\:\: \underline { S \begin{pmatrix} 10\\4\\-8 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ $ Ja,\: die\: Belüftungsbohrung\: b\: trifft\: den\: Überlaufkanal\: k\: bei\: r = \frac{2}{3} $
Lösung b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Wie\: lang\: muss\: der\: Bohrer\: sein? $
$\qquad\:\:$ $ *\: Die\: Länge\: des\: Bohrers\: entspricht\: der\: Entfernung\: zwischen\: T\: und\: den\: Treffpunkt\: S $
$\qquad\qquad\qquad$ $ T \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix},\qquad S \begin{pmatrix} 10\\4\\-8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Länge=\sqrt{(10-8)^2+(4-2)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{72}\approx8,49\:LE $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 1\: LE=100\:m \Longrightarrow \underline{L=849\: Meter}\: (Dreisatz) $
Lösung c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Zeige\: dass\: die\: Versorgungsleitung\: g\: weder\: k\: noch\: b\: trifft. $
$\qquad\qquad$ $g$ Verläuft von $E$ zu $N$ (Am Oberfläche ist $z=0$)
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff g_{EN}: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 14-8\\2-12\\-10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 6\\-10\\-10 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Schnittpunkt von $g$ und $k$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 6\\-10\\-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} +u\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 8 &+& 6t &=& 8 &+& 3u &(1)&\\ \\ 12 &-& 10t &=& 12 &-& 12u &(2)&\\ \\ 0 &-& 10t &=& -6 &-& 3u &(3)& \end{cases} $ $\:\:\: \Longrightarrow\:\:$ Keine Lösung für $t$ und $u$
$\qquad\qquad\qquad$ Es gibt keine Schnittpunkt zwischen $g$ und $k$
$\qquad\qquad\qquad$ Dasselbe Verfahren zeigt, dass $g$ die Bohrung $b$ ebenfalls nicht schneidet.
$\qquad\qquad$ $ \iff\:\: $ Die Versorgungsleitung $g$ trifft weder $k$ noch $b$.
Lösung d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wie lange dauert das Bohren von $g$, bei einem Vortrieb von $20 cm/min$?.
$\qquad\qquad\qquad$ Die Länge von $g$ ist die Distanz zwischen $E \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: N \begin{pmatrix} 14\\2\\-10 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Länge von $g$ oder Strecke:
$\qquad\qquad\qquad$ $S=\sqrt{(14-6)^2+(2-12)^2+(-10-0)^2}=\sqrt{236}\approx15,36$ LE
$\qquad\qquad\qquad$ Für 1 LE $=100$ m, ist $S=1536$ m
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large { v=\frac{S}{t} } $ $ \:\:\:\: \iff \:\:\:\: t= $ $ \large { \frac{S}{v}=\frac{1536 m}{0,2 m/min} } $ $=7680\:Minuten=128\:Stunden$
$\qquad\qquad$ Das Bohren von $g$ dauert also etwa $\underline{128\: Stunden}$
Flugbahn und Fluggeschwindigkeit
Flugbahn und Fluggeschwindigkeit
Spurpunkte mit Anwendungen
Lösung a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Stelle\: die\: Gleichung\: der\: Geraden\: g\: auf,\: auf\: der\: das\: Flugzeug\: Gamma\: fliegt\: $
$\qquad\:\:$ $ A \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} 15\\7\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ g_{AB}:\:\overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 15-10\\7-1\\1-0,8 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ Zusammenhang\: zwischen\: dem\: Geradenparameter\:(r)\: und\: dem\: zugehörigen\: Zeitintervall $
$\qquad\qquad$ $ Wenn\: r=0,\:\: g_{AB}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \:\: \Longrightarrow \:\: das\: Flugzeug\: ist\: bei\: der\: Punkt\: A. $
$\qquad\qquad$ $ Wenn\: r=1,\:\: g_{AB}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \:\: \Longrightarrow \:\: das\: Flugzeug\: ist\: bei\: der\: Punkt\: B,\: also\: 2\: Minuten\: später. $
Lösung b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Flugposition\: um\: 10:10\: Uhr,\: Geschwindigkeit\: und\: Höhe $
$\qquad\:\:$ $ *\: Flugposition\: um\: 10:10\: Uhr $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Um\: 10:00\: Uhr,\: ist\: das\: Flugzeug\: bei\: der\: Punkt\: A $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Um\: 10:02\: Uhr,\: ist\: das\: Flugzeug\: bei\: der\: Punkt\: B $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Mit\: konstanter\: Geschwindigkeit,\: zwischen\: 10:00\: und\: 10:10\: Uhr\: liegen\: 10\: Minuten $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ Berechne\: den\: Parameter\: t\: für\: diesen\: Zeitpunkt $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large { t=\frac{10\: min}{2}=5 } $ $ \:\:(weil\: 2\: Minuten\: eine\: Einheit\: für\: t=1\: bedeuten) $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Setze\: t=5\: in\: die\: Geradengleichung\: ein: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{P}}_5 = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25\\30\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35\\31\\1,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \:\: Das\: Flugzeug\: befindet\: sich\: um\: 10:10\: Uhr\: bei\: den\: Koordinaten\: \begin{pmatrix} 35\\31\\1,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ *\: Geschwindigkeit\: des\: Flugzeugs $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Geschwindigkeit\: berechnet\: sich\: aus $
$\qquad\qquad\qquad$ $ der\: Länge\: des\: Richtungsvektors\: \vec{v}= \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} \: und\: der\: Zeit\: t=2 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Länge\: des\: Vektors\: \vec{v}\: ist: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ |\vec{v}|=\sqrt{5^2+6^2+0,2^2} = \sqrt{25+36+0,04} = \sqrt{61,04}\approx7,81\: km $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Da\: dies\: die\: Strecke\: ist,\: die\: das\: Flugzeug\: in\: 2\: Minuten\: zurücklegt,\: ist\: die\: Geschwindigkeit: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large{ v=\frac{7,81\: km}{2} } $ $ =3,905\:km/min=234,3\:km/h $
$\qquad\:\:$ $ *\: Wann\: erreicht\: das\: Flugzeug\: die\: Höhe\: von\: 4\: km\: (4000\: m\: =\: 4\: km)? $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Höhe\: des\: Flugzeugs\: ist\: durch\: die\: z-Koordinate\: gegeben. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Suche\: t,\: wenn\: die\: Höhe\: z=4\: ist.\: Aus\: der\: Parametergleichung: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ z(t)=0,8+0,2t $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=4\: und\: löse\: nach\: t\: auf: $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ 0,8+0,2t=4\:\: \Longrightarrow\:\: 0,2t=3,2 \:\: \Longrightarrow\:\: t= $ $ \large \frac{3,2}{0,2} $ $ =16 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: Flugzeug\: erreicht\: nach\: 16\: Minuten\: die\: Höhe\: von\: 4\: km.\: Das\: wäre\: um: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 10:00+16\: Minuten=10:16\:Uhr $
Lösung c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Flugbahn\: von\: Delta\: und\: Kollision $
$\qquad\:\:$ $ *\: Flugbahn\: von\: Delta\: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Für\: das\: zweite\: Flugzeug\: Delta\: verfahre\: ähnlich.\: Die\: beiden\: Punkte\: sind $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ P \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: Q \begin{pmatrix} 95\\121\\3,6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PQ}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 95-100\\121-130\\3,6-3,7 \end{pmatrix} = \underline { \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\-9\\-0,1 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ *\: Prüfung\: auf\: Schnittpunkt $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Prüfe,\: ob\: sich\: die\: beiden\: Flugbahnen\: schneiden,\: setzte\: die\: Geradengleichungen\: gleich $
$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{AB}=g_{PQ}\: \iff \: \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\-9\\-0,1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: ergibt\: drei\: Gleichungen\: für\: t\: und\: s: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 10+5t &=& 100-5s\qquad (1)\\ \\ 1+6t &=& 130-9s\qquad (2)\\ \\ 0,8+0,2t &=& 3,7-0,1s\:\:\:\:\: (3) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 6\cdot(1)-5\cdot(2)\: \Longrightarrow\: \begin{cases} 60 +30t &=& 600-30s\\ \\ -5 -30t &=& -650+45s\\ \hline \\ 55 &=& -50+15s \:\:|\:\: +50 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ 105 = 15s\qquad\qquad\:|\:\: :15 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { 7 = s \:\: (4) } $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (4)\: in\: (3)\:\: \Longrightarrow \:\: 0,8+0,2t=3,7-0,1\cdot7\qquad|\:\:(-0,8) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ \iff \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:0,2t=2,2\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:|\:\:(0,2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ \iff $ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \underline { t=11 } $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 10+5(11) &=& 100-5(7)\qquad \iff\:\: 65 &=& 65 \:\: W.A.\\ \\ 1+6(11) &=& 130-9(7)\qquad \iff\:\: 67 &=& 67 \:\: W.A.\\ \\ 0,8+0,2(11) &=& 3,7-0,1(7)\:\:\:\:\: \iff\:\: 3 &=& 3 \:\: W.A. \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Flugbahnen\: Gamma\: und\: Delta\: schneiden\: sich\: an\: der\: Punkt\: \begin{pmatrix} 65\\67\\3 \end{pmatrix}, $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \: aber\: die\: Flugzeuge\: passieren\: zu\: unterschiedlichen\: Zeiten. $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ Also\: die\: Gefahr\: einer\: Kollision\: besteht\: nicht!!! $
Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Teststrecke
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Teststrecke
Aufgabe 3.1: Ebenen
Lösung a)
Gegeben sind die Ebene:
$ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix}, $ in parameterform
und
$ E_2:6x+2y+9z=18, $ in Koordinatenform.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Bestimme\: für\: E_1\: eine\: Ebenengleichung\: in \: Koordinatenform $
$\qquad\:\:$ $ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Normalenvektor $\vec{n}$ der beiden Richtungsvektoren
$\qquad\qquad$ Mit Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad$ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\cdot (-4)-0\cdot 0\\ 0\cdot 3-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot 0-9\cdot 3 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} -36\\ -12\\ -27 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ Berechne $d$ (Skalarprodukt aus Ortsvektor und Normalenvektor)
$\qquad\qquad$ $ d=\vec{o}\cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -36\\ -12\\ -27 \end{pmatrix} =3\cdot (-36)+0\cdot (-12)+0\cdot (-27)=-108 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow d=-108 $
$\qquad\qquad\qquad$ Also: $E_1:-36x-12y-27z=-108\:\: \textcolor{red}{|:(-3)}$
$\qquad\qquad\qquad$ Die Ebenengleichung lautet: $\underline{E_1:12x+4y+9z=36}$
$ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix}, $ in parameterform
und
$ E_2:6x+2y+9z=18, $ in Koordinatenform.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Bestimme\: für\: E_1\: eine\: Ebenengleichung\: in \: Koordinatenform $
$\qquad\:\:$ $ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Normalenvektor $\vec{n}$ der beiden Richtungsvektoren
$\qquad\qquad$ Mit Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad$ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\ 9\\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9\cdot (-4)-0\cdot 0\\ 0\cdot 3-(-3)\cdot (-4)\\ -3\cdot 0-9\cdot 3 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} -36\\ -12\\ -27 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ Berechne $d$ (Skalarprodukt aus Ortsvektor und Normalenvektor)
$\qquad\qquad$ $ d=\vec{o}\cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 3\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -36\\ -12\\ -27 \end{pmatrix} =3\cdot (-36)+0\cdot (-12)+0\cdot (-27)=-108 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow d=-108 $
$\qquad\qquad\qquad$ Also: $E_1:-36x-12y-27z=-108\:\: \textcolor{red}{|:(-3)}$
$\qquad\qquad\qquad$ Die Ebenengleichung lautet: $\underline{E_1:12x+4y+9z=36}$
Lösung b)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
b)\: Die\: 3\: Schnittpunkte\: der\: Ebene\: E_1\: mit\: den\: Koordinateachsen
$
$\qquad\:\:$ Für die $x-Achse$ gilt: $y=z=0$
$\qquad\qquad$ $ 12x+4(0)+9(0)=36\:\: \textcolor{red}{|:12} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ x=3 \longrightarrow \underline{S_x(3|0|0)} $
$\qquad\:\:$ Für die $y-Achse$ gilt: $x=z=0$
$\qquad\qquad$ $ 12(0)+4y+9(0)=36\:\: \textcolor{red}{|:4} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ y=9 \longrightarrow \underline{S_y(0|9|0)} $
$\qquad\:\:$ Für die $z-Achse$ gilt: $x=y=0$
$\qquad\qquad$ $ 12(0)+4(0)+9z=36\:\: \textcolor{red}{|:9} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ z=4 \longrightarrow \underline{S_y(0|0|4)} $
$\qquad\:\:$ Für die $x-Achse$ gilt: $y=z=0$
$\qquad\qquad$ $ 12x+4(0)+9(0)=36\:\: \textcolor{red}{|:12} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ x=3 \longrightarrow \underline{S_x(3|0|0)} $
$\qquad\:\:$ Für die $y-Achse$ gilt: $x=z=0$
$\qquad\qquad$ $ 12(0)+4y+9(0)=36\:\: \textcolor{red}{|:4} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ y=9 \longrightarrow \underline{S_y(0|9|0)} $
$\qquad\:\:$ Für die $z-Achse$ gilt: $x=y=0$
$\qquad\qquad$ $ 12(0)+4(0)+9z=36\:\: \textcolor{red}{|:9} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ z=4 \longrightarrow \underline{S_y(0|0|4)} $
Lösung c)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
c)\: Abstand\: der\: Ebene\: E_1\: zum\: Koordinatenursprung\: 0
$
$\qquad\:\:$ $ d(E_1,O)= \begin{vmatrix} \frac { \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} -36 } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac { 12\cdot 0+4\cdot 0+9\cdot 0-36 } { \sqrt{12^2+4^2+9^2} } \end{vmatrix} =2,318 $
$\qquad\:\:$ Der Abstand beträgt $\underline{d\approx2,32\: LE}$
$\qquad\:\:$ $ d(E_1,O)= \begin{vmatrix} \frac { \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} -36 } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac { 12\cdot 0+4\cdot 0+9\cdot 0-36 } { \sqrt{12^2+4^2+9^2} } \end{vmatrix} =2,318 $
$\qquad\:\:$ Der Abstand beträgt $\underline{d\approx2,32\: LE}$
Lösung d)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
d)\: Begründe,\: dass\: E_1\: und\: E_2\: nicht\: zueinander \: parallel\: sind
$
$\qquad\:\:$ $E_1: 12x+4y+9z=36 \longrightarrow$ der Normalenvektor $ n_1 = \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $E_2: 6x+2y+9z=18 \longrightarrow$ der Normalenvektor $ n_2 = \begin{pmatrix} 6\\2\\9 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \ne r\cdot \begin{pmatrix} 6\\2\\9 \end{pmatrix} \longrightarrow $ $E_1$ und $E_2$ sind nicht kollinear und dann nicht parallel.
$\qquad\:\:$ Schnittgerade der Ebenen $E_1$ und $E_2$
$\qquad\qquad$ $ E_1 \cap E_2: 6(3-3r+3s)+2(9r)+9(-4s)=18 $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff \textcolor{red}{\cancel{18}} \textcolor{blue}{\cancel{-18r}} \underline{+ 18s} \textcolor{blue}{\cancel{+18r}} \underline{- 36s}=\textcolor{red}{\cancel{18}} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \iff -18s=0 \longrightarrow \underline{s=0} $
$\qquad\qquad$ Setzte $s=0$ in $E_1$ ein
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3\\0\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Die Gleichung der Schnittgerade $s$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { s:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $E_1: 12x+4y+9z=36 \longrightarrow$ der Normalenvektor $ n_1 = \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $E_2: 6x+2y+9z=18 \longrightarrow$ der Normalenvektor $ n_2 = \begin{pmatrix} 6\\2\\9 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ \begin{pmatrix} 12\\4\\9 \end{pmatrix} \ne r\cdot \begin{pmatrix} 6\\2\\9 \end{pmatrix} \longrightarrow $ $E_1$ und $E_2$ sind nicht kollinear und dann nicht parallel.
$\qquad\:\:$ Schnittgerade der Ebenen $E_1$ und $E_2$
$\qquad\qquad$ $ E_1 \cap E_2: 6(3-3r+3s)+2(9r)+9(-4s)=18 $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff \textcolor{red}{\cancel{18}} \textcolor{blue}{\cancel{-18r}} \underline{+ 18s} \textcolor{blue}{\cancel{+18r}} \underline{- 36s}=\textcolor{red}{\cancel{18}} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \iff -18s=0 \longrightarrow \underline{s=0} $
$\qquad\qquad$ Setzte $s=0$ in $E_1$ ein
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3\\0\\-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ Die Gleichung der Schnittgerade $s$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { s:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} } $
Lösung e)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
e)\: dass\: Volumen\: der\: Pyramide
$
$\qquad\:\:$ $ \underline { V_{Pyramide}= \frac{1}{3}A_G \cdot h=\frac{1}{3}(\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 9)\cdot 4=18\: VE } $
$\qquad\:\:$ $ \underline { V_{Pyramide}= \frac{1}{3}A_G \cdot h=\frac{1}{3}(\frac{1}{2} \cdot 3\cdot 9)\cdot 4=18\: VE } $
Lösung f)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
f)\: Ermittle\: den\: Punkt\: P
$
$\qquad\:\:$ Gleichung der Geraden gAB:
$\qquad\qquad$ gAB: $ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0-3\\9-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $P$ auf gAB ist also $C$ auf gAB $ \longrightarrow \overrightarrow{PC}= $ gAB
$\qquad\qquad$ $ \iff \overrightarrow{PC} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-3r\\9r\\-4 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $\overrightarrow{PC}\perp g_{AB} \Longrightarrow \overrightarrow{PC}\cdot g_{AB}=0$ (also Richtungsvektor von $g_{AB}$)
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3-3r\\9r\\-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} = (-9+9r)+(81r)+(0)=-9+90r=0 \Rightarrow r=\frac{1}{10} $
$\qquad\:\:$ Also
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { P \begin{pmatrix} 3&+&\frac{1}{10}\cdot (-3) \\ 0&+&\frac{1}{10}\cdot 9 \\ 0&+&\frac{1}{10}\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,7\\0,9\\0 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ Gleichung der Geraden gAB:
$\qquad\qquad$ gAB: $ \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0-3\\9-0\\0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $P$ auf gAB ist also $C$ auf gAB $ \longrightarrow \overrightarrow{PC}= $ gAB
$\qquad\qquad$ $ \iff \overrightarrow{PC} = \begin{pmatrix} 3\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-3r\\9r\\-4 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $\overrightarrow{PC}\perp g_{AB} \Longrightarrow \overrightarrow{PC}\cdot g_{AB}=0$ (also Richtungsvektor von $g_{AB}$)
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3-3r\\9r\\-4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\9\\0 \end{pmatrix} = (-9+9r)+(81r)+(0)=-9+90r=0 \Rightarrow r=\frac{1}{10} $
$\qquad\:\:$ Also
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { P \begin{pmatrix} 3&+&\frac{1}{10}\cdot (-3) \\ 0&+&\frac{1}{10}\cdot 9 \\ 0&+&\frac{1}{10}\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2,7\\0,9\\0 \end{pmatrix} } $
Analytische Geometrie / Abi Berlin
Übungsaufgaben
Lösung
a) Zeige, dass das Viereck $ABFE$ ein Trapez ist.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Länge\: AE\: und\: BF $
$\qquad$ $ |\overline{AE}|=\sqrt{(0-0)^2+(40-0)^2+(120-0)^2}=126,491 $
$\qquad$ $ |\overline{BF}|=\sqrt{(0-0)^2+(58-20)^2+(114-0)^2}=120,166 $
$\qquad$ $ \large \frac {\overline{AE}} {\overline{BF}} = \frac{126,491}{120,166} $ $ \large = \frac{20}{19} $ $ \iff 20\cdot \overline{BF}=19\cdot \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF}= \large \frac{19}{20} \cdot $ $ \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF} \parallel \overline{AE} \:\: \longrightarrow \:\: ABFE $ ist ein Trapez.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Prüfe\: ob\: das\: Viereck\: im\: E\: einen\: rechten\: Winkel\: hat $
$\qquad$ Berechene das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AE}$ und $\overrightarrow{EF}$
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 0-0\\40-0\\120-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \:\:\:\: | \:\:\:\: \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0-0\\58-40\\114-120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} = 0\cdot 0+40\cdot 18+120\cdot (-6)=0 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow $ das Viereck hat im Punkt $E$ einen rechten Winkel.
b) Liegen $L$ und $M$ auf $AE$ bzw. $BF$ und verläuft $LM$ parallel zu $AB$ durch den Mittel-punkt von $EF$ , so ist der Flächeninhalt des Vierecks $ABFE$ ebenso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABML$. Betrachtet man $AB$ als dessen Grund- seite, so ist die zugehörige Höhe der Mittelwert der $z$-Koordinaten von $E$ und $F$. Die untere Teilfläche ist ein Parallelogramm, dessen Höhe zur Grundseite $AB$ halb so groß ist wie die des Parallelogramms $ABML$.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Länge\: AE\: und\: BF $
$\qquad$ $ |\overline{AE}|=\sqrt{(0-0)^2+(40-0)^2+(120-0)^2}=126,491 $
$\qquad$ $ |\overline{BF}|=\sqrt{(0-0)^2+(58-20)^2+(114-0)^2}=120,166 $
$\qquad$ $ \large \frac {\overline{AE}} {\overline{BF}} = \frac{126,491}{120,166} $ $ \large = \frac{20}{19} $ $ \iff 20\cdot \overline{BF}=19\cdot \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF}= \large \frac{19}{20} \cdot $ $ \overline{AE} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \overline{BF} \parallel \overline{AE} \:\: \longrightarrow \:\: ABFE $ ist ein Trapez.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Prüfe\: ob\: das\: Viereck\: im\: E\: einen\: rechten\: Winkel\: hat $
$\qquad$ Berechene das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AE}$ und $\overrightarrow{EF}$
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} = \begin{pmatrix} 0-0\\40-0\\120-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \:\:\:\: | \:\:\:\: \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0-0\\58-40\\114-120 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{EF} = \begin{pmatrix} 0\\40\\120 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\18\\-6 \end{pmatrix} = 0\cdot 0+40\cdot 18+120\cdot (-6)=0 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow $ das Viereck hat im Punkt $E$ einen rechten Winkel.
b) Liegen $L$ und $M$ auf $AE$ bzw. $BF$ und verläuft $LM$ parallel zu $AB$ durch den Mittel-punkt von $EF$ , so ist der Flächeninhalt des Vierecks $ABFE$ ebenso groß wie der Flächeninhalt des Parallelogramms $ABML$. Betrachtet man $AB$ als dessen Grund- seite, so ist die zugehörige Höhe der Mittelwert der $z$-Koordinaten von $E$ und $F$. Die untere Teilfläche ist ein Parallelogramm, dessen Höhe zur Grundseite $AB$ halb so groß ist wie die des Parallelogramms $ABML$.