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Skaterbahn - Rekonstruktion von Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichung der Profilkurve, wenn die Übergangspunkte versatz- und
$\qquad \qquad$ knickfrei sein sollen.
$\qquad$ Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades der Form:
$\qquad \qquad $ $\large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad|\qquad \large f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(0)=0 \longrightarrow \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ f'(0)=0 \Longrightarrow \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ f(4)=4 \longrightarrow a\cdot(4)^3+b\cdot(4)^2+c\cdot4=4 \:\:(III)\\ \\ f'(4)=0 \longrightarrow 3a\cdot(4)^2+2b\cdot(4)+c=0 \:\:(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ 64a+16b=4 \:\:&(III)\\ \\ 48a+8b=0 \:\:&(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(III)-2\cdot(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4\\ \\ -96a &-& 16b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-32a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:4\:\:|\: :(-32)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: -\frac{4}{32}=-\frac{1}{8}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=-\frac{1}{8}$ in $(IV)$ ein $\Longrightarrow 48\cdot(-\frac{1}{8})+8b=0\:\:|(+6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 8b=-6\:\:|:8$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=\frac{3}{4}}$
$\qquad$ Die Gleichung der Profilkurve lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Bahn soll nirgends steiler als $60^{\circ}$ sein. Wird diese Auflage erfüllt?
$\qquad\:\:$ Maximale/Minimale Steigung an den Randpunkte $(\large x=4)$ und $(\large x=0)$
$\qquad \qquad$ $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\\ \\ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x\\ \\ f {\prime} {\prime} (x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Um die maximale Steigung zu finden, setze $f{\prime}{\prime}(x)=0$
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ f{\prime}{\prime}(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \longrightarrow $ $ \large x=2 $
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ Setze $ \large x=2 $ in $ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)= \large -\frac{3}{8}(2)^2+\frac{3}{2}(2)= \frac{3}{2}=1{,}5 \longrightarrow $ $ \underline{f{\prime}(2)=1,5} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)=1,5\:\: < \:\: tan(60^{\circ})\approx1,732 \iff 1,5<1,732 $
$\qquad\qquad\qquad$ Also, die Steigung der Kurve überschreitet nirgends den Wert $60^{\circ}$
$\qquad$ $ \Longrightarrow $ Die Bahn ist nirgends steiler als $60^{\circ}$. Die Auflage wird erfüllt.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ist die Funktion $f(x)=\large \frac{1}{4}x^2+x-1$ geeignet, a) und b) zu erfüllen?
$\qquad\:\:$ Analysiere die Steigungen der beiden Funktionen
$\qquad \qquad$ Ableitungen: $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x &(I)\\ \\ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1 &(II) \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Die Steigung sollte den Wert von $tan(60^{\circ})\approx1,732$ nicht überschreiten.
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ \begin{cases} Für\: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2},\:\: \Bigg\downarrow f{\prime}{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: f{\prime}{\prime}(x)=0 \iff \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0 \longrightarrow x=2\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: Die\:Steigung\:f'(2)=1,5<1,732\:(tan(60^{\circ}))\\ \\ \Longrightarrow Die\:Funktion\:(I)\:erfüllt \:die \:Bedingung, \:dass \:die \:Steigung \:nirgends \:steiler \:als \:60^{\circ} \:ist.\\ \\ \\ Für\: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1,\\ \Longrightarrow Die \:Funktion\: (II)\: hat\: eine\: lineare\: Ableitung,\: die\: ohne\: Intervallbeschränkung\: unendlich\\ groß\: werden\: kann\: und\: somit\: die\: Steigungsbedingung\: von \:60^{\circ}\: nicht\: erfüllt. \end{cases} $
$\qquad$ Daher ist die Funktion $ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1 $ nicht geeignet, a) und b) zu erfüllen.
$\qquad$ Skizze:
$\qquad$

Radschikane - Rekonstruktion von Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichung der Profilkurve, wenn die Übergangspunkte versatz- und
$\qquad \qquad$ knickfrei sein sollen.
$\qquad$ Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades der Form:
$\qquad \qquad $ $\large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad|\qquad \large f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(0)=0 \longrightarrow \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ f'(0)=0 \Longrightarrow \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ f(4)=4 \longrightarrow a\cdot(4)^3+b\cdot(4)^2+c\cdot4=4 \:\:(III)\\ \\ f'(4)=0 \longrightarrow 3a\cdot(4)^2+2b\cdot(4)+c=0 \:\:(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ 64a+16b=4 \:\:&(III)\\ \\ 48a+8b=0 \:\:&(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(III)-2\cdot(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4\\ \\ -96a &-& 16b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-32a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:4\:\:|\: :(-32)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: -\frac{4}{32}=-\frac{1}{8}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=-\frac{1}{8}$ in $(IV)$ ein $\Longrightarrow 48\cdot(-\frac{1}{8})+8b=0\:\:|(+6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 8b=-6\:\:|:8$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=\frac{3}{4}}$
$\qquad$ Die Gleichung der Profilkurve lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Bahn soll nirgends steiler als $60^{\circ}$ sein. Wird diese Auflage erfüllt?
$\qquad\:\:$ Maximale/Minimale Steigung an den Randpunkte $(\large x=4)$ und $(\large x=0)$
$\qquad \qquad$ $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\\ \\ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x\\ \\ f {\prime} {\prime} (x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Um die maximale Steigung zu finden, setze $f{\prime}{\prime}(x)=0$
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ f{\prime}{\prime}(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \longrightarrow $ $ \large x=2 $
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ Setze $ \large x=2 $ in $ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)= \large -\frac{3}{8}(2)^2+\frac{3}{2}(2)= \frac{3}{2}=1{,}5 \longrightarrow $ $ \underline{f{\prime}(2)=1,5} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)=1,5\:\: < \:\: tan(60^{\circ})\approx1,732 \iff 1,5<1,732 $
$\qquad\qquad\qquad$ Also, die Steigung der Kurve überschreitet nirgends den Wert $60^{\circ}$
$\qquad$ $ \Longrightarrow $ Die Bahn ist nirgends steiler als $60^{\circ}$. Die Auflage wird erfüllt.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ist die Funktion $f(x)=\large \frac{1}{4}x^2+x-1$ geeignet, a) und b) zu erfüllen?
$\qquad\:\:$ Analysiere die Steigungen der beiden Funktionen
$\qquad \qquad$ Ableitungen: $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x &(I)\\ \\ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1 &(II) \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Die Steigung sollte den Wert von $tan(60^{\circ})\approx1,732$ nicht überschreiten.
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ \begin{cases} Für\: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2},\:\: \Bigg\downarrow f{\prime}{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: f{\prime}{\prime}(x)=0 \iff \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0 \longrightarrow x=2\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: Die\:Steigung\:f'(2)=1,5<1,732\:(tan(60^{\circ}))\\ \\ \Longrightarrow Die\:Funktion\:(I)\:erfüllt \:die \:Bedingung, \:dass \:die \:Steigung \:nirgends \:steiler \:als \:60^{\circ} \:ist.\\ \\ \\ Für\: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1,\\ \Longrightarrow Die \:Funktion\: (II)\: hat\: eine\: lineare\: Ableitung,\: die\: ohne\: Intervallbeschränkung\: unendlich\\ groß\: werden\: kann\: und\: somit\: die\: Steigungsbedingung\: von \:60^{\circ}\: nicht\: erfüllt. \end{cases} $
$\qquad$ Daher ist die Funktion $ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1 $ nicht geeignet, a) und b) zu erfüllen.
$\qquad$ Skizze:
$\qquad$

Talsenke - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Quadratische Funktion des Verlaufs
$\qquad$ Die Parabel hat die Form: $\large f(x)=ax^2+bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-20)=150 \longrightarrow a\cdot(-20)^2+b\cdot(-20)+c=150\:\:(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ f(40)=300 \longrightarrow a\cdot(40)^2+b\cdot(40)=300 \:\:(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 400a – 20b = 150 \:\:&(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ 1600a + 40b = 300 \:\:&(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(I)+(III):2 \Longrightarrow \begin{cases} 400a &-& 20b &=&150\\ \\ 800a &+& 20b &=&150\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $1200a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:300\:\:|\: :1200$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: \frac{300}{1200}=\frac{1}{4}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{4}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 1600\cdot(\frac{1}{4})+40b=300\:\:|(-400)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 40b=-100\:\:|:40$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=-\frac{100}{40}=-\frac{5}{2}}$
$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Bis zu welchem Punkt ist die Senke von oben einsehbar?
$\qquad\:\:$ Bekannten Punkten: $P_3(40|300)$ und $P_4(50|350)$
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Steigung: $ \Delta m= \Large \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{P_4}-y_{P_3}}{x_{P_4}-x_{P_3}}=\frac{350-300}{50-40}=\frac{50}{10} $ $ = 5 \longrightarrow \underline{\large m=5} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die $y$-Achsenabschitt: $ 300=5(40)+n \longrightarrow \underline{\large n=100} $
$\qquad\qquad$ Die Geradengleichung lautet: $\large y=5x+100$
$\qquad\:\:$ Schnittpunkt zwischen die Kurve und die Gerade ($\large f(x)$ und $\large y$) gleichsetzen
$\qquad\qquad$ $ 0,25x^2-2,5x=5x+100 \qquad\:\:\:\:|\:\: (-5x)/(-100) $
$\qquad\qquad$ $ \iff 0,25x^2-7,5x-100=0 \:\:\:\:|\:\: :(0,25) $
$\qquad\qquad$ $ \iff x^2-30x-400=0 $ und mit pq-Formel $ \large \begin{cases} x_1=-10\\ \\ x_2=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ f(-10)=5(-10)+100=50 \longrightarrow P_5(-10|50) $
$\qquad\:\:$ Die Senke ist von oben einsehbar bis zum Punkt $\underline{ \large P_5(-10|50)}$
$\qquad\:\:$ Graph der Funktion $\large f$

Heißluftballons - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme die Funktionsgleichung
$\qquad$ Die Form: $\large h(t)=a^3+bt^2+c$,
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} h(0)=300 \longrightarrow \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ h(50)=200 \Longrightarrow a\cdot50^3+b\cdot50^2+300=200 \\ \\ h(100)=100 \Longrightarrow a\cdot100^3+b\cdot100^2+300=100 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ 125000a+2500b+300=200 &(II)\\ \\ 1000000a+10000b+300=100 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ 1250a+25b+300=200 &(II)\:\:|\:\:(-300)/:100\\ \\ 1000000a+10000b+300=100 &(III)\:\:|\:\:(-300)/:100 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300}\\ \\ 1250a+25b=-1\\ \\ 10000a+100b=-2 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(-4)\cdot(II)-(III) \Longrightarrow \begin{cases} -5000a &-& 100b &=& 4\\ \\ 10000a &+& 100b &=&-2\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $5000a\qquad\qquad\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\:\:2\:\:\:\:|\: :5000$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: \underline{ \large a=\: \frac{2}{5000}=\frac{1}{2500}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{2500}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 10000\cdot(\frac{1}{2500})+100b=-2\:\:|(-4)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 100b=-6\:\:|:100$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{b= \large-\frac{6}{100}}$
$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{2500}t^3-\frac{6}{100}t^2+300 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Prüfe, ob die Schätzwerte mit der Flugkurve vereinbar sind.
$\qquad$ $ \begin{cases} h(20)= \large \frac{1}{2500}\cdot20^3-\frac{6}{100}\cdot20^2+300=279,2 \longrightarrow \underline{h(20)=279,2}\\ \\ h(70)= \large \frac{1}{2500}\cdot70^3-\frac{6}{100}\cdot70^2+300=143,2 \longrightarrow \underline{h(70)=143,2}\\ \\ h(120)= \large \frac{1}{2500}\cdot120^3-\frac{6}{100}\cdot120^2+300=127,2 \longrightarrow \underline{h(120)=127,2} \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die berechneten Werte für die schwarzen Schätzpunkte sind:
$\qquad\qquad\qquad$ – $h(20)=279.2$ (im Vergleich zu $280$)
$\qquad\qquad\qquad$ – $h(70)=143.2$ (im Vergleich zu $120$)
$\qquad\qquad\qquad$ – $h(120)=127.2$ (im Vergleich zu $130$)
$\qquad$ Die berechneten Werte liegen nahe an den angegebenen Schätzwerten,
$\qquad$ insbesondere bei $t=20$ und $t=120$
$\qquad$ Dies zeigt, dass die Schätzwerte mit der Flugkurve weitgehend übereinstimmen,
$\qquad$ mit einer etwas größeren Abweichung bei $t=70$.
$\qquad$ d) Graphen der Funktion $\large h$

Kunstflug - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bahnkurve des Fluges
$\qquad$ $\large f(x)=ax^4+cx^2+e$, da die Funktion 4. Grades und symmetrisch ist.
$\qquad\qquad$ $f'(x)=4ax^3+2cx$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Hochpunkt \:\:H(0/1,2) \longrightarrow \underline{ \large e=1,2} \:\:(I)\\ \\ Tiefpunkt \:\: T(2/0) \Longrightarrow f'(2)=0 \iff 32a+4c=0 &(II)\\ \\ Punkt \:\: P(3/1,65) \Longrightarrow f(3)=1,65 \iff 81a+9c=0,45 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $9\cdot(II)-4\cdot(III) \Longrightarrow \begin{cases} 288a &+& 36c &=& 0\\ \\ -324a &-& 36c &=&-1,8\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $-36a\qquad\qquad\:\:\:\:=\:\:\:-1,8\:\:\:\:|\: :(-36)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: \underline{ \large a=\: \frac{1}{20}=0,05}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=0,05$ in $(II)$ ein $\Longrightarrow 32\cdot(0,05)+4c=0 \longrightarrow \underline{ \large c=-0,4}$
$\qquad$ Die Bahnkurve des Fluges lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=0,05x^4-0,4x^2+1,2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie groß ist die kleinste Flughöhe?
$\qquad$ Die kleinste Flughöhe befinden sich bei bei $\large x=-2$ und $\large x=2$.
$\qquad$ Setze nun diese Werte in das Polynom ein:
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \begin{cases} f(-2)=0,05(-2)^4-0,4(-2)^2+1,2=0,4\\ \\ f(2)=0,05(2)^4-0,4(2)^2+1,2=0,4 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \:\: \longrightarrow \:\: f(-2)=f(2)=0,4=40\:\:Meter $
$\qquad$ Die kleinste Flughöhe ist $\underline{ \large 40\:\:Meter}$ groß.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wo ist die Flugbahn am steilsten?
$\qquad$ Die Stelle entspricht dem Betrag der maximalen Steigung,
$\qquad$ also dem Maximum von $|f'(x)|$
$\qquad\qquad$ Berechne der Wendepunkt von $f$:
$\qquad\qquad \qquad$ $f'(x)=0,2x^3-0,8x \qquad | \qquad f^{”}(x)=0,6x^2-0,8$
$\qquad\qquad \qquad$ $ f^{”}(x)=0 \Longrightarrow 0,6x^2-0,8=0 \longrightarrow \begin{cases} x=-1,15\\ \\ oder\\ \\ x=1,15 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Flugbahn am steilsten bei $\underline{ \large x=\pm1,15}$
$\qquad\qquad \qquad$ Also: $ |f'(1,15)|=0,2(1,15)^3-0,8(1,15)=0,615 $
$\qquad\qquad \qquad$ $ \Longrightarrow tan(\alpha)=0,615 \iff \alpha=tan^{-1}(0,615)=31,59^{\circ} $
$\qquad\qquad$ Der Steigungswinkel ist $\underline{ \large \alpha=31,59^{\circ}}$ groß.
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Zeichne den Graphen von $f$

Bambus - Rekonstruktion von Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung von $\Large h$
$\qquad\qquad$ Allgemeine Funktion & Ableitungen
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} h(t)=at^3+bt^2+ct+d\\ \\ h'(t)=3at^2+2bt+c\\ \\ h^{”}(t)=6at+2b \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} h(0)=0\: &\longrightarrow& \underline{d=0} &(I)\\ \\ h'(0)=0\: &\longrightarrow& \underline{c=0} &(II)\\ \\ h(4)=2 &\Longrightarrow& a(4)^3+b(4)=2 &\longrightarrow& 64a+16b=2 &(III)\\ \\ h'(4)=0.75 &\Longrightarrow& 3a(4)^2+2b(4)=0.75 &\longrightarrow& 48a+8b=0.75 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Löse $(III)-2(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a+16b &=& 2\\ \\ -96a-16b &=& -1.5 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff -32a=0.5 \longrightarrow \underline{ \large a=-\frac{1}{64}} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $\large a$ in $(III)$ ein: $64(\large -\frac{1}{64})+16b=2\:\:\:\:|(+1)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\iff 16b=3\:\:\:\:|(:16)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\longrightarrow \underline{ \large b=\frac{3}{64}}$
$\qquad\qquad$ Die Gleichung von $\large h$ lautet: $ \underline{ \large h(t)= -\frac{1}{64}t^3+\frac{3}{16}t^2=\frac{1}{64}(-t^3+12t^2) } $
$\qquad\qquad$ Skizze

Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wann erreicht die Pflanze ihre maximale Höhe?
$\qquad\qquad$ Die maximale Höhe ist bei $f'(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{64}(t-8)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \begin{cases} -\frac{3}{64}t=0 \longrightarrow \underline{ t=0},\:\: nicht \:\:Realistisch!!!\\ \\ t-8=0 \longrightarrow \underline{ t=8\:\:Wochen} \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $h(8)=-\frac{1}{64}(-3(8)^3+12(8)^2) \longrightarrow \underline{ h(8)=4\:Meter}$
$\qquad$ Die maximale Höhe ist erreicht nach $\large t=8$ Wochen und in $\large 4\:Meter$ Höhe
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal?
$\qquad\qquad$ Für $h^{”}(t)=0$ ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{1}{64}(-6t+24)=0 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large-\frac{6}{64}t(t-4)=0 \Longrightarrow \begin{cases} -\frac{6}{64}t=0 \longrightarrow \underline{ \large t=0}\\ \\ t-4=0 \longrightarrow \underline{ t=4} \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Nach $\large 4$ Wochen ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal
$\qquad\qquad\qquad$ $ h'(4)=\frac{1}{64}(-3(4)^2+24(4))=\longrightarrow \underline{h'(4)=0.75} $, also $0.70$ Meter/Woche
Benzinverbrauch - Rekonstruktion von Funktionen
Benzinverbrauch – Modellierungsprobleme
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme eine quadratische Funktion $\large B(v)=av^2+bv+c$, welche den
$\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ Benzinverbrauch beschreibt
$\qquad\qquad$ * Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} B(10)=a(10)^2+b(10)+c=9.1 &\longrightarrow& 100a+10b+c &=& 9.1 &(I)\\ \\ B(30)=a(30)^2+b(30)+c=7.9 &\longrightarrow& 900a+30b+c &=& 7.9 &(II)\\ \\ B(100)=a(100)^2+b(100)+c=10 &\longrightarrow& 10000+100b+c &=& 10 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Lösung des LGS ergibt: $ \underline { \large a=\frac{1}{1000}}\:\:|\:\: $ $ \underline { \large b=-\frac{1}{10}}\:\:|\:\: $ $ \underline { \large c=10 } $
$\qquad\qquad$ Die quadratische Funktion lautet: $ \underline{ \large B(v)= \frac{1}{1000}v^2-\frac{1}{10}v+10 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Für welche Geschwindigkeit ist der Verbrauch minimal?
$\qquad\qquad$ Der Verbrauch ist minimal wenn $\large B'(v)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large B'(v)=\frac{2}{1000}v-\frac{1}{10}=\frac{1}{500}v-\frac{1}{10} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large \frac{1}{500}v-\frac{1}{10}=0\:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: \underline{ \large v=50\:km/h} $
$\qquad\qquad$ Die Geschwindigkeit ist minimal wenn: $\underline{ \large v=50\:km/h}$ ist.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ab welcher Geschwindigkeit steigt der Verbrauch auf 12,4 Liter an?
$\qquad\qquad$ Setze $\large B(v)=12,5$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{1}{1000}v^2-\frac{1}{10}v+10=12,5 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{v^2-100v + 10000}{1000}$ $ =12,5 $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large v^2-100v+10000=12500 \:\:\:|\:\:\: (-12500) $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large v^2-100v-2500=0, \qquad $ mit p-q-Formel $ \longrightarrow \begin{cases} v_1=120.711\\ \\ v_2=-20,711 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Der Verbrauch steigt auf $\large 12,4\: Liter$ an, wenn die Geschwindigkeit
$\qquad\qquad\qquad$ $ \underline{ \Large v=120.711\: km/h} \:\: $ ist.
Abhänge - Rekonstruktion von Funktionen
Abhänge – Modellierungsprobleme
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichungen von $\large f$ und $\large g$
$\qquad\qquad$ * Gleichung von $\large f$ (kubische Funktion):
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ \\ f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{cases}\:\:\:\:/\:\:\:\: a,\:\:b,\:\:c\:\:und \:\:d\in\mathbb{R} $
$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-4)=2 &\Longrightarrow& a(-4)^3+b(-4)^2+c(-4)+d &=& 2 &(I)\\ \\ f'(-4)=0 &\Longrightarrow& 3a(-4)^2+2b(-4)+c &=& 0 &(II)\\ \\ f(0)=0 &\Longrightarrow& \underline{d=0} &(III)\\ \\ f'(0)=0 &\Longrightarrow& \underline{c=0} &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Löse $(I)+2\cdot(II)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} -64a &+& 16b &=& 2 \:\:&(I)\\ \\ 96a &-& 16b &=& 0\:\:&(II)\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ 32a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:2\:\:\: | :32 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \underline{\Large a=\frac{1}{16}} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ Setzte $\Large a$ in $(I)$ ein $ \Longrightarrow -64\cdot \large (\frac{1}{16}) $ $+16b=2\:\:\:\:|\:\:+4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ \iff 16b=6\:\:\:\:|\:\:(:16) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \longrightarrow \underline { \Large b=\frac{6}{16} } $
$\qquad\qquad\qquad$ Die kubische Funktion $\Large f$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)= \frac{1}{16}x^3+\frac{6}{16}x^2 } $
$\qquad\qquad$ * Gleichung der quadratischen Funktion $\Large g$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} g(x)=ux^2+vx+w\\ \\ g'(x)=2ux+v \end{cases}\:\:\:\:/\:\:\:\: u,\:\:v, und \:\:w\in\mathbb{R} $
$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} g(5)=0 &\Longrightarrow& u(5)^2+v(5)+w &=& 0 &(I)\\ \\ g(9)=2 &\Longrightarrow& u(9)^2+v(9)+w &=& 2 &(II)\\ \\ g'(9)=0 &\Longrightarrow& 2u(9)+v=0 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Löse das LGS mit Addition-, Gleichsetzungsverfahren oder andere Methode.
$\qquad\qquad\qquad$ Die Lösung: $ \:\:\:\: \underline{ \Large u=-\frac{1}{8} } \:\: $ | $ \:\: \underline{ \Large v=\frac{9}{4} } \:\: $ | $ \:\: \underline{ \Large w=-\frac{65}{8} } $
$\qquad\qquad\qquad$ Die quadratische Funktion $\Large g$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large g(x)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{18}{8}x-\frac{65}{8} } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Wie steil ist der Anfang $\Large f$ maximal? Wo ist der Hang $\Large g$ am steilsten?
$\qquad\qquad$ * Wie steil ist der Anfang $\Large f$ maximal?
$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von $\Large f$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f'(x)= \frac{3}{16}x^2+\frac{6}{8}x \qquad | \qquad \large f^{”}(x)= \frac{6}{16}x+\frac{6}{8} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f^{”}(x)=0 \Longrightarrow \frac{6}{16}x+\frac{6}{8}=0 \longrightarrow \underline{x=-2} $
$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist $\large x=-2$
$\qquad\qquad\qquad$ Also, $ \large tan(\alpha)=f'(-2)=\frac{3}{16}(-2)^2+\frac{6}{8}(-2)=-0,75 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large tan(\alpha)=-0,75 \Longrightarrow \alpha=tan^{-1}(-0,75) \longrightarrow \underline{ \alpha\approx-36,87^{\circ}} $
$\qquad\qquad$ Der Anfang $\Large f$ ist maximal ca. $\underline{ \large-36,87^{\circ}}$ steil
$\qquad\qquad$ * Wo ist der Hang $\Large g$ am steilsten?
$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von $\Large g$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g'(x)= -\frac{2}{8}x+\frac{9}{4} \qquad | \qquad \large g^{”}(x)= -\frac{2}{8} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g^{”}(x)=0 \longrightarrow x=-\frac{1}{4} $
$\qquad\qquad$ Die Steigung ist bei $ \large g'(-\frac{1}{4})=2,31 \longrightarrow \underline{x=2,31} $
$\qquad\qquad$ Da $\Large g$ bei $\large 5$ anfängt ist der Hang bei $\underline{ \large x=5+2,31=7,31}$ am steilsten
Rekonstruktion von Funktionen
Rekonstruktion von Funktionen
Bei der Rekonstruktion von Funktionen musst du anhand von gegebenen Informationen eine ganzrationale Funktionsgleichung bestimmen. Dazu stellst du Gleichungen auf, löse sie zur Bestimmung der rekonstruierte Funktion.
Funktionen rekonstruieren Vorgehen
- Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung der gesuchten Funktionsart auf, und bestimme ihre Ableitungen.
$ \normalsize \textcolor{black}{ f(x)=ax^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + … + a_1x^1 + a_0x^0\:\: (x^0=1) } $
$ \normalsize \textcolor{black}{ \:\:\:f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e } $ $\:\:\: \rightarrow\:\:$
$ \normalsize \textcolor{black}{ \:\:\:f(x)=ax^3+bx^2+cx+d } $ $\qquad\:\:\:\:\:\: \rightarrow\:\:$ -
Übersetze die gegebenen Informationen (Nullstelle , Tangente , …) aus der Rekonstruktion in Mathe Gleichungen.
$ \normalsize \textcolor{black}{ f(x)=ax^2+bx+c. } $
$ \qquad \normalsize \textcolor{black}{ \Longrightarrow 2=a(1)^2+b(1)+c } $ - Stelle ein lineares Gleichungssystem (LGS) auf und löse es.
- Bestimme deine rekonstruierte Funktion.
Beispielaufgabe: Rekonstruktion von Funktionen
Lösung
$ \qquad \large \textcolor{black}{ \begin{cases} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f”(x)=6ax+2b \end{cases} } $
$\:\:\:\:$ $ \large (-1|2)\:\: \rightarrow f(-1)=2 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f(-1)=a\cdot(-1)^3+b\cdot(-1)^2+c\cdot(-1)+d=2 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f(-1)=-a+b-c+d=2 $
$\:\:\:\:$ $ \large (-1|2)\:\: \rightarrow f'(-1)=0 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(-1)=3a\cdot (-1)^2+2b\cdot(-1)+c=0 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(-1)=3a-2b+c=0 $
$\:\:\:\:$ $ \large x=1\:\: \rightarrow f”(1)=0 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f”(1)=6a\cdot 1+2b=0 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f”(1)=6a+2b=0 $
$\:\:\:\:$ $ \qquad \large \:\: \rightarrow f'(2)=9 $.
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(2)=3a\cdot 2^2+2b\cdot 2+c=9 $
$\qquad$ $ \large \Leftrightarrow f'(2)=12a+4b+c=9 $
$\qquad$
$\qquad$ $ \large \begin{cases} -a+b-c+d &=2 \:\:\: I\\ 3a-2b+c &=0 \:\:\: II\\ 6a+2b &=0 \:\:\: III\\ 12a+4b+c &=9 \:\:\: IV \end{cases} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large II-IV \Rightarrow\:\: -9a-6b=-9\:\: V $
$ \qquad\qquad \large \textcolor{orange}{3}\cdot III + V \Rightarrow \begin{cases} \textcolor{orange}{18}a + \textcolor{orange}{6}b &= \textcolor{orange}{0} \\ -9a-6b &=-9 \\ \hline 9a &= -9 \qquad |\: :9 \end{cases} $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{DodgerBlue}{a=-1}} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 6(-1)+2b =0 \qquad|\: +6 \\ $
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 2b =6 \qquad\qquad \:\:\:\:\:\:\:\:|\: :2 \\ $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{OliveGreen}{b=3}} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 3(-1)-2(3)+c=0 $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: -3-6+c=0 \qquad|\: +9 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{BurntOrange}{c=9}} $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: -(-1)+3-9+d=2 $
$\qquad$
$ \qquad\qquad \large \Rightarrow\:\: 1+3-9+d=2 \qquad|\: +5 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \Large \longrightarrow \underline{\textcolor{DarkOrchid}{d=7}} $
$\qquad$
$\qquad \qquad$ ➪ $ \Large f(x)=-x^3+3x^2+9x+7 $
Übungsaufgaben
Bestimme jeweils eine Funktion, die folgende Eigenschaften besitzt.
-
Eine Funktion 2. Grades, besitzt einen Schnittpunkt mit der $y$-Achse bei $(0|-3)$ und einen Hochpunkt bei $H(3|2)$
Lösung1. Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen bestimmen
- Eine Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^2+bx+c$, $\qquad a, b \:\:und\:\: c \in \mathbb{R} $ - Die 1. und 2. Ableitungen sind:
$ \qquad f'(x)=2ax+b $
$ \qquad f”(x)=2a $
2. Informationen in Mathe Gleichungen übersetzen
$\:\:\:\:$ I. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse $S_y(0|-3) \rightarrow f(0)=-3$
$ \qquad \Leftrightarrow f(0)=a(0)^2+b(0)+c=-3 $
$ \qquad \longrightarrow {c=-3}\:\:\: \textcolor{red}{(I)} $
$\:\:\:\:$ II. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f(3)=2$
$ \qquad \Leftrightarrow a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=2 $
$ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b+c=2\:\:\: \textcolor{red}{(II)} $
$\:\:\:\:$ III. Der Graph hat ein Hochpunkt beit $H(3|2) \rightarrow f'(3)=0$
$ \qquad \Leftrightarrow 2a\cdot 3+b=0 $
$ \qquad \Leftrightarrow 6a+b=0\:\:\: \textcolor{red}{(III)} $
3. Lineares Gleichungssystem (LGS) auftellen und lösen
$ \qquad \begin{cases} \begin{align*} c &=-3 \:\:\: \textcolor{red}{(I)}\\ 9a + 3b + c &=2 \:\:\:\:\: \textcolor{red}{(II)}\\ 6a + b &=0 \:\:\:\: \textcolor{red}{(III)} \end{align*} \end{cases} $
$\:\:\:$ Setze $I$ in $II$
$ \qquad \Rightarrow 9a+3b-3=2\:\:|\:\:+3 $
$ \qquad \Leftrightarrow 9a+3b-3=5\:\:\: \textcolor{red}{(IV)} $
$ \qquad -3\cdot III+IV \Rightarrow \begin{cases} \begin{align*} (6a+b &=0)\cdot(-3)\\ 9a+3b &=5 \end{align*} \end{cases} $ $ \:\: \Rightarrow \:\: \begin{cases} \begin{align*} -18a-3b &=0\\ 9a+3b &=5\\ \hline -9a &=5 \:\:\: |\: (-9) \end{align*} \end{cases} $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad\:\:\:\:\: \large \longrightarrow a=-\frac{5}{9} $
$\:\:\:$ Setze $a$ in $III$ ein: $\Rightarrow 6(-\frac{5}{9})+b=0 \:\:\:| \: +\frac{30}{9}$
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: \large \longrightarrow b=\frac{30}{9}=\frac{10}{3} $
4. Rekonstruierte Funktion bestimmen
$\:\:\:$ Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $
Graphische Darstellung$ \large f(x)=-\frac{5}{9}x^2+ \frac{10}{3}x-3 $
- Eine Funktion 2. Grades ist eine quadratische Funktion, der Form:
-
Die Funktion ist vom Grad 3, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=-2$, eine einfache Nullstelle bei $x_3=0$ und verläuft durch den Punkt $P(-1|-2).$
LösungAllg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $
Die Nullstellenform lautet:
$ f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) $
Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $ \large \textcolor{DodgerBlue}{x_{1,2}=-2} $ und eine Nullstelle bei $ \large \textcolor{OliveGreen}{x_3=0} $
Übersetze:
$ \qquad \large \longrightarrow f(x)=a\cdot (x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{DodgerBlue}{2})(x-\textcolor{OliveGreen}{0}) $
Die Funktion verläuft durch den Punkt $P(-1|-2)$
$ \qquad \Rightarrow f(-1)=-2\:\: \Leftrightarrow \:\:a\cdot (-1+2)(-1+2)(-1-0)=-2 $
Klammer auf und fasse zusammen:
$ \qquad \Rightarrow\:\: a\cdot 1\cdot (-1)=-2 $
$ \qquad \large \iff \:\: a=2 $
Nun lautet die Funktionsgleichung (Funktionsterm):
$ \qquad f(x)= 2\cdot (x+2)(x+2)(x-0), $
Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form:
$ \qquad f(x)= 2\cdot (x^2+4x+4) $
$ \qquad = 2x^3+8x^2+8x $
Die Funktionsgleichung lautet:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $
Graphische Darstellung$ \:\:\: \large f(x)=2x^3+8x^2+8x $
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
-
Die Funktion ist vom Grad 3, punktsymmetrisch und verläuft durch die Punkte $P(1|-1,5).$ und $Q(3|7,5)$.
LösungAllg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. $
Da die Funktion punktsymmetrisch ist, entfallen alle Potenzen mit gerade Exponenten:
$\qquad \longrightarrow f(x)=ax^3+cx $
Die Punkte $P(1|-1,5)$ und $Q(3|7,5)$ liegen auf f:
Bedeutet:
$\qquad$ – Setze $P(1|-1,5)$ in die Gleichung ein:
$ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 1^3+c\cdot 1=-1,5 $
$ \qquad\qquad \Leftrightarrow a+c=-1,5\:\:\: (I) $
$\qquad$ – Setze $Q(3|7,5)$ in die Gleichung ein:
$ \qquad\qquad \Rightarrow a\cdot 3^3+c\cdot 3=7,5 $
$ \qquad\qquad \Leftrightarrow 27a+3c=7,5\:\:\: | \textcolor{red}{:3} $
$ \qquad\qquad \rightarrow 9a+c=2,5\:\:\: (II) $
Stelle ein Lineares Gleichungssystem auf und löse es:
$ \qquad \qquad \begin{align*} \begin{cases} a+c &=-1,5 \:\:\: (I) \\ 9a+c &=2,5 \:\:\:\:\:\: (II) \end{cases} \end{align*} $
$\qquad \qquad (I)-(II)\:\: \Rightarrow \:\: -8a=-4\:\:\:|\: \textcolor{red}{:(-8)} $
$\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: a=\frac{1}{2} $
$\qquad$ Setze $a$ in $(I)$ ein:
$ \qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\: \Rightarrow\:\: \frac{1}{2}+c=-1,5\:\:\: |\: \textcolor{red}{-0,5} $
$\qquad \qquad \qquad \qquad\:\:\:\:\:\: \large \rightarrow \:\: c=-2 $
Die Funktionsgleichung lautet:
$\qquad\qquad$ ➪ $ \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x. $
Graphische Darstellung$ \qquad \large f(x)=\frac{1}{2}x^3-2x $
Punktsymmetrie: $ \Large \textcolor{DodgerBlue}{f(-x)}= \textcolor{OliveGreen}{-f(x)} $
- Eine Funktion 3. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
-
Die Funktion ist vom Grad 4 und achsensymmetrisch, besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und geht durch den Punkt $P(0|3)$.
LösungAllg. Funktionsgleichung bestimmen. Beispielaufage
- Eine Funktion 4. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
$ \qquad f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e. $
und dir Nullstellenform: $f(x)=a\cdot (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$
Die Funktion besitzt eine doppelte Nullstelle bei $x_{1,2}=1$ und weil achsensymmetrisch,
hat sie ebenfalls eine doppelte Nullstelle bei $x_{3,4}=-1$.
Das heißt, die Nullstellenform ist:
$ \qquad f(x)=a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1) $
Der Punkte $P(0|3)$ liegt auf f:
Bedeutet:
$\qquad$ Setze $P(0|3)$ in die Gleichung ein und löse nach $a$:
$\qquad$ $a\cdot (x-1)(x-1)(x+1)(x+1)=3 $
Klammer auf und fasse zusammen:
$\qquad a\cdot (-1)(-1)\cdot 1 \cdot 1=3 $
Stelle nun den Funktionsterm auf:
$ \Large \downarrow $ Multipliziere die Klammern aus und bringe die Funktion in die allgemeine Form.
$ f(x)=3\cdot (x-1)(x+1)\cdot (x-1)(x+1) $
$ \Large \downarrow $ Benutze die 3. binomische Formel.
$ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^2-1)\cdot (x^2-1) $
$ \qquad \Rightarrow f(x)=3\cdot (x^4-2x^2+1) $
$ \qquad \Leftrightarrow f(x)=3x^4-6x^2+3 $
Die Funktionsgleichung lautet:
$\qquad\qquad$ ➪ $ \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $
Graphische Darstellung$ \qquad \large f(x)=3x^4-6x^2+3. $
- Eine Funktion 4. Grades ist eine Polynomfunktion, der Form:
Weitere Aufgaben
Aufgaben mit nichtrationalen Funktionen
- Bestimme eine Exponentialfunktion der Form $f(x)=a^x+b$, welche durch die Punkte $P(1|4)$ und $Q(-1|\frac{4}{3})$ geht.
Lösung
Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:
$\:\:\:$ Für $P$ $\Rightarrow\:a^1+b=4$
$\:\:\:$ Für $Q$ $\Rightarrow\:a^{-1}+b=\frac{4}{3}$
Löse das Gleichungssystem:
$ \qquad \begin{cases} \begin{align*} a+b &=4 \:\:\:\: (I)\\ a^{-1}+b &=\frac{4}{3} \:\: (II) \end{align*} \end{cases} $
Subtrahiere die Gleichungen:
$\qquad (I)-(II) \: \Rightarrow\: a-a^{-1}=4-\frac{4}{3}$
Fasse zusammen und mache Gleichnahmig:
$\qquad \large \iff a-\frac{1}{a}=\frac{8}{3} \iff \frac{3\cdot a^2}{3a}- \frac{3\cdot 1}{3a}-\frac{8\cdot a}{3a}=0 $
$\qquad \Rightarrow 3a^2-8a-3=0\:\: |\: :3 $
$\qquad \Rightarrow a^2-2,66a-1=0 $
Löse mit pq-Formel oder andere Formeln:
$\qquad$ Mit pq-Formel: $a^2-2,66a-1=0$, mit $p=-2,66$ und $q=-1$.
Die 2 Lösungen sind:
$\qquad$ $ \large a_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} $
Setze $p$ und $q$ ein:
$\qquad$ $ \longrightarrow \begin{cases} a_1=2,99\approx3\\ oder\\ a_2=-0,33 \:\: \textcolor{red}{\longrightarrow (entfällt\: bei\: Exponentialfunktionen)} \end{cases} $
$\qquad$ $ \Rightarrow $ die Lösung ist $ \large \underline {a=3} $
Setze $a=3$ in Gleichung $(I)$ ein:
$\qquad$ $ \Rightarrow 3+b=4\:\:|\: (-3) $
$\qquad$ $ \iff \large \underline{b=1} $
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet dann also:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=3^x+1 $
Graphische Darstellung
$ \large f(x)=3^x+1 $
-
Gesucht ist eine Funktion der Form $f(x)=log_a x$. Die Funktion geht durch den Punkt $P(8|1,5)$.
Ermittle die Funktionsgleichung.
Lösung
Setze $P$ in die Funktion $f$ ein und löse nach a auf:
$\qquad$ $ 1,5=log_a\:8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Nach Logarithmusgesetze:
$\qquad$ $ \large a^{1,5}=8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Schreibe den Exponenten rationale um:
$\qquad$ $ \large a^{\frac{3}{2}}=8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Es gilt nach dem dritten Potenzgesetz:
$\qquad$ $ \large (a^3)^{\frac{1}{2}}=8 \:\:\:\:|\:\:\:\: \frac{3}{2} \equiv 3\cdot \frac{1}{2} $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ oder auch:
$\qquad$ $ \large \sqrt{a^3}=8 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Quadriere $(…)^2$:
$\qquad$ $ \large a^3=64 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $ Ziehe die dritte Wurzel $\sqrt[3]{{…}}$:
$\qquad$ $ \large a=4 $
$\qquad \:\:\:\:\:\:$ $ \Huge \downarrow $
Damit lautet die Basis Funktionsgleichung:
$\qquad$ ➪ $ \large f(x)=log_4\:x $
Graphische Darstellung
$ \large f(x)=log_4\:x $
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