Lösung

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Polynomfunktion 3. Grades ist Punktsymmetrie zum Ursprung (ungerade Fkt.)

$\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^3+bx $


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 3ax^2 &+& b\\ f^{”}(x) &=& 6ax \end{cases} $




















$\qquad\qquad$ Randbedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Kurve beginnt im Ursprung $(0,0)\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. Die Kurve endet bei $x=10,\: y=4\:\: \Longrightarrow\:\: f(10)=4$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. Die Steigung am Anfang ist $tan(45^{\circ})=1\:\: \Longrightarrow\:\: f'(0)=1$

$\qquad\qquad\qquad$ 4. Die Steigung am Ende ist $tan(0^{\circ})=0\:\: \Longrightarrow\:\: f'(10)=0$


$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{d = 0}} &(I)\\ \\ a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) +0 &=& 4\:\: \Longrightarrow\:\:1000a + 100b + 10c = 4 &(II)\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{c = 1}} &(III)\\ \\ 3a(10)^2 + 2b(10) + c &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: 300a + 20b = -1 &(IV) \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze $c=1$ in $(II)$ und rechne $(II)-5\cdot (IV)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (II)-5\cdot (IV)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 1000a &+& 100b &=& -6\\ \\ -1500a &-& 100b &=& 5\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -500a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:-1\:\:|\:\: $ $a=\frac{1}{500}$ $\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=0,002}} $

$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = 0,002$ in $(IV)$ und rechne

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(IV) \:\: \Longrightarrow \:\: 300(0,002)+20b=-1\qquad|\:\:(-0,6)$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \: 20b=-1,6\:\:\:\:\:|\:\:(20)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = – 0,08 }} $


$\qquad\:\:$ Die Polynomfunktion lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=0,002x^3-0,08x^2+x } $

Lösung zu b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Zeige, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsruck erzeugt
$\qquad\qquad\:\:$ Die zweite Ableitung lautet: $f^{”}(x)=6ax+2b$

$\qquad\qquad\qquad$ Am Startpunkt, $x=0\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(0)=6\cdot(0,002)\cdot(0)+2\cdot(-0,08)=-0,16$

$\qquad\qquad\qquad$ Am Endpunkt, $x=10\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(10)=6\cdot(0,002)\cdot(10)+2\cdot(-0,08)=-0,04$

$\qquad\qquad\:\:$ Mit $\large f^{”}(0)\neq f^{”}(10)$, die Funktion erzeugt einen Krümmungsruck

Lösung zu c)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Modellierung mit einer Polynomfunktion fünften Grades:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $


$\qquad\qquad$ Ableitungen:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 5ax^4 &+& 4bx^3 &+& 3cx^2 &+& 2dx &+& e\\ f^{”}(x) &=& 20ax^3 &+& 12bx^2 &+& 6cx &+& 2d \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Randbedingungen:

$\qquad\qquad\qquad$ 1. Startpunkt liegt im Ursprung $ \:\:\Longrightarrow\:\: f(0)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 2. Endpunkt bei $x=10,\: y=4 \:\:\Longrightarrow\:\: f(10)=4$

$\qquad\qquad\qquad$ 3. Anfangssteigung ist $tan(45^{\circ})=1 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(0)=1$

$\qquad\qquad\qquad$ 4. Endsteigung ist $tan(0^{\circ})=0 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(10)=0$

$\qquad\qquad\qquad$ 5. Krümmungskontinuität soll sichergestellt werden $\:\:\Longrightarrow\:\:f^{”}(0)=f^{”}(10)$

$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:


$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^5+b(0)^4+c(0)^3+d(0)^2+e(0)+f &=& 0\\ \\ a(10)^5+b(10)^4+c(10)^3+d(10)^2+e(10)+0 &=&4\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\\ \\ 5a(0)^4 + 4b(0)^3 + 3c(0)^2+ 2d(0) + e &=& 1\\ \\ 5a(10)^4+4b(10)^3+3c(10)^2+2d(10)+1 &=& 0\\ \\ 20a(10)^3+12b(10)^2+6c(10)+2d &=& 2d \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f = 0\\ \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e = 4 &(I)\\ \\ e = 1 &(II)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Setze $e=1$ in $(I)$ und löse die Gleichungen $(I)$, $(III)$ und $(IV)$

$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d+10(1) = 4\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 \end{cases} $

$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d = -6 &(I)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d = -1 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $


$\qquad\qquad$ Die Gleichungslösung liefert die Parameter der Funktion in Abhängigkeit von d:

$\qquad\qquad\qquad$ $ a= \Large -\frac{3}{50000} $, $ \:\: b= \Large \frac{d}{100}+\frac{1}{500} $, $ \:\: c= \Large -\frac{d}{5}-\frac{1}{50} $


$\qquad\qquad$ Setze $a,\: b\:$ und $c$ in $(I)$, $(III)$ und $(IV)$ und löse weiter nach $d$
$\qquad\qquad\qquad$ Du bekommst $d=-0,3$

$\qquad\qquad$ Also, zusammen hast du:

$\qquad\qquad\qquad$ $ a=-0,0003,\:\: b=0,009,\:\: c=-0,03,\:\: d=-0,3 $


$\qquad\qquad$ Und die Funktionsgleichung 5. Grades lautet:

$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f(x)=-0,0003x^5+0,009x^4-0,03x^3-0,3x^2+1 $