Rekonstruktion von Funktionen
Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf, löse sie zur Bestimmung der rekonstruierte Funktion.
Funktionen rekonstruieren Vorgehen
- Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung der gesuchten Funktionsart auf, und bestimme ihre Ableitungen.
$ \normalsize \textcolor{black}{ f(x)=ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + … + a_1x^1 + a_0x^0\:\: (x^0=1) } $
$ \normalsize \textcolor{black}{ \:\:\:f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e } $ $\:\:\: \rightarrow\:\:$
$ \normalsize \textcolor{black}{ \:\:\:f(x)=ax^3+bx^2+cx+d } $ $\qquad\:\:\:\:\:\: \rightarrow\:\:$ -
Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.
$ \normalsize \textcolor{black}{ f(x)=ax^2+bx+c. } $
$ \qquad \normalsize \textcolor{black}{ \Longrightarrow 2=a(1)^2+b(1)+c } $ - Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.
- Bestimme deine rekonstruierte Funktion.
Beispielaufgabe: Rekonstruktion von Funktionen
Lösung
$ \qquad \large \textcolor{black}{ \begin{cases} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f”(x)=6ax+2b \end{cases} } $
$\:\:\:\:$ $ \large (-1|2)\:\: \rightarrow f(-1)=2 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f(-1)=a\cdot(-1)^3+b\cdot(-1)^2+c\cdot(-1)+d=2 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f(-1)=-a+b-c+d=2 $
$\:\:\:\:$ $ \large (-1|2)\:\: \rightarrow f'(-1)=0 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(-1)=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot(-1)+c=0 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(-1)=3a-2b+c=0 $
$\:\:\:\:$ $ \large x=1\:\: \rightarrow f”(1)=0 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f”(1)=6a\cdot 1+2b=0 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f”(1)=6a+2b=0 $
$\:\:\:\:$ $ \qquad \large \:\: \rightarrow f'(2)=9 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(2)=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(2)=12a+4b+c=9 $
$\qquad$
$\qquad$ $ \large \begin{cases} -a+b-c+d &=2 \:\:\: I\\ 3a-2b+c &=0 \:\:\: II\\ 6a+2b &=0 \:\:\: III\\ 12a+4b+c &=9 \:\:\: IV \end{cases} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large II-IV \Rightarrow\:\: -9a-6b=-9\:\: V $
$ \qquad\qquad \large \textcolor{orange}{3}\cdot III + V \Rightarrow \begin{cases} \textcolor{orange}{18}a + \textcolor{orange}{6}b &= \textcolor{orange}{0} \\ -9a-6b &=-9 \\ \hline 9a &= -9 \qquad |\: :9 \end{cases} $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{DodgerBlue}{a=-1}} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 6(-1)+2b =0 \qquad|\: +6 \\ $
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 2b =6 \qquad\qquad \:\:\:\:\:\:\:\:|\: :2 \\ $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{OliveGreen}{b=3}} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 3(-1)-2(3)+c=0 $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: -3-6+c=0 \qquad|\: +9 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{BurntOrange}{c=9}} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: -(-1)+3-9+d=2 $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 1+3-9+d=2 \qquad|\: +5 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{DarkOrchid}{d=7}} $
$\qquad$
$\qquad \qquad$ ➪ $ \Large f(x)=-x^3+3x^2+9x+7 $
Übungsaufgaben
Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.
-
Eine Funktion 2. Grades, besitzt einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0|-3)$ und einen Hochpunkt bei $H(3|2)$
Lösung1. Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen
- Eine Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^2+bx+c$, $\qquad a, b \:\:und\:\: c \in \mathbb{R} $ - Die 1. und 2. Ableitungen sind:
$ \qquad f'(x)=2ax+b $
$ \qquad f”(x)=2a $
2. Informationen in Mathe Gleichungen übersetzen
$\:\:\:\:$ I. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y(0|-3) \rightarrow f(0)=-3$
$ \qquad \Leftrightarrow f(0)=a(0)^2+b(0)+c=-3 $
$ \qquad \longrightarrow {c=-3}\:\:\: \textcolor{red}{(I)} $
$\:\:\:\:$ II. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f(3)=2$
$ \qquad \Leftrightarrow a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=2 $
$ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b+c=2\:\:\: \textcolor{red}{(II)} $
$\:\:\:\:$ III. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f'(3)=0$
$ \qquad \Leftrightarrow 2a\cdot 3+b=0 $
$ \qquad \Leftrightarrow 6a+b=0\:\:\: \textcolor{red}{(III)} $
3. Lineares Gleichungssystem (LGS) auftellen und lösen
$ \qquad \begin{cases} \begin{align*} c &=-3 \:\:\: \textcolor{red}{(I)}\\ 9a + 3b + c &=2 \:\:\:\:\: \textcolor{red}{(II)}\\ 6a + b &=0 \:\:\:\: \textcolor{red}{(III)} \end{align*} \end{cases} $
$\:\:\:$ Setze $I$ in $II$
$ \qquad \Rightarrow 9a+3b-3=2\:\:|\:\:+3 $
$ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b-3=5\:\:\: \textcolor{red}{(IV)} $
$ \qquad -3\cdot III+IV \Rightarrow \begin{cases} \begin{align*} (6a+b &=0)\cdot(-3)\\ 9a+3b &=5 \end{align*} \end{cases} $ $ \:\: \Rightarrow \:\: \begin{cases} \begin{align*} -18a-3b &=0\\ 9a+3b &=5\\ \hline -9a &=5 \:\:\: |\: (-9) \end{align*} \end{cases} $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\:\:\:\:\: \large \longrightarrow a=-\frac{5}{9} $
$\:\:\:$ Setze $a$ in $III$ ein: $\Rightarrow 6(-\frac{5}{9})+b=0 \:\:\:| \: +\frac{30}{9}$
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \large \longrightarrow b=\frac{30}{9}=\frac{10}{3} $
4. Rekonstruierte Funktion bestimmen
$\:\:\:$ Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $
Graphische Darstellung$ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $
- Eine Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion, der Form:
-
Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=-2$, eine einfache Nullstelle bei $x_3=0$ und verläuft durch den Punkt $P(-1|-2).$
LösungAllg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $
Die Nullstellenform lautet:
$ f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $
Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $ \large \textcolor{DodgerBlue}{x_{1,2}=-2} $ und eine Nullstelle bei $ \large \textcolor{OliveGreen}{x_3=0} $
Übersetze:
$ \qquad \large \longrightarrow f(x)=a\cdot (x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{OliveGreen}{0}) $
Die Funktion verläuft durch den Punkt $P(-1|-2)$
$ \qquad \Rightarrow f(-1)=-2\:\: \Leftrightarrow \:\:a\cdot (-1+2)(-1+2)(-1-0)=-2 $
Klammer auf und fasse zusammen:
$ \qquad \Rightarrow\:\: a\cdot 1\cdot (-1)=-2 $
$ \qquad \large \iff \:\: a=2 $
Nun lautet die Funktionsgleichung (Funktionsterm):
$ \qquad f(x)= 2\cdot (x+2)(x+2)(x-0), $
Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form:
$ \qquad f(x)= 2\cdot (x^2+4x+4) $
$ \qquad = 2x^3+8x^2+8x $
Die Funktionsgleichung lautet:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $
Graphische Darstellung$ \:\:\: \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
-
Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte $P(1|-1,5).$ und $Q(3|7,5)$.
LösungAllg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $
Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit gerade Exponenten:
$\qquad \longrightarrow f(x)=ax^3+cx $
Die Punkte $P(1|-1,5)$ und $Q(3|7,5)$ liegen auf f:
Bedeutet:
$\qquad$ – Setze $P(1|-1,5)$ in die Gleichung ein:
$ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 1^3+c\cdot 1=-1,5 $
$ \qquad\qquad \Leftrightarrow a+c=-1,5\:\:\: (I) $
$\qquad$ – Setze $Q(3|7,5)$ in die Gleichung ein:
$ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 3^3+c\cdot 3=7,5 $
$ \qquad\qquad \Leftrightarrow 27a+3c=7,5\:\:\: | \textcolor{red}{:3} $
$ \qquad\qquad \rightarrow 9a+c=2,5\:\:\: (II) $
Stelle ein Lineares Gleichungssystem auf und löse es:
$ \qquad \qquad \begin{align*} \begin{cases} a+c &=-1,5 \:\:\: (I) \\ 9a+c &=2,5 \:\:\:\:\:\: (II) \end{cases} \end{align*} $
$\qquad \qquad (I)-(II)\:\: \Rightarrow \:\: -8a=-4\:\:\:|\: \textcolor{red}{:(-8)} $
$\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: a=\frac{1}{2} $
$\qquad$ Setze $a$ in $(I)$ ein:
$ \qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\: \Rightarrow\:\: \frac{1}{2}+c=-1,5\:\:\: |\: \textcolor{red}{-0,5} $
$\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: c=-2 $
Die Funktionsgleichung lautet:
$\qquad\qquad$ ➪ $ \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x. $
Graphische Darstellung$ \qquad \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x $
Punktsymmetrie: $ \Large \textcolor{DodgerBlue}{f(-x)}= \textcolor{OliveGreen}{-f(x)} $
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
-
Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und geht durch den Punkt $P(0|3)$.
LösungAllg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
- Eine Funktion 4. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. $
und dir Nullstellenform: $f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$
Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und weil achsensymmetrisch,
hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei $x_{3,4}=-1$.
Das heißt, die Nullstellenform ist:
$ \qquad f(x)=a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1) $
Der Punkte $P(0|3)$ liegt auf f:
Bedeutet:
$\qquad$ Setze $P(0|3)$ in die Gleichung ein und löse nach $a$:
$\qquad$ $a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)=3 $
Klammer auf und fasse zusammen:
$\qquad a\cdot (-1)(-1)\cdot 1 \cdot 1=3 $
Stelle nun den Funktionsterm auf:
$ \Large \downarrow $ Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form.
$ f(x)=3\cdot (x-1)(x+1)\cdot (x-1)(x+1) $
$ \Large \downarrow $ Benutze die 3. binomische Formel.
$ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^2-1)\cdot (x^2-1) $
$ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^4-2x^2+1) $
$ \qquad \Leftrightarrow f(x)=3x^4-6x^2+3 $
Die Funktionsgleichung lautet:
$\qquad\qquad$ ➪ $ \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $
Graphische Darstellung$ \qquad \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $
- Eine Funktion 4. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
Weitere Aufgaben
Aufgaben mit nichtrationalen Funktionen
- Bestimme eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=a^x+b$, welche durch die Punkte $P(1|4)$ und $Q(-1|\frac{4}{3})$ geht.
Lösung
Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:
$\:\:\:$ Für $P$ $\Rightarrow\:a^1+b=4$
$\:\:\:$ Für $Q$ $\Rightarrow\:a^{-1}+b=\frac{4}{3}$
Löse das Gleichungssystem:
$ \qquad \begin{cases} \begin{align*} a+b &=4 \:\:\:\: (I)\\ a^{-1}+b &=\frac{4}{3} \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
Subtrahiere die Gleichungen:
$\qquad (I)-(II) \: \Rightarrow\: a-a^{-1}=4-\frac{4}{3}$
Fasse zusammen und mache Gleichnahmig:
$\qquad \large \iff a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3} \iff \frac{3\cdot a^2}{3a}- \frac{3\cdot 1}{3a}-\frac{8\cdot a}{3a}=0 $
$\qquad \Rightarrow 3a^2-8a-3=0\:\: |\: :3 $
$\qquad \Rightarrow a^2-2,66a-1=0 $
Löse mit pq-Formel oder andere Formeln:
$\qquad$ Mit pq-Formel: $a^2-2,66a-1=0$, mit $p=-2,66$ und $q=-1$.
Die 2 Lösungen sind:
$\qquad$ $ \large a_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} $
Setze $p$ und $q$ ein:
$\qquad$ $ \longrightarrow \begin{cases} a_1=2,99\approx3\\ oder\\ a_2=-0,33 \:\: \textcolor{red}{\longrightarrow (entfällt\: bei\: Exponentialfunktionen)} \end{cases} $
$\qquad$ $ \Rightarrow $ die Lösung ist $ \large \underline {a=3} $
Setze $a=3$ in Gleichung $(I)$ ein:
$\qquad$ $ \Rightarrow 3+b=4\:\:|\: (-3) $
$\qquad$ $ \iff \large \underline{b=1} $
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann also:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=3^x+1 $
Graphische Darstellung
$ \large f(x)=3^x+1 $
-
Gesucht ist eine Funktion der Form $f(x)=log_a x$. Die Funktion geht durch den Punkt $P(8|1,5)$.
Ermittle die Funktionsgleichung.Lösung
Setze $P$ in die Funktion $f$ ein und löse nach a auf:
$\qquad$ $ 1,5=log_a\:8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Nach Logarithmusgesetze:
$\qquad$ $ \large a^{1,5}=8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Schreibe den Exponenten rationale um:
$\qquad$ $ \large a^{\frac{3}{2}}=8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Es gilt nach dem dritten Potenzgesetz:
$\qquad$ $ \large (a^3)^{\frac{1}{2}}=8 \:\:\:\:|\:\:\:\: \frac{3}{2} \equiv 3\cdot \frac{1}{2} $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ oder auch:
$\qquad$ $ \large \sqrt{a^3}=8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Quadriere $(…)^2$:
$\qquad$ $ \large a^3=64 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Ziehe die dritte Wurzel $\sqrt[3]{{…}}$:
$\qquad$ $ \large a=4 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $
Damit lautet die Basis Funktionsgleichung:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=log_4\:x $Graphische Darstellung
$ \large f(x)=log_4\:x $