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Lagebeziehungen von zwei Ebenen

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Lagebeziehungen von zwei Ebenen




Ebenen können auf unterschiedliche Weise im Raum zueinander liegen. Die verschiedenen Optionen sind wie folgt:




Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

Ebenen identisch Jeder Punkt, der auf einer Ebene liegt, liegt auch auf der anderen und es gibt unendlich viele Schnittgeraden.
Ebenen schnittpunkt Ebenen haben genau eine gemeinsame Schnittgerade, die alle Punkte enthält, die auf beiden Ebenen liegen.
Ebenen echt parallel Zwei Geraden sind echt parallel, wenn sie durch eine Verschiebung identisch werden.



Beispielaufgaben: Schnittgerade



Es gibt zwei Ebenen $G$ (in Koordinatenform) und $H$ (in Parameterform):

$ \qquad G:7x+y-3z-8=0 \:\:$ und $\:\: H:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $

Setze $H$ in $G$ ein:

$ \qquad G:7(0+r\cdot0+s\cdot1)+(1+r\cdot(-1)+s\cdot0)-3(0+r\cdot2+s\cdot0)-8=0 $

$ \qquad\qquad \Rightarrow 7s+1-r-6r-8=0 $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7s-7r-7-8=0\:\:|\: +7r $
$ \qquad\qquad \Rightarrow 7s-7=7r\:\:|\: :7 $
$ \qquad\qquad \iff \underline{s-1=r} $

Setze $r$ in $H$ ein um die Gleichung der Schnittgeraden $g$ zu erhalten:

$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + (s-1)\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $

Fasse zusammen:

$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $

$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}0\\-1\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix} $

$ \qquad\qquad \iff g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix} $

$ \qquad\qquad \iff g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix} $

Die Schnittgerade lautet:

$ \qquad\qquad g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2 \end{pmatrix} + \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2 \end{pmatrix} $



Übungsaufgaben


Bestimme die Schnittgerade der in Parameter- und Koordinatenform gegebenen Ebenen.


  1. $\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:-x+2y+z=-4 }$ $\qquad$ und $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}} $

    Lösung
    Lineare Unabhängigkeit

    $\qquad \textcolor{black}{ E_1:-x+2y+z=-4; }$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}2\\0\\-1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3 \end{pmatrix}} $

    Setze $E_2$ in $E_1$

    $ \qquad E_1:-(2+0\cdot r+2\cdot s) + 2(0+1\cdot r-1\cdot s) + (-1-2\cdot r+3\cdot s) =-4 $
    $ \qquad\qquad \Rightarrow -2-2s+2r-2s-1-2r+3s=-4 \:\:|\:\:+3 $
    $ \qquad\qquad \Rightarrow -s=-1 \:\:|\:\::(-1) $
    $ \qquad\qquad \Longrightarrow \underline{s=1} $

    Setze s in $E_2$ ein um die Gleichung der Schnittgeraden g zu erhalten:

    $ \qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} $

    Fasse zusammen:

    $ \qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $

    $ \qquad \iff g:\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $

    Die Schnittgerade lautet:

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad g:\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix} $

    Graphische Darstellung

    $ \textcolor{blue}{E_1} \cap \textcolor{purple}{E_2}=g $




  2. $\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:x+2y-2z=5 }$ $\qquad$ und $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}7\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix}} $

    Lösung
    Lagebestimmung

    $\qquad \textcolor{black}{ E_1:x+2y-2z=5; }$ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix}7\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\0 \end{pmatrix}} $

    Setze $E_2$ in $E_1$

    $ \qquad E_1:(7+4\cdot r+2\cdot s) + 2\cdot (1+1\cdot r-1\cdot s) – 2\cdot (2+3\cdot r+0\cdot s) =5 $
    $ \qquad\qquad \Rightarrow 7+4r+2s+2+2r-2s-4-6r=5 \:\: \iff 5=5\:\: W.A. $

    Die Ebenen sind identisch, also liegen aufeinander.

    Graphische Darstellung

    $ \textcolor{blue}{E_1} \equiv \textcolor{purple}{E_2} $




  3. $\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix} } $ $\qquad$ und $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2:2x+y-z-1=0 } $

    Lösung
    Lagebestimmung

    $ \qquad \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\1\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\3 \end{pmatrix}}; $ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2:2x+y-z-1=0 }$

    Setze $E_1$ in $E_2$

    $ \qquad\qquad \Rightarrow E_1: 2(1+0\cdot r+1\cdot s)+1+1\cdot r+1\cdot s-2-1\cdot r-3\cdot s-1=0 $
    $ \qquad\qquad \iff E_1: 0=0 \:\:\: $ Wahre Aussage

    Die beiden Ebenen sind identisch, also liegen aufeinander.

    Graphische Darstellung

    $ \textcolor{dodgerblue}{E_1} \equiv \textcolor{purple}{E_2} $



  4. $\:\:\: \large \textcolor{black}{ E_1:\vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix} } $ $\qquad$ und $\qquad$ $ \large \textcolor{black}{ E_2:x-2y+z-2=0 } $

    Lösung
    Lagebestimmung

    $ \qquad \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}}; $ $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_2:x-2y+z-2=0 }$

    Setze $E_1$ in $E_2$

    $ \qquad \Rightarrow E_1: (1+1\cdot r+(-1)\cdot s) – 2[(-1)+(-1)\cdot r+2\cdot s] + 3+ (-1)\cdot r+ (-1)\cdot s – 2=0 $

    Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

    $ \qquad \Rightarrow E_1: 1+r-s + 2+2r-4s + 3-r-s – 2=0 $

    $ \qquad \Rightarrow r=-2+3s $

    Setze $r$ in $E_1$ ein und fasse zusammen, um die ie Schnittgerade g zu erhalten:

    $\qquad$ $ \textcolor{black}{ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} + (-2+3s)\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}} $

    $\qquad$ $ \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}1\\-1\\3 \end{pmatrix} – 2\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + 3s\cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}-1\\2\\-1 \end{pmatrix}} $

    $ \qquad \textcolor{black}{ g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $

    $ \qquad \textcolor{black}{ \iff g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $

    Die Schnittgerade lautet:

    $ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \textcolor{black}{ \iff g: \vec{x}= \begin{pmatrix}-1\\1\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix}2\\-1\\-4 \end{pmatrix}} $

    Graphische Darstellung

    $\textcolor{dodgerblue}{E_1} \cap \textcolor{magenta}{E_2}=$ g



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