Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem (kurz LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit gemeinsamen Unbekannten (Variablen) zusammen.
Jede Variable wird mit höchstens dem Exponenten 1 geschrieben.
Ein lineares Gleichungssystem lässt sich lösen, mit mindestens so viele Gleichungen, wie es Unbekannte gibt.
Lineares Gleichungssystem lösen
Um ein lineares Gleichungssystem zu lösen musst du alle Variablen so bestimmen, dass alle Gleichungen des Systems erfüllt werden.
Es gibt fünf verschiedene Verfahren, ein Gleichungssystem zu lösen:
- Das Additionsverfahren: durch Addition bzw. Subtraktion der Gleichungen wird eine der unbekannten $x$ oder $y$ isoliert (aufgehoben), um die Bestimmung der anderen zu ermöglichen.
- Das Einsetzungsverfahren: eine Gleichung wird nach einer Variablen $x$ oder $y$ umgeformt und in die andere Gleichung eingesetzt.
- Das Gleichsetzungsverfahren: die beiden linearen Gleichungen des linearen Gleichungssystems werden nach derselben Variablen $x$ oder $y$ aufgelöst und die entsprechenden Terme gleichgesetzt.
- Das Gaußverfahren oder gaußsche Eliminationsverfahren: wird benutzt um Gleichungen mit viele unterschiedliche Variablen zu lösen.
- Cramersche Regel oder Determinantenmethode: wird für kleines Gleichungssystem benutzt, die eindeutig lösbar sind.
Übungsaufgaben
- Löse mit dem Additionsverfahren:
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 15x\:\: -2y\:\: &=\:\: 44 \\ \:\: 10x\:\: -3y\:\: &=\:\: 16 \end{align*} \end{cases} $Lösung$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 15x\:\: -2y\:\: &=\:\: 44 \:\:(I) \\ \:\: 10x\:\: -3y\:\: &=\:\: 16 \:\:(II) \end{align*} \end{cases} $
$ 3\cdot (I) + (-2)\cdot (II) \:\: \Rightarrow \:\: \begin{cases} &45x-6y=132 \\ -&20x+6y=-32 \\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ 25x+0y=100 \:\:| :25 \\ $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \longrightarrow x=4 $
Setze $x=4$ in $(I)$ ein
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Rightarrow \:\: 15(4)-2y=44 \:\:\:\:\:\:\: |\:(-60) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Rightarrow \qquad\:\:\:\:\: -2y=-16 \:\:\:\: |\:(-2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \longrightarrow y=8 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(4|8)\} $Graphische Darstellung$\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=7,5x-22 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=3,3x-5,33 } $
$ \begin{cases} \begin{align*} -4x\:\: +\:\: &3y \:\:=\:\: 6\\ 3x\:\: -\:\: &6y \:\:=\:\: 3 \end{align*} \end{cases} $Lösung$ \small \begin{cases} \begin{align*} -4x\:\: +\:\: &3y \:\:=\:\: 6 \:\: (I)\\ 3x\:\: -\:\: &6y \:\:=\:\: 3 \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: \small 2\cdot (I) + (II) $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: (I)\: Mal\: 2\: und\: addiere\: mit\: (II). $
$ \small \begin{cases} \begin{align*} -8x\:\: +\:\: &6y \:\:=\:\: 12 \:\: \\ 3x\:\: -\:\: &6y \:\:=\:\: 3 \:\:\\ \hline -5x\:\: +\:\: &\textcolor{red}{0y} \:\:=\:\: 15 \:\:(III) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\:\: \small (III):(-5) $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Teile\: (III)\: durch\: (-5). $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-3 $ $ \:\: \small (IV) $
$ \:\:\:\: \small (IV) \:in\: (II) $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (II)\: ein. $
$ \qquad\qquad \small 3\cdot (-3)-6y=3 $
$ \qquad\qquad\qquad \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Fasse\: zusammen\: und\: löse\: nach\: y\: auf. $
$ \qquad\qquad \small -9-6y=3 \qquad | +9 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (Rechne\:Plus\: 9). $
$ \qquad\qquad \small -6y=12 \qquad\:\:\:\:\:\:| :(-6) \:\:\:\:(Divide\: durch\: (-6)). $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=-2 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(-3|-2)\} $Graphische Darstellung$\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=\frac{4}{3}x+2 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2} } $
- Löse mit dem Einsetzungsverfahren:
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \end{align*} \end{cases} $Lösung$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \:\: (I)\\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (II)\: nach\: x\: um: $
$ 2x+3y=13 \qquad |-3y \:\:\:(Rechne\: Minus\: 3y) $
$ 2x=13-3y \qquad |:2 \:\:\:(Dividiere\: durch\: 2) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=6,5-1,5y $ $ \normalsize \:\:\: (III) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (I)\: ein: $
$ 3\cdot (6,5-1,5y)-4y=-6 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Klammere\: auf\: und\: fasse\: zusammen\: nach\: y: $
$ 3\cdot (6,5-1,5y)-4y=-6 \qquad\qquad\qquad |\:Klammer\: auflösen $
$ 19,5-4,5y-4y=-6 \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |\:Zusammenfassen $
$ 19,5-8,5y=-6 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\: |\: -19,5 $
$ -8,5y=-25,5 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \: :(-8,5) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=3 $ $ \normalsize \:\:\: (IV) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (III)\: ein: $
$ x=6,5-1,5\cdot (3) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=2 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|3)\} $Graphische Darstellung$\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=0,75x+1,5 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-0,\overline{6}x+4,\overline{3} } $
- Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren:
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: &2x\:\: +\: 2,5y = 4 \\ \:\: &2x\:\: +\: 2y \:\:\:\:= 2 \end{align*} \end{cases} $Lösung$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: &2x\:\: +\: 2,5y = 4 \:\:\:\:\: (I)\\ \:\: &2x\:\: +\: 2y \:\:\:\:= 2 \:\:\:\:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (I)\: und\: (II)\: nach\: 2x\: um: $
$ \begin{cases} 2x+2,5y &=4 \qquad |-2,5y \\ 2x+2y &=2 \qquad |-2y \end{cases} $ $ \qquad \Rightarrow \qquad $ $ \begin{cases} 2x=4-2,5y \qquad (I’) \\ 2x=2-2y \qquad\:\:\: (II’) \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I’)\: und\: (II’)\: gleich: $
$ 2x=2x \:\: \leftrightarrow \:\: 4-2,5y=2-2y $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Fasse\: zusammen\: und\: stelle\: nach\: y\: um: $
$ 4-2,5y=2-2y \qquad |\: +2,5y $
$ 4=2+0,5y \qquad\qquad\: |\: -2 $
$ 2=0,5y \qquad\qquad\qquad |\: \cdot2 $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=4 $ $ \normalsize \:\:\: (III) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (I’)\: oder\: (II’)\: ein: $
$ in\: (II’):\: 2x=2-2\cdot (4) $
$ \qquad\qquad\: 2x=-6 \qquad \: | :2 $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-3 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(-3|4)\} $Graphische Darstellung$\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=-0,8x+1,6 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-x+1 } $
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \end{align*} \end{cases} $Lösung$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \:\: (I)\\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \:\:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Form\: (I)\: und\: (II)\: gleich: $
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: -\: 4y\:\: &=\:\: -6 \:\:\:\: |\: +4y \qquad\qquad (Rechne\: Plus\: 4y)\\ \:\: 2x\:\: +\: 3y\:\: &=\:\: 13 \:\:\:\:\: |\: -3y \qquad\qquad (Rechne\: Minus\: 3y) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: nach\: x\: um: $
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 3x\:\: &=\: -6\:\: +\:\: 4y \:\:\:\: |\: \cdot2 \qquad\qquad\:\:\:\: (Rechne\: Mal\: 2)\\ \:\: 2x\:\: &=\: 13\:\: -\:\: 3y \:\:\:\:\: |\: \cdot3 \qquad\qquad\:\:\:\: (Rechne\: Mal\: 3) \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Gleiche\: die\: Variablen\: x\: aus: $
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: 6x\:\: &=\: -12\:\: +\:\: 8y \\ \:\: 6x\:\: &=\: 39\:\: -\:\: 9y \end{align*} \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: die\: rechten\: Seiten\: gleich\: (6x=6x)\: und\: rechne\: nach\: y: $
$ 6x=6x $
$ \:\:\:\ \Leftrightarrow \:\:\:\: -12+8y=39-9y \qquad |\: +12\:/\: +9y\: (Rechne\: Plus\: 12\: und\: 9) $
$ \:\:\:\ \Leftrightarrow \qquad\:\:\:\:\:\: 17y=51 \qquad\qquad\: |\: :17\: (Teile\: durch\: 17) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=3 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: y\: in\: (I)/(II)\: ein\: und\: rechne\: nach\: x: $
$ \:\:\:\: 3x-4\cdot (3)=-6\qquad |\: +12 $
$ \qquad\qquad\:\:\: 3x=6\qquad\:\:\: |\: :3 $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=2 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|3)\} $Graphische Darstellung$\qquad$ $ \large \textcolor{DodgerBlue}{ y_1=0,75x+1,5 } $ $\qquad$ $ \large \textcolor{OliveGreen}{ y_2=-0,\overline{6}x+4,\overline{3} } $
- Löse mit dem Gaußverfahren:
$ \begin{cases} 2x-3y=12 \\ 5x+2y=11 \end{cases} $Lösung$ \large \begin{cases} 2x-3y=12 \\ 5x+2y=11 \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform um: $
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} 2&-3&12\\ 5&2&11 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} l_1\\ l_2 \end{array} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large Teile\: (l_1)\: durch\: 2:\: \textcolor{red}{\frac{l_1}{2}} $
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & -1,5 & 6\\ 5&2&11 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} \textcolor{red}{l’_1}\\ l_2 \end{array} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{5\cdot l’_1-l_2} $
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & -1,5 & 6\\ 0& -9,5 &19 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} \textcolor{red}{l’_1}\\ \textcolor{red}{l’_2} \end{array} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{\frac{l’_2}{-9,5}} $
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & -1,5 & 6\\ 0& \textcolor{red}{1} &-2 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} \textcolor{red}{l’_1}\\ \textcolor{red}{l^{”}_2} \end{array} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{1,5\cdot l^{”}_2+l’_1} $
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c | c} \textcolor{red}{1} & 0 & 3\\ 0& \textcolor{red}{1} &-2 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \LARGE \leftrightarrow $ $ \begin{cases} x=3\\ y=-2 \end{cases} $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(3|-2)\} $
$ \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $Lösung
$ \large \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large Bringe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform: $
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} 5&-2&3&19 \\ 2&2&-4&-6 \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $ $ \large \begin{array}{l} l_1 \\ l_2 \\ l_3 \end{array} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \Large \textcolor{red}{\frac{l_1}{5}} $ $\:\:$$l_1$ wird durch 5 dividiert
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{\frac{-2}{5}} & \textcolor{red}{\frac{3}{5}} & \textcolor{red}{\frac{19}{5}} \\ 2&2&-4&-6 \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_2-2\cdot l_1} $ $\:\:$Von $l_2$ wird subtrahiert 2⋅$l_1$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{14}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-26}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-68}{5}} \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_3 – (-2\cdot l_1)} $ $\:\:$Von $l_3$ wird subtrahiert (-2⋅$l_1$)
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \frac{14}{5} & \frac{-26}{5} & \frac{-68}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-22}{5}} \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_2:\frac{14}{5}} $ $\:\:$$l_2$ wird dividiert durch $\frac{14}{5}$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{\frac{-13}{7}} & \textcolor{red}{\frac{-34}{7}} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{11}{5}} & \textcolor{red}{\frac{-22}{5}} \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_3 – (\frac{11}{5})\cdot l_2} $ $\:\:$Von $l_3$ wird subtrahiert $\frac{14}{5}\cdot l_2$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-13}{7} & \frac{-34}{7} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{44}{7}} & \textcolor{red}{\frac{44}{7}} \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_3:(\frac{44}{7})} $ $\:\:$$l_3$ wird dividiert durch $\frac{44}{7}$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-13}{7} & \frac{-34}{7} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{BurntOrange}{1} \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_2-(-\frac{13}{7})\cdot l_3} $ $\:\:$Von $l_2$ wird subtrahiert $(\frac{-13}{7})\cdot l_3$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \frac{-2}{5} & \frac{3}{5} & \frac{19}{5} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{-3} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{BurntOrange}{1} \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_1-(\frac{3}{5})\cdot l_3} $ $\:\:$Von $l_1$ wird subtrahiert $(\frac{3}{5})\cdot l_3$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{\frac{-2}{5}} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{\frac{16}{5}} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{-3} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{BurntOrange}{1} \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \large \textcolor{red}{l_1-(-\frac{2}{5})\cdot l_2} $ $\:\:$Von $l_1$ wird subtrahiert $(-\frac{2}{5})\cdot l_2$
$ \large \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{black}{2} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{black}{-3} \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{BurntOrange}{1} & \textcolor{black}{1} \end{array} \end{bmatrix} $ $ \:\: \large \Longleftrightarrow \:\: \begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z=2 \\ 0\cdot x + 1\cdot y + 0\cdot z=-3 \\ 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z=1 \end{cases} $ $ \:\: \large \Rightarrow \:\: \begin{cases} x=2 \\ y=-3 \\ z=1 \end{cases} $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|-3|1)\} $
- Löse mit Cramersche Regel oder Determinantenmethode:
$ \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $Lösung
$ \normalsize \begin{cases} 5x-2y+3z &=19 \\ 2x+2y-4z &=-6\\ -2x+3y+z &=-12 \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bringe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform: $
$ \normalsize \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} 5&-2&3&19 \\ 2&2&-4&-6 \\ -2&3&1&-12 \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Determinante\: von\: A\: (det(A))/(Regel\: von\: Sarrus) $
$ \normalsize det(A)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2&3 \\ 2&2&-4 \\ -2&3&1 \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2&3 \\ 2&2&-4 \\ -2&3&1 \end{array} \end{vmatrix} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = 5\cdot2\cdot1+(-2)\cdot(-4)\cdot(-2)+3\cdot2\cdot3-(-2)\cdot2\cdot3-3\cdot(-4)\cdot5-1\cdot2\cdot(-2) $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =88 $
$\:\:$
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: det(A_1),\: det(A_2),\: und\: det(A_3) $
$ \normalsize det(A_1)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{red}{19} &-2&3 \\ \textcolor{red}{-6} &2&-4 \\ \textcolor{red}{-12} &3&1 \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 19&-2&3 \\ -6&2&-4 \\ -12&3&1 \end{array} \end{vmatrix} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =19\cdot2\cdot1+(-2)\cdot(-4)\cdot(-12)+3\cdot(-6)\cdot3-(-12)\cdot2\cdot3-3\cdot(-4)\cdot19-1\cdot(-6)\cdot(-2) $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =176 $
$ \normalsize det(A_2)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5& \textcolor{red}{19} &3 \\ 2& \textcolor{red}{-6} &-4 \\ -2& \textcolor{red}{-12} &1 \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&19&3 \\ 2&-6&-4 \\ -2&-12&1 \end{array} \end{vmatrix} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = 5\cdot(-6)\cdot1+19\cdot(-4)\cdot(-2)+3\cdot2\cdot(-12)-(-2)\cdot(-6)\cdot3-(-12)\cdot(-4)\cdot5-1\cdot2\cdot19 $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =-264 $
$ \normalsize det(A_3)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2& \textcolor{red}{19} \\ 2&2& \textcolor{red}{-6} \\ -2&3& \textcolor{red}{-12} \end{array} \end{vmatrix} $ $ \:\: $ $ \normalsize \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 5&-2&19 \\ 2&2&-6 \\ -2&3&-12 \end{array} \end{vmatrix} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ = 5\cdot2\cdot(-12)+(-2)\cdot(-6)\cdot(-2)+ 19\cdot2\cdot3-(-2)\cdot2\cdot19-3\cdot(-6)\cdot5-(-12)\cdot2\cdot(-2) $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ =88 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Lösung $
$ \qquad \normalsize det(A)=88 $
$ \qquad \normalsize det(A_1)=176 \qquad | \qquad det(A_2)=-264 \qquad | \qquad det(A_3)=88 $
$ \qquad\qquad \Large x=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{176}{88}=2 $
$ \qquad\qquad \Large y=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-264}{88}=-3 $
$ \qquad\qquad \Large z=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac{88}{88}=1 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(2|-3|1)\} $
$ \begin{cases} \begin{align*} \:\: x\:\: +\: 5y\:\: &=\:\: -6 \\ \:\: 2x\:\: +\: 4y\:\: &=\:\: 0 \end{align*} \end{cases} $
Lösung
$
\begin{cases}
\begin{align*}
\:\: x\:\: +\: 5y\:\: &=\:\: -6 \:\: (I)\\
\:\: 2x\:\: +\: 4y\:\: &=\:\: 0 \:\:\: (II)
\end{align*}
\end{cases}
$
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (I)\: nach\: x\: um: $
$ x+5y=-6 \qquad |-5y \:\:\:(Rechne\: Minus\: -5y) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-6-5y $ $ \normalsize \:\:\: (III) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (II)\: ein: $
$ 2\cdot (-6-5y)+4y=0 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Klammere\: auf\: und\: fasse\: zusammen\: nach\: y: $
$ 2\cdot (-6-5y)+4y=0 \qquad\qquad\qquad |\:Klammer\: auflösen $
$ -12-10y+4y=0 \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |\:Zusammenfassen $
$ -12-6y=0 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\: |\: +12 $
$ -6y=12 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \: :(-6) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=-2 $ $ \normalsize \:\:\: (IV) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (III)\: ein: $
$ x=-6-5\cdot (-2) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=4 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(4|-2)\} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: (I)\: nach\: x\: um: $
$ x+5y=-6 \qquad |-5y \:\:\:(Rechne\: Minus\: -5y) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=-6-5y $ $ \normalsize \:\:\: (III) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (III)\: in\: (II)\: ein: $
$ 2\cdot (-6-5y)+4y=0 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Klammere\: auf\: und\: fasse\: zusammen\: nach\: y: $
$ 2\cdot (-6-5y)+4y=0 \qquad\qquad\qquad |\:Klammer\: auflösen $
$ -12-10y+4y=0 \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: |\:Zusammenfassen $
$ -12-6y=0 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\: |\: +12 $
$ -6y=12 \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \: :(-6) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large y=-2 $ $ \normalsize \:\:\: (IV) $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (IV)\: in\: (III)\: ein: $
$ x=-6-5\cdot (-2) $
$ \:\:\:\: $ $ \LARGE \longrightarrow $ $ \large x=4 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{(4|-2)\} $
Graphische Darstellung
$\qquad$
$
\large
\textcolor{DodgerBlue}{
y_1=-0,2x-1,2
}
$
$\qquad$
$
\large
\textcolor{OliveGreen}{
y_2=-0,5x
}
$
$ \begin{cases} 2x+3y+4z &=1,4 \\ 3x-2y-z &=1,2\\ 5x+4y+3z &=1,4 \end{cases} $
Lösung
$ \normalsize \begin{cases} 2x+3y+4z &=1,4 \\ 3x-2y-z &=1,2\\ 5x+4y+3z &=1,4 \end{cases} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bringe\: die\: Gleichungen\: in\: Matrixform: $
$ \normalsize \begin{bmatrix} \begin{array}{c c c | c} 2&3&4&1,4 \\ 3&-2&-1&1,2 \\ 5&4&3&1,4 \end{array} \end{bmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Determinante\: von\: A\: (det(A))\: mit\: dem\: Cofaktor\: Methode $
$ \normalsize det(A)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{DodgerBlue}{2} & \textcolor{OliveGreen}{3} & \textcolor{Orange}{4} \\ 3&-2&-1 \\ 5&4&3 \end{array} \end{vmatrix} $
$ \qquad\:\:\:\: \normalsize = \textcolor{red}{+} \: \textcolor{DodgerBlue}{2} \cdot \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{DodgerBlue}{-2} & \textcolor{DodgerBlue}{-1} \\ \textcolor{DodgerBlue}{4} & \textcolor{DodgerBlue}{3} \end{array} \end{vmatrix} $ $ \: \normalsize \textcolor{red}{—} \: $ $ \normalsize \textcolor{OliveGreen}{3} \cdot \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{OliveGreen}{3}& \textcolor{OliveGreen}{-1} \\ \textcolor{OliveGreen}{5}& \textcolor{OliveGreen}{3} \end{array} \end{vmatrix} $ $ \: \normalsize \textcolor{red}{+} \: $ $ \normalsize \textcolor{Orange}{4} \cdot \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{Orange}{3}& \textcolor{Orange}{-2} \\ \textcolor{Orange}{5}& \textcolor{Orange}{4} \end{array} \end{vmatrix} $
$ \qquad\:\:\:\: \normalsize = \textcolor{red}{+} \: \textcolor{DodgerBlue}{2}\cdot [\textcolor{DodgerBlue}{(-2)}\cdot \textcolor{DodgerBlue}{3} – \textcolor{DodgerBlue}{4}\cdot (\textcolor{DodgerBlue}{-1})] \textcolor{OliveGreen}{-} \textcolor{OliveGreen}{3}\cdot [\textcolor{OliveGreen}{3}\cdot \textcolor{OliveGreen}{3} – \textcolor{OliveGreen}{5}\cdot (\textcolor{OliveGreen}{-1})] \textcolor{Orange}{+} \textcolor{Orange}{4}\cdot [\textcolor{Orange}{3}\cdot \textcolor{Orange}{4} – \textcolor{Orange}{5}\cdot (\textcolor{Orange}{-2})] $
$ \qquad\:\:\:\: \normalsize \textcolor{black}{=} 42 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: det(A_1),\: det(A_2),\: und\: det(A_3) $
$ \normalsize det(A_1)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} \textcolor{red}{1,4} &3&4 \\ \textcolor{red}{1,2} &-2&-1 \\ \textcolor{red}{1,4} &4&3 \end{array} \end{vmatrix} $
$ \qquad \normalsize = \textcolor{red}{+}1,4 \cdot \begin{vmatrix} -2&-1\\ 4&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{-}3 \cdot \begin{vmatrix} 1,2&-1\\ 1,4&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{+}4 \cdot \begin{vmatrix} 1,2&-2\\ 1,4&4 \end{vmatrix} $
$ \qquad \normalsize = 1,4\cdot [(-2)\cdot3 -4\cdot (-1)] – 3\cdot [1,2\cdot3 -1,4\cdot (-1)] + 4\cdot [1,2\cdot4 -1,4\cdot (-2)] $
$ \qquad \normalsize =12,6 $
$ \normalsize det(A_2)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 2&\textcolor{red}{1,4} &4 \\ 3&\textcolor{red}{1,2} &-1 \\ 5&\textcolor{red}{1,4} &3 \end{array} \end{vmatrix} $
$ \qquad \normalsize = \textcolor{red}{+}2 \cdot \begin{vmatrix} 1,2&-1\\ 1,4&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{-}1,4 \cdot \begin{vmatrix} 3&-1\\ 5&3 \end{vmatrix} \textcolor{red}{+}4 \cdot \begin{vmatrix} 3&1,2\\ 5&1,4 \end{vmatrix} $
$ \qquad \normalsize = 2\cdot [1,2\cdot3 -1,4\cdot (-1)] – 1,4\cdot [3\cdot3 -5\cdot (-1)] + 4\cdot [3\cdot1,4 -5\cdot 1,2] $
$ \qquad \normalsize =-16,8 $
$ \normalsize det(A_3)= \begin{vmatrix} \begin{array}{c c c} 2&3&\textcolor{red}{1,4} \\ 3&-2&\textcolor{red}{1,2} \\ 5&4&\textcolor{red}{1,4} \end{array} \end{vmatrix} $
$ \qquad \normalsize = \textcolor{red}{+}2 \cdot \begin{vmatrix} -2&1,2\\ 4&1,4 \end{vmatrix} \textcolor{red}{-}3 \cdot \begin{vmatrix} 3&1,2\\ 5&1,4 \end{vmatrix} \textcolor{red}{+}1,4 \cdot \begin{vmatrix} 3&-2\\ 5&4 \end{vmatrix} $
$ \qquad \normalsize = 2\cdot [(-2)\cdot1,4 -4\cdot 1,2] – 3\cdot [3\cdot1,4 -5\cdot 1,2] + 1,4\cdot [3\cdot4 -5\cdot (-2)] $
$ \qquad \normalsize =21 $
$ \:\:\: $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Lösung $
$ \qquad \normalsize det(A)=42 $
$ \qquad \normalsize det(A_1)=12,6 \qquad | \qquad det(A_2)=-16,8 \qquad | \qquad det(A_3)=21 $
$ \qquad\qquad \large x=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{12,6}{42}=0,3 $
$ \qquad\qquad \large y=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-16,8}{42}=-0,4 $
$ \qquad\qquad \large z=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac{21}{42}=0,5 $
Die Lösungsmenge lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \mathbb{L}=\{\frac{3}{10}|-\frac{2}{5}|\frac{1}{2})\} $