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Winkel und Abstände II
II- Abstände – Lotfußpunktverfahren
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden $g$ ist gleich dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{PF}$, wobei $F$ der Fußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$ ist.
Berechnung
Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:
- Aufstellen der Gleichung einer Hilfsebene $E,$ die durch $P$ geht und zu $g$ orthogonal ist,
- Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $E$ und $g,$
- Berechnung des Betrages von $\overrightarrow{PF}.$
Beispielaufgaben
Berechne jeweils den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g.$
-
$
P\begin{pmatrix}-2\\2\\1
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\3\\-1
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
0\\2\\1
\end{pmatrix}
$
Lösung$ P\begin{pmatrix}-2\\2\\1 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\-1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize F\: liegt\: auf\: der\: Geraden\: g,\: vektoriell\: ausgedrückt: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{OF}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 1 &+ &0 \cdot r\\ 3 &+ &2 \cdot r\\ -1 &+ &1 \cdot r \end{pmatrix} $
$ \qquad $ und den Vektor von $F$ nach $P:$
$ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{FP}=P-F$ $=$ $ \begin{pmatrix} -2 &- &(1+0\cdot r)\\ 2 &- &(3+2\cdot r)\\ 1 &- &((-1)+1\cdot r) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: Richtungsvektor\: von\: g\: orthogonal\: zum\: Vektor\: \overrightarrow{FP}: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow g \perp \overrightarrow{FP} \: \iff \: \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skakarprodukt $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ 0\cdot (-3)+2\cdot (-1-2r)+1\cdot(2-r)=0 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ -5r=0\:\: \longrightarrow\:\: r=0\:\: (Geradenparameter) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{OF}\: ein $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} 1 &+ &0\cdot 0\\ 3 &+ &2\cdot 0\\ -1 &+ &1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \:\: (Lotfußpunkt\: F) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{FP}\: ein $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3\\ -1-2\cdot 0\\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \:\: (Vektor\: FP) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: von\: g\: zu\: P $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ d(g,P)=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2}\approx3,74165 $
Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large |\overrightarrow{PF}|\approx3,42\: LE $ -
$
P\begin{pmatrix}
3\\5\\2
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
-2\\-3\\4
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
1\\-1\\3
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$|\overrightarrow{PF}|\approx9,30\: LE$ -
$
P\begin{pmatrix}
3\\2\\-1
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
2\\4\\2
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$|\overrightarrow{PF}|\approx4,45\: LE$
$\:\:\:$Unter dem Abstand $d$ eines Punktes P von einer Ebene $E$ versteht man die Länge des Lotes
$\:\:\:$von $P$ auf die Ebene, also die Länge der Strecke von $P$ bis zum Fußpunkt $F$ des Lotes.
Berechnung
Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:
- Aufstellen der zu $E$ orthogonalen Lotgerade $g$ durch $P,$
- Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $g$ und $E,$
- Berechnung des Betrags des Vektor $\overrightarrow{PF}.$
Tipp
Beispielaufgaben
-
Bestimme den Abstand des Punktes $P\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ von der Ebene $E:3x-2y+2z=3.$
Lösung
$ P \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: 3x-2y+2z=3 $ $ \longrightarrow n_E \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $
$ \qquad $ $ 3(2+3t)-2(4-2t)+2(1+2t)=3 $
$ \qquad $ $ \iff 6+9t-8+4t+2+4t=3 $
$ \qquad $ $ \iff 17t=3 \longrightarrow t=\frac{3}{17} \approx0,1765 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$ \vec{f} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + 0,1765\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0,1765 \cdot 3\\ 4+0,1765 \cdot (-2)\\ 1+0,1765 \cdot 2 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 2,529\\ 3,647\\ 1,352 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF}$
$ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 2,529-2\\ 3,647-4\\ 1,353-1 \end{pmatrix} \longrightarrow \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0.529\\ -1,647\\ 0,353 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand $
$ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(2,529-2)^2+(3,647-4)^2+(1,353-1)^2}=0,7273 $
Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d \approx0.73 \: LE $ -
Gesucht ist der Abstand des Punktes
$P
\begin{pmatrix}
5\\8\\9
\end{pmatrix}
$
von der Ebene
$E:
\begin{bmatrix}
\vec{x}-
\begin{pmatrix}
2\\0\\2
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\3\\4
\end{pmatrix}
=0.
$
Lösung
$P \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} $ $\:$ und $\:$ $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} =0 $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Wandle\: die\: Normalenform\: von\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2x+3y+4z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 4=12 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow E:2x+3y+4z=12 \:\:\:\: und \:\:\:\: n_E=\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$\qquad$ $ h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $
$\qquad\qquad$ $ 2(5+2t)+3(8+3t)+4(9+4t)=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 10+4t+24+9t+36+16t=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 29t+70=12 \qquad |\: -70 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 29t=-58 \qquad\:\:\:\:\:\:\: |\: :29 \:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: t=-2 $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$\qquad$ $ \vec{f}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4\\8-6\\9-8 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\: \overrightarrow{PF} $
$\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 1-5\\2-8\\1-9 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ $\longrightarrow$ $\:\:\:\:$ $ \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -4\\-6\\-8 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-8)^2}=10,770 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d \approx10.77 \: LE $ -
Berechne den Abstand des Punktes $P(10|-1|-4)$ von der Ebene
$E:2x-8y+16z=45$
$\:\:$$F(10,5|-3|0)$ $d=|\overrightarrow{PF}|=4,5\: LE$ -
Gegeben ist die Ebene $E$ durch die Punkte $A(2|4|3),$ $B(-1|5|3)$ und $C(3|2|3).$ Berechne den Abstand des Punktes $P(6|8|7).$
Lösung$A(2|4|3),$ $\:\:B(-1|5|3)\:\:$ und $\:\:C(3|2|3)$ $\:\:\:\:|\:\:\:\:$ $P(6|8|7)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform $
$ \qquad $ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Koordinatenform\: von\: E $
$ \qquad $ Richtungsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Normalenvektor:
$ \qquad $ Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$ \qquad $ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 &- &0\cdot (-2)\\ 0\cdot 1 &- &0\cdot (-3)\\ (-3)\cdot (-2) &- &1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Die Normalenform lautet: $ E: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad $ Wandle in Koordinatenform um: Multipliziere aus
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0x+0y+5z $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =15 $
$ \qquad $ Die Koordinatenform lautet: $0x+0y+5z=15$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$ \qquad $ $ h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene\: E $
$ \qquad \qquad $ $ 5(7+5t)=15 \qquad\:\:\:\:| :5 $
$ \qquad \qquad $ $ \iff 7+5t=3 \qquad | -7 $
$ \qquad \qquad $ $ \iff 5t=-4 \:\:\longrightarrow\:\: t=-\frac{4}{5} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$\qquad$ $ \vec{f} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + (-\frac{4}{5}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+0\\8+0\\7+(-\frac{4}{5}\cdot 5) \end{pmatrix} $ $\longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 6\\8\\3 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF} $
$\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}-\vec{P} = \begin{pmatrix} 6-6\\8-8\\3-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} \: \longrightarrow \: \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=4 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d=4\: LE $
Winkel und Abstände I
I- Winkel
- Winkel zwischen zwei Geraden $g_1$ und $g_2$
- Winkel zwischen eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$
- Winkel zwischen zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$
Schneiden sich zwei Geraden $g:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{u}$ und $h:\vec{x}=\vec{q+s\cdot\vec{v}}$, dann gilt für ihren Schnittwinkel $\alpha$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} $.
Dabei ist der Schnittwinkel immer der kleinere der beiden Scheitelwinkel, die entstehen, wenn zwei Geraden sich schneiden.
Skizze
Beispielaufgaben
Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden
$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} . $
Lösung
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
0\\1\\3
\end{pmatrix}
+r\cdot
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
h:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2
\end{pmatrix}
+s\cdot
\begin{pmatrix}
3\\2\\-5
\end{pmatrix}
$
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.
Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} $
Verwandle in Gleichungssystem:
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 0+1\cdot r &=\:\:1+3\cdot s \\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:2+(-5)\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} r &=\:\:1+3\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 3-1\cdot r &=\:\:2-5\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I)\: in\: (II)\: oder\: (III)\: ein $
$ \qquad $ $In\: (II)$ $\Longrightarrow$ $1+2(1+3s)=3+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longleftrightarrow$ $3+6s=3+2s$ $\qquad | -3/+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $s=0$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longrightarrow$ $r=1+3(0)$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $r=1$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=0\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $
$ \qquad $ $In\: g:$
$ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \\ \end{pmatrix} +(1)\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 0+1\\1+2\\3-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittpunkt:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittwinkel:
Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:
$ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ 1\cdot 3+2\cdot 2-1\cdot (-5) $ $ \Large = $ $12$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} $ $ \Large = $ $2,449$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{3^2+2^2+(-5)^2} $ $ \Large = $ $6,164$
$ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:
$ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{12}{2,449\: \cdot \:6,164}) $ $ \Large = $ $37,371^{\circ}$
Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=37,371^{\circ} $
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.
Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} $
Verwandle in Gleichungssystem:
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 0+1\cdot r &=\:\:1+3\cdot s \\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:2+(-5)\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} r &=\:\:1+3\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 3-1\cdot r &=\:\:2-5\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I)\: in\: (II)\: oder\: (III)\: ein $
$ \qquad $ $In\: (II)$ $\Longrightarrow$ $1+2(1+3s)=3+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longleftrightarrow$ $3+6s=3+2s$ $\qquad | -3/+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $s=0$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longrightarrow$ $r=1+3(0)$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $r=1$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=0\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $
$ \qquad $ $In\: g:$
$ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \\ \end{pmatrix} +(1)\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 0+1\\1+2\\3-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittpunkt:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittwinkel:
Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:
$ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ 1\cdot 3+2\cdot 2-1\cdot (-5) $ $ \Large = $ $12$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} $ $ \Large = $ $2,449$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{3^2+2^2+(-5)^2} $ $ \Large = $ $6,164$
$ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:
$ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{12}{2,449\: \cdot \:6,164}) $ $ \Large = $ $37,371^{\circ}$
Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=37,371^{\circ} $
$\:\:$Schneiden sich eine Gerade $g:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{u}$ und eine Ebene $E:\vec{n}\cdot[\vec{x}-\vec{a}]$, dann gilt für
$\:\:$ihren Schnittwinkel $\alpha$ zwischen dem Richtungsvektor der Gerade und dem Normalenvektor $\:\:$der Ebene:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|} $.
$\:\:$Ist $\vec{s}$ ein Richtungsvektor der Schnittgeraden zwischen der Ebene E und der zu E
$\:\:$senkrechten Ebene F, in der $g$ liegt, dann gilt für den Winkel $\beta$ zwischen $\vec{r}$ und $\vec{s}:$ $\:\:\beta=90{^\circ}-\alpha.$ Es gilt also
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ sin\: \beta = \large \frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|} $.
Beispielaufgabe
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E.$
$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\6\\-5 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $
Lösung
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
3\\6\\-5
\end{pmatrix}
+t\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\4\\3
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E:
\begin{bmatrix}\vec{x}-
\begin{pmatrix}
2\\9\\3
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\-2\\3
\end{pmatrix}
$
Bestimme die Koordinatenform von $E$:
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: E\: aus $
$ \:\:\: $ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Skalarprodukt\: berechnen $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ 2x-2y+3z $ $\qquad | \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = 2\cdot2+9\cdot (-2)+3\cdot 3=-5 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: beiden\:Ergebnisse\: in\: die\: ausmultiplizierte\: Normalenform\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \longrightarrow $ die Koordinatenform: $E:2x-2y+3z=-5$
$ \qquad\:\:\:\:\:\: $ und den Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor\: (E)\: und\: Richtungsvektor\: (g) $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = -1\cdot 2+4\cdot (-2)+3\cdot 3=-1 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\:(E)\: und\: (g) $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{(-1)^2+4^2+3^2}=5,09 $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}=4,12 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $
$ \:\:\:\:\: $ $ \alpha=sin^{-1} \frac{|-1|}{5,09\: \cdot \:4,12}=2,73^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=2,73^{\circ} $
Bestimme die Koordinatenform von $E$:
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: E\: aus $
$ \:\:\: $ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Skalarprodukt\: berechnen $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ 2x-2y+3z $ $\qquad | \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = 2\cdot2+9\cdot (-2)+3\cdot 3=-5 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: beiden\:Ergebnisse\: in\: die\: ausmultiplizierte\: Normalenform\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \longrightarrow $ die Koordinatenform: $E:2x-2y+3z=-5$
$ \qquad\:\:\:\:\:\: $ und den Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor\: (E)\: und\: Richtungsvektor\: (g) $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = -1\cdot 2+4\cdot (-2)+3\cdot 3=-1 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\:(E)\: und\: (g) $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{(-1)^2+4^2+3^2}=5,09 $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}=4,12 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $
$ \:\:\:\:\: $ $ \alpha=sin^{-1} \frac{|-1|}{5,09\: \cdot \:4,12}=2,73^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=2,73^{\circ} $
$\:\:\:$Schneiden sich zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$, mit den Normalenvektor $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$,
$\:\:$dan gilt für den Schnittwinkel $\alpha$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} $.
Beispielaufgabe
Berechne den Schnittwinkel zwischen $E_1$ und $E_2$.
$\qquad$ $E_1: 3x+2y-z=1 \:\:\:\:$ und $\:\:\:\: E_2: -2x+2y+5=-1$
Lösung
$\qquad$ $E_1: 3x+2y-z=1 \:\:\:\:$ und $\:\:\:\: E_2: -2x+2y+5=-1$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: Normalenvektoren\: von\: E_1\: und\: E_2 $
$ \qquad $ $ \vec{n_1}= \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ und $\:\:\:\:$ $ \vec{n_2}= \begin{pmatrix} -2\\2\\5 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skalarprodukt\: der\: \:beiden\: Normalenvektoren $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\2\\5 \end{pmatrix} =3\cdot (-2)+2\cdot 2+ (-1)\cdot 5=-7 $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\: \vec{n_1} \: und\: \vec{n_2} $
$ \qquad $ Betrag von $\vec{n_1}$ ist gleich: $|\vec{n_1}|=\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}=3,741$
$ \qquad $ Betrag von $\vec{n_2}$ ist gleich: $|\vec{n_2}|=\sqrt{(-2)^2+2^2+5^2}=5,744$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel\: \alpha $
$ \qquad $ $ \alpha=cos^{-1}\frac{|-7|}{3.741\: \cdot \: 5,744}=70,988^{\circ} $
$ \qquad $ Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha\approx 70,99^{\circ} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: Normalenvektoren\: von\: E_1\: und\: E_2 $
$ \qquad $ $ \vec{n_1}= \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ und $\:\:\:\:$ $ \vec{n_2}= \begin{pmatrix} -2\\2\\5 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skalarprodukt\: der\: \:beiden\: Normalenvektoren $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\2\\5 \end{pmatrix} =3\cdot (-2)+2\cdot 2+ (-1)\cdot 5=-7 $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\: \vec{n_1} \: und\: \vec{n_2} $
$ \qquad $ Betrag von $\vec{n_1}$ ist gleich: $|\vec{n_1}|=\sqrt{3^2+2^2+(-1)^2}=3,741$
$ \qquad $ Betrag von $\vec{n_2}$ ist gleich: $|\vec{n_2}|=\sqrt{(-2)^2+2^2+5^2}=5,744$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel\: \alpha $
$ \qquad $ $ \alpha=cos^{-1}\frac{|-7|}{3.741\: \cdot \: 5,744}=70,988^{\circ} $
$ \qquad $ Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha\approx 70,99^{\circ} $
Übungsaufgaben – Winkel
Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden
-
$g: \vec{x}=
\begin{pmatrix}
4\\3\\1
\end{pmatrix}+
r\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
$\:\:\:$
und
$\:\:\:$
$h: \vec{x}=
\begin{pmatrix}
-3\\-4\\-1
\end{pmatrix}+
s\cdot
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}
$
Lösung$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 4\\3\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} $
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.
Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 4\\3\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} $
Verwandle in Gleichungssystem:
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 4+(-1)\cdot r &=\:\:(-3)+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:(-4)+2\cdot s \\ 1+1\cdot r &=\:\:(-1)+1\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} 4-r &=\:\:-3+2\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 3-r &=\:\:-4+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 1+r &=\:\:-1+1\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Addiere\: (II)\: und\: (III) $
$ \qquad $ $\Longrightarrow$ $4=-5+3s$ $\qquad | +5/(:3)$
$ \qquad\qquad $ $\longrightarrow$ $s=3$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $
$ \qquad $ $\Longrightarrow$ $4-r=-3+2\cdot3$
$ \qquad $ $\Longrightarrow$ $4-r=3$ $\qquad | -4/:(-1)$
$ \qquad\qquad $ $\longrightarrow$ $r=1$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=3\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $
$ \qquad $ $In\: h:$
$ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} -3\\-4\\-1 \\ \end{pmatrix} +(3)\cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} -3+6\\-4+6\\-1+3 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 3\\2\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittpunkt:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 3\\2\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittwinkel:
Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:
$ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ -1\cdot 2+(-1)\cdot 2+1\cdot 1 $ $ \Large = $ $-3$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+1^2} $ $ \Large = $ $1,732$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 2\\2\\1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{2^2+2^2+1^2} $ $ \Large = $ $3$
$ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:
$ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{-3}{1,732\: \cdot \:3}) $ $ \Large = $ $125,264^{\circ}$
Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=125,264^{\circ} $ -
$g: \vec{x}=
\begin{pmatrix}
3\\2\\0
\end{pmatrix}+
r\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\2\\4
\end{pmatrix}
$
$\:\:\:$
und
$\:\:\:$
$h: \vec{x}=
\begin{pmatrix}
2\\1\\0
\end{pmatrix}+
s\cdot
\begin{pmatrix}
-2\\1\\4
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$s\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix};$ $\alpha=17,753^{\circ}$ -
$g: \vec{x}=
\begin{pmatrix}
-1\\-2\\6
\end{pmatrix}+
r\cdot
\begin{pmatrix}
2\\2\\-1
\end{pmatrix}
$
$\:\:\:$
und
$\:\:\:$
$h: \vec{x}=
\begin{pmatrix}
1\\3\\11
\end{pmatrix}+
s\cdot
\begin{pmatrix}
0\\1\\2
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$s\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix};$ $\alpha=90^{\circ}$
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$.
-
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}
+r\cdot
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\1\\5
\end{pmatrix}
+s\cdot
\begin{pmatrix}
2\\0\\1
\end{pmatrix}
+t\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\-1\\3
\end{pmatrix}
$
Lösung$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Gleiche\: die\: Vektoren:\: Einsatz\: (g=E) $
$ \begin{pmatrix} 2\\2\\1 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: als\: Lineares\: Gleichungssystem\: (LGS) $
$ \qquad $ $ \begin{cases} 2+r &=1+2s-t\\ 2-r &=1+0s-t\\ 1+r &=5+s+3t \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bringe\: Zahlen\: nach\: rechts\: und\: Variablen\: nach\: links $
$ \qquad $ $ \begin{cases} r-2s+t &=-1 \qquad (I)\\ -r+t &=-1 \qquad (II)\\ r-s-3t &=4 \qquad\:\:\: (III) \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: (II)\: nach\: r $
$ \qquad $ $ \begin{cases} r-2s+t &=-1\\ r &=1+t\\ r-s-3t &=4 \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: (I)\: und\: (III) $
$ \qquad $ $ \begin{cases} 1+t-2s+t &=-1\\ 1+t-s-3t &=4 \end{cases} $ $\:\:$ $\Longrightarrow$ $\:\:$ $ \begin{cases} 2t-2s &=-2\\ -2t-s &=3 \end{cases} $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Addiere\: (I)\: und\: (III) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ -3s=1 \qquad | :(-3) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ $ s=-\frac{1}{3} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: s\: in\: (I)\: und\: (III) $
$ \qquad $ $ \begin{cases} r-2\cdot (-\frac{1}{3})+t &=-1\\ r-1\cdot (-\frac{1}{3})-3t &=4 \end{cases} $ $\:\:$ $\underrightarrow{Fasse\: zusammen}$ $\:\:$ $ \begin{cases} r+t &=-\frac{5}{3}\\ r-3t &=\frac{11}{3} \end{cases} $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Subtrahiere $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ 4t=-\frac{16}{3} \qquad | :(-\frac{16}{3}) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad $ $ \longrightarrow $ $ t=-\frac{4}{3} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: t\: in\: r=1+t\: ein $
$ \qquad\:\: $ $ r=1-\frac{4}{3} $ $ \longrightarrow $ $ r=-\frac{1}{3} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: Werte\: in\: Ebene\: ein $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} +(-\frac{1}{3})\cdot \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} +(-\frac{4}{3})\cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}\\ 1+0+\frac{4}{3}\\ 5-\frac{1}{3}-4 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{7}{3}\\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Schnittpunkt:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} \frac{5}{3}\\ \frac{7}{3}\\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Schnittwinkel:
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform $
$ \qquad\qquad $ – Bestimme die Normalenform von $E:$
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: das\: Kreuzprodukt\: der\: Richtungsvektoren $
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\0\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\-1\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 0\cdot 3-1\cdot (-1)\\ 1\cdot (-1)-2\cdot 3\\ 2\cdot (-1)-0\cdot (-1) \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} $
$ \qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ Normalengleichung: $ E:\begin{bmatrix} x- \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad\qquad $ – Bestimme die Koordinatenform von $E:$
$ \qquad\qquad\qquad $ $ E:\begin{bmatrix} x- \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} = x-7y-2z $
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \begin{pmatrix} 1\\1\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} = 1\cdot1+1\cdot (-7)+5\cdot (-2)=-16 $
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: die\: beiden\: Ergebnisse\: in\: die\: Normaleform\: ein $
$ \qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ Koordinatenform: $E:x-7y-2z=-16$
$ \qquad\qquad\qquad $ $\longrightarrow$ Normalenvektor: $ \vec{n}= \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor(E)\: und\: Richtungsvektor(g) $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} = 1\cdot 1+(-1)\cdot (-7)+1\cdot (-2)=6 $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Betrag\: von\: (E)\: und\: (g) $
$ \qquad\qquad $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=1,732 $
$ \qquad\qquad $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 1\\-7\\-2 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{1^2+(-7)^2+(-2)^2}=7,348 $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $
$ \qquad $ $\longrightarrow$ $ \large \alpha=sin^{-1}=\frac{6}{1,732\: \cdot \: 7,348}=28,128^{\circ} $
$ \qquad $ Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha\approx28,13^{\circ} $ -
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\-3\\4
\end{pmatrix}
+r\cdot
\begin{pmatrix}
6\\2\\4
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E:
\begin{bmatrix}
\vec{x}
–
\begin{pmatrix}
1\\0\\-5
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
+s\cdot
\begin{pmatrix}
3\\5\\-1
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$\alpha\approx32,83^{\circ}$ -
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\8\\8
\end{pmatrix}
+r\cdot
\begin{pmatrix}
3\\4\\3
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E:2x-4y+3z=5
$
$\:\:$$\alpha\approx1,83^{\circ}$
Berechne den Schnittwinkel zwischen den Ebenen $E_1$ und $E_2$.
-
$
E_1:
\begin{bmatrix}
\vec{x}
–
\begin{pmatrix}
4\\-3\\5
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\-4\\1
\end{pmatrix}
=0
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E_2:-6x+4y-3z=4
$
Lösung$ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} =0 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E_2:-6x+4y-3z=4 $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Für\: Normalenvektor\: von\: E_1\: Schreibe\: in\: der\: Koordinatenform $
$ \qquad $ $ E_1: \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} = 2x-4y+z $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 4\\-3\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} = 4\cdot2+ (-3)\cdot(-4)+5\cdot 1=25 $
$ \qquad $ Die Koordinatenform lautet: $E_1: 2x-4y+z=25$
$ \qquad $ Den Normalenvektor von $E_1$ lautet: $n_1 = \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Den Normalenvektor von $E_2$ lautet: $n_2 = \begin{pmatrix} -6\\4\\-3 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Schnittwinkel
$ \qquad\qquad\qquad $ $ \alpha=cos^{-1} \frac { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6\\4\\-3 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\-4\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -6\\4\\-3 \end{pmatrix} \end{vmatrix} }= 29,987^{\circ} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha\approx29,99^{\circ} $ -
$
E_1:6x-2y-3z=7
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E_2:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
2\\0\\-4
\end{pmatrix}
+
\lambda
\cdot
\begin{pmatrix}
3\\-4\\2
\end{pmatrix}
+
\mu
\cdot
\begin{pmatrix}
4\\-1\\5
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$n_2$ $=$ $ \begin{pmatrix} 18\\-7\\13 \end{pmatrix}, $ $\:$ $\alpha\approx35,3^{\circ}$ -
$
E_1:2x+y+2z=-8
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E_2:6x+3y+2z=-12
$
$\:\:$$\alpha\approx25,20^{\circ}$
Skalarprodukt
Die Multiplikation zweier Vektoren ist ein Skalarprodukt, das heisst, das Ergebnis ist ein Skalar oder eine reelle Zahl.
Das Ergebnis für Kreuzprodukt ist ein Vektor.
Das Skalarprodukt der Vektoren u⃗ und v⃗ schreibt man u⃗ • v⃗ oder u⃗ o v⃗.
Wichtig: Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann man nur bilden, wenn beide gleich viele Komponenten haben.
Definition
Das Skalarprodukt zweier Vektoren u⃗ und v⃗ ist definiert als
- ihre komponentenweise Multiplikation und
- die anschließende Ergänzung oder Addition.
Bedeutung:
In der Ebene
➪ u⃗ • v⃗ = u1v1 + u2v2
Im Raum
➪ u⃗ • v⃗ = u1v1 + u2v2 + u3v3
Merke:
- Die 1. Komponente von u⃗ mit der 1. Komponente von v⃗, (In der Ebene)
- Die 2. Komponente von u⃗ mit der 2. Komponente von v⃗, (In der Ebene)
- Die 3. Komponente von u⃗ mit der 3. Komponente von v⃗, (Im Raum)
- … multipliziert und die resultierenden Produkte werden dann addiert.
Rechenregeln
Das Skalarprodukt von Vektoren folgt denselben Rechenregeln wie die Multiplikation von Zahlen.
- Kommutativgesetz für Vektoren: u⃗ • v⃗ = v⃗ • u⃗
- Distributivgesetz für Vektoren: (u⃗ + v) ⃗ • w⃗ = u⃗ • w⃗ + v⃗ • w⃗
- Assoziativgesetz: (λ • u⃗) o v⃗ = λ • (u⃗ o v⃗), λ ∈ ℝ
Beispiel
Stehen die Vektoren u⃗ und v⃗ senkrecht aufeinander? Überprüfe!
Berechne das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗:
= 2 • 3 + 6 • (-1) = 0,
mit dem Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.
Länge eines Vektors
Die Länge eines Vektors also Betrag, ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:
In der Ebene
|u⃗| = =
Im Raum
|u⃗| = =
Achtung: Der Nullvektor hat die Länge 0 !!!
Beispiel
In der Ebene
Berechne die Länge des Vektors
Die Formel, mit der wir den Betrag bzw. die Länge berechnen, lautet:
|u⃗| =
Wir setzen ein:
|u⃗| =
Und nun können wir den Betrag berechnen:
|u⃗| =
|u⃗| =
|u⃗| =
Nun wissen wir: Die Länge des Vektors ist 5.
Im Raum
Berechne die Länge (Betrag) des Vektors
Hier noch einmal die Formel für den Betrag lautet:
|u⃗| =
Wir setzen ein:
|u⃗| =
|u⃗| =
|u⃗| =
Wenn das Ziehen der Wurzel keine glatte Zahl ergibt, ist es manchmal sinnvoller, mit der Wurzel selbst weiterzurechnen. Wenn du aber das Endergebnis brauchst, rundest du es einfach:
|u⃗| =
Übungsaufgaben
Berechne jeweils die Länge des Vektors
Lösung
Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt
|u⃗| = | Betrag berechnen
|u⃗| =
|u⃗| =
Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =
Lösung
Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt
|u⃗| = | Betrag berechnen
|u⃗| =
|u⃗| =
Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =
Winkel zwischen Vektoren
u⃗ o v⃗ = |u⃗| • |v⃗| •
Durch Umformen erhalten wir:
=
⇒ = cos-1
Wichtig: Die Längen u⃗ und v⃗ müssen nicht gleich dem Nullvektor sein.
Beispiel
Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren und eingeschlossen wird!
Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren
u⃗ o v⃗ = 1 • 3 + 5 • 7 = 3 + 35 = 38
Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren
Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des Vektors. In unserem Fall berechnest du die Beträge der Vektoren so:
|u⃗| =
|u⃗| =
|u⃗| =
|u⃗| =
|u⃗| =
|u⃗| =
Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein
Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:
=
Wir setzen ein:
=
Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus
Die Formel nun noch so umstellen, dass wir den Winkel = cos-1
Und für unsere Aufgabe bedeutet das:
= cos-1
Das kannst du übrigens nicht ohne Weiteres im Kopf ausrechnen – verwende nun also gern deinen Taschenrechner! Du erhältst folgendes Ergebnis:
Du hast erfolgreich den Winkel berechnet. Um auch den größeren Winkel zu berechnen, kannst du rechnen:
=
=
≈
Übungsaufgaben
Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
-
Lösung
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist -1. Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander. -
Lösung
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander. -
Lösung
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander. -
Lösung
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.
Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren
-
Lösung
Das Skalarprodukt wird gebildet durch
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 11. -
Lösung
Das Skalarprodukt wird gebildet durch
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.) -
Lösung
Das Skalarprodukt wird gebildet durch
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 6. -
Lösung
Das Skalarprodukt wird gebildet durch
Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)
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Analytische Geometrie - Abiturprüfung 2019
Analytische Geometrie PDF
1. Analytische Geometrie – Abiturprüfung 2019 Lösung a) ; Lösung b)
