Home » Analytische Geometrie
Category Archives: Analytische Geometrie
Skaterbahn - Rekonstruktion von Funktionen
Skaterbahn
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gegebene Punkte:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \:\:Startpunkt:\:\: P\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \qquad|\qquad Endpunkt:\:\: Q\begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ a) Modellierung mit einer Funktion dritten Grades: $ \Large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x)&=&3ax^2&+&2bx&+&c\\ f^{”}(x)&=&6ax&+&2b \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Die Kurve beginnt im Ursprung $(0,0)\:\: \Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Die Kurve endet bei $x=10,\: y=4\:\: \Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Die Steigung am Anfang ist $tan(45^{\circ})=1\:\: \Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Die Steigung am Ende ist $tan(0^{\circ})=0\:\: \Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{d = 0}} &(I)\\ \\ a(10)^3 + b(10)^2 + c(10) +0 &=& 4\:\: \Longrightarrow\:\:1000a + 100b + 10c = 4 &(II)\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\:\: \Longrightarrow\:\: \underline{\textbf{c = 1}} &(III)\\ \\ 3a(10)^2 + 2b(10) + c &=& 0\:\: \Longrightarrow\:\: 300a + 20b = -1 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $c=1$ in $(II)$ und rechne $(II)-5\cdot (IV)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (II)-5\cdot (IV)\:\: \Longrightarrow \:\: \begin{cases} 1000a &+& 100b &=& -6\\ \\ -1500a &-& 100b &=& 5\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -500a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:-1\:\:|\:\: $ $\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{a=0,002}} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $a = 0,002$ in $(IV)$ und rechne
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $a$ in $(IV) \:\: \Longrightarrow \:\: 300(0,002)+20b=-1\qquad|\:\:(-0,6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \: 20b=-1,6\:\:\:\:\:|\:\:(20)\:\: \Longrightarrow \:\: \underline{\textbf{ b = – 0,08 }} $
$\qquad\:\:$ Die Polynomfunktion lautet: $\:\:\:\:$ $ \underline { \Large f(x)=0,002x^3-0,08x^2+x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Zeige, dass die Funktion aus a) einen Krümmungsruck erzeugt
$\qquad\qquad\:\:$ Die zweite Ableitung lautet: $f^{”}(x)=6ax+2b$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Startpunkt, $x=0\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(0)=6\cdot(0,002)\cdot(0)+2\cdot(-0,08)=-0,16$
$\qquad\qquad\qquad$ Am Endpunkt, $x=10\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: f^{”}(10)=6\cdot(0,002)\cdot(10)+2\cdot(-0,08)=-0,04$
$\qquad\qquad\:\:$ Mit $\large f^{”}(0)\neq f^{”}(10)$, die Funktion erzeugt einen Krümmungsruck
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Modellierung mit einer Polynomfunktion fünften Grades:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f $
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f'(x) &=& 5ax^4 &+& 4bx^3 &+& 3cx^2 &+& 2dx &+& e\\ f^{”}(x) &=& 20ax^3 &+& 12bx^2 &+& 6cx &+& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ 1. Startpunkt liegt im Ursprung $ \:\:\Longrightarrow\:\: f(0)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 2. Endpunkt bei $x=10,\: y=4 \:\:\Longrightarrow\:\: f(10)=4$
$\qquad\qquad\qquad$ 3. Anfangssteigung ist $tan(45^{\circ})=1 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(0)=1$
$\qquad\qquad\qquad$ 4. Endsteigung ist $tan(0^{\circ})=0 \:\:\Longrightarrow\:\: f'(10)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ 5. Krümmungskontinuität soll sichergestellt werden $\:\:\Longrightarrow\:\:f^{”}(0)=f^{”}(10)$
$\qquad\qquad$ Stelle das Gleichungssystem auf:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} a(0)^5+b(0)^4+c(0)^3+d(0)^2+e(0)+f &=& 0\\ \\ a(10)^5+b(10)^4+c(10)^3+d(10)^2+e(10)+0 &=&4\\ \\ 3a(0)^2 + 2b(0) + c &=& 1\\ \\ 5a(0)^4 + 4b(0)^3 + 3c(0)^2+ 2d(0) + e &=& 1\\ \\ 5a(10)^4+4b(10)^3+3c(10)^2+2d(10)+1 &=& 0\\ \\ 20a(10)^3+12b(10)^2+6c(10)+2d &=& 2d \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} f = 0\\ \\ 100000a+10000b+1000c+100d+10e = 4 &(I)\\ \\ e = 1 &(II)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Setze $e=1$ in $(I)$ und löse die Gleichungen $(I)$, $(III)$ und $(IV)$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d+10(1) = 4\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d+1 = 0\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 100000a+10000b+1000c+100d = -6 &(I)\\ \\ 50000a+4000b+300c+20d = -1 &(III)\\ \\ 20000a+1200b+60c = 0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Gleichungslösung liefert die Parameter der Funktion in Abhängigkeit von d:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a= \Large -\frac{3}{50000} $, $ \:\: b= \Large \frac{d}{100}+\frac{1}{500} $, $ \:\: c= \Large -\frac{d}{5}-\frac{1}{50} $
$\qquad\qquad$ Setze $a,\: b\:$ und $c$ in $(I)$, $(III)$ und $(IV)$ und löse weiter nach $d$
$\qquad\qquad\qquad$ Du bekommst $d=-0,3$
$\qquad\qquad$ Also, zusammen hast du:
$\qquad\qquad\qquad$ $ a=-0,0003,\:\: b=0,009,\:\: c=-0,03,\:\: d=-0,3 $
$\qquad\qquad$ Und die Funktionsgleichung 5. Grades lautet:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f(x)=-0,0003x^5+0,009x^4-0,03x^3-0,3x^2+1 $
Rekonstruktion von Funktionen - Flugbahn beim Landeanflug
Flugbahn beim Landeanflug
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Gegeben:
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Startpunkt:\:\: P\begin{pmatrix} -4\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Endpunkt:\:\: Q\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\:\:Horizontale\: Geschwindigkeit:\:\: v_{x}=50\:\: m/s $
$\qquad\:\:$ a) Modelliere die Flugbahn mit einer Funktion dritten Grades: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$\qquad\qquad$ Randbedingungen:
$\qquad\qquad\:\:$ 1. $f(-4)=1$: Die Höhe ist 1 km bei $x=-4$
$\qquad\qquad\:\:$ 2. $f(0)=0$: Die Höhe ist o km bei $x=0$
$\qquad\qquad\:\:$ 3. $f'(-4)=0$: Der Sinkflug beginnt waagerecht, also ist die Steigung bei $x=−4$ null.
$\qquad\qquad\:\:$ 4. $f'(0)=0$: Der Sinkflug endet waagerecht, also ist die Steigung bei $x=0$ null.
$\qquad\qquad$ Ableitungen:
$\qquad\qquad\:\:$ $f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad\qquad\:\:$ $f^{”}(x)=6ax+2b$
$\qquad\qquad$ Funktion aufstellen. Aus den Bedingungen ergibt sich:
$\qquad\qquad\:\:$ $ \begin{cases} f(-4)&=&1\:\: &\Longrightarrow\:\: &-64a+16b-4c+d=1 &(I)\\ f(0)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &d=0 &(II)\\ f'(-4)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &48a-8b+c=0 &(III)\\ f'(0)&=&0\:\: &\Longrightarrow\:\: &c=0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Setze $(II)$ und $(IV)$ in $(I)$ und $(III)$
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Bleiben: $ \begin{cases} -64a&+&16b&=&1 &(I)\\ 48a&-&8b&=&0 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $(I)+2\cdot(III) \Rightarrow\:\: \begin{cases} -64a&+&16b&=&1\\ 96a&-&16b&=&0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 32a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:1\:\:\: \Longrightarrow\:\: \underline { \underline { a= \large \frac{1}{32} }} \:\:(V) $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ (V)\:\: in\:\: (I):\:\: \Longrightarrow\:\: -64( \large \frac{1}{32} ) $ $ +16b=1 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff -2+16b=1\qquad|\:\:+2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 16b=3\:\: \Longrightarrow\:\: \underline { \underline { b= \large \frac{3}{16} }} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Flugbahn (Funktionsgleichung lautet: $ \underline { \underline { f(x)= \large \frac{1}{32} \cdot x^3+ \large \frac{3}{16} \cdot x^2 }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Steilster Punkt der Flugbahn
$\qquad\qquad\:\:$ Die Steigung $ f'(x)= \large \frac{3}{32} \cdot x^2+ \large \frac{6}{16} \cdot x = \large \frac{3}{32} \cdot x^2+ \large \frac{3}{8} \cdot x $
$\qquad\qquad\:\:$ Die Flugbahn fällt im Wendepunkt von $f$ am Steilsten ab
$\qquad\qquad\qquad$ * Wendepunkt $ f^”(x)=0 \Longrightarrow \large \frac{3}{16} \cdot x+ \large \frac{3}{8} $ $ =0 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff 3x+6=0\:\:\:\:|\:\:\:\:(-6) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:$ $ \iff 3x=-6\:\:\:\:\:\:\:\:|\:\:\:\:(:3)\:\: \Longrightarrow \:\: $ $ \underline { \underline { x=-2 }} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f(-2)= \large \frac{1}{32} $ $ \cdot (-2)^3+ $ $ \large \frac{3}{16} $ $ \cdot (-2)^2 =0,5 $
$\qquad\qquad\qquad$ Der Wendepunkt ist also: $ \underline{ \underline{ w \begin{pmatrix} -2\\0,5 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad\qquad$ * Berechnung des Abstiegswinkels and der Stelle $x=-2$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ tan(\alpha)=\lvert \large \frac{3}{32} $ $ \cdot (-2)^2+ $ $ \large \frac{3}{8} $ $ \cdot (-2)\rvert =0,375 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff\:\: \alpha=tan^{-1}(0,375) \:\: \Longrightarrow \:\: \alpha\approx20,56^{\circ} $
$\qquad\qquad\qquad$ * Berechnung der Sinkgeschwindigkeit
$\qquad\qquad\qquad$
Oberfläche der dreiseitigen Pyramide
Oberfläche der dreiseitigen Pyramide
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme den Oberflächeninhalt der dreiseitigen Pyramide
$\qquad\:\:$ $ Die\: Punkte:\:\: A \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix}, \:\: B \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \:\: C \begin{pmatrix} 6\\0\\2 \end{pmatrix}, \:\: D \begin{pmatrix} 4\\4\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Grundfläche der Dreieck $ABC$
$\qquad\qquad$ Die Formel für Dreiecke: $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AB}} = B-A = \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3\\1-3\\4-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AC}} = C-A = \begin{pmatrix} 6\\6\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3\\3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-3\\0-3\\2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Kreuzprodukt von $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot(2) &-&4\cdot(-3)\\4\cdot(3)&-&2\cdot(-2)\\-2\cdot(-3)&-&3\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\16\\12 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Betrag von $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| = \sqrt{(-8)^2+16^2+12^2} = 21,54 $
$\qquad\qquad$ Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $ = $ \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 21,45 = $ $ \underline { \underline { 10,77\:\: FE } } $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Seitenflächen der Dreiecke $ABD,\: ACD\:$ und $BCD$
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für jedes Dreieck wird dieselbe Methode angewandt.
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ABD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 4-3\\4-3\\3-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -2\\-2\\4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\cdot(3)&-&4\cdot(1)\\4\cdot(1)&-&3\cdot(-2)\\-2\cdot(1)&-&1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\10\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ABD$: $\sqrt{(-10)^2+10^2+0^2}=10\sqrt{2}=14,14$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABD$: $ \:\: A_{ABD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,14 = \underline { \underline { 7,07\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ACD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 3\\-3\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\cdot(3)&-&2\cdot(1)\\2\cdot(1)&-&3\cdot(3)\\3\cdot(1)&-&1\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11\\-7\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ACD$: $\sqrt{(-11)^2+(-7)^2+6^2}=\sqrt{206}=14,35$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ACD$: $ \:\: A_{ACD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,35 = \underline { \underline { 7,17\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $BCD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} = \begin{pmatrix} 6-1\\0-1\\2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\-1\\-2 \end{pmatrix} , \:\: \overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 4-1\\4-1\\3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\3\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}}\times\overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 5\\-1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\3\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\cdot(-1)&-&3\cdot(-2)\\-2\cdot(3)&-&5\cdot(-1)\\5\cdot(3)&-&(-1)\cdot(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\-1\\18 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $BCD$: $\sqrt{7^2+(-1)^2+18^2}=\sqrt{206}=19,33$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $BCD$: $ \:\: A_{BCD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 19,33 = \underline { \underline { 9,66\:\: FE }} $
$\qquad\:\:$ Oberflächeninhalt der Pyramide = Gesamtoberfläche (Die Summe der vier Dreiecksflächen)
$\qquad\qquad$ $ O_Pyramide = A_{ABC}+A_{ABD}+A_{ACD}+A_{BCD} = 10,77+7,07+7,17+9,66 = \underline { \underline { 34,67\:\: FE }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ B) Lese die Koordinaten der Punkte aus dem Schaubild ab
$\qquad\:\:$ $ Die\: Punkte:\:\: A \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix}, \:\: B \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix}, \:\: C \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix}, \:\: D \begin{pmatrix} 2\\4\\6 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Grundfläche der Dreieck $ABC$
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AB}} = B-A = \begin{pmatrix} 1\\5\\2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4\\5-4\\2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Vektor $ \overrightarrow{\text{AC}} = C-A = \begin{pmatrix} 1\\1\\4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-4\\1-4\\4-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Kreuzprodukt von $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(0)&-&(-2)\cdot(-3)\\(-2)\cdot(-3)&-&0\cdot(-3)\\-3\cdot(-3)&-&1\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\6\\12 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Betrag von $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| = \sqrt{(-6)^2+6^2+12^2} = 14,69 $
$\qquad\qquad$ Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ A_{ABC} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ |\overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AC}}| $ = $ \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,69 = $ $ \underline { \underline { 7,34\:\: FE } } $
$\qquad\:\:$ * Bestimme die Seitenflächen der Dreiecke $ABD,\: ACD\:$ und $BCD$
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Für jedes Dreieck wird dieselbe Methode angewandt.
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ABD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} 2-4\\4-4\\6-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AB}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -3\\1\\-2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(2)&-&0\cdot(-2)\\(-2)\cdot(-2)&-&2\cdot(-3)\\(-3)\cdot(0)&-&1\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\10\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ABD$: $\sqrt{2^2+10^2+2^2}=6\sqrt{3}=10,39$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABD$: $ \:\: A_{ABD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 10,39 \approx \underline { \underline { 5,19\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $ACD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{AC}}\times\overrightarrow{\text{AD}} = \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\0\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot(-3)&-&0\cdot(0)\\0\cdot(-2)&-&2\cdot(-3)\\0\cdot(-3)&-&(-2)\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\6\\-6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $ACD$: $\sqrt{(-6)^2+6^2+(-6)^2}=6\sqrt{3}=10,39$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ACD$: $ \:\: A_{ACD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 10,39 \approx \underline { \underline { 5,19\:\: FE }} $
$\qquad\:\:\:\:\:\:$ Dreieck $BCD$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} = \begin{pmatrix} 1-1\\1-5\\4-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix}, \:\: \overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 2-1\\4-5\\6-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-1\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Kreuzprodukt:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}}\times\overrightarrow{\text{BD}} = \begin{pmatrix} 0\\-4\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\cdot(-4)&-&2\cdot(-1)\\2\cdot(1)&-&0\cdot(4)\\0\cdot(-1)&-&1\cdot(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14\\2\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Betrag $BCD$: $\sqrt{(-14)^2+2^2+4^2}=6\sqrt{6}=14,69$
$\qquad\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $BCD$: $ \:\: A_{BCD} = \large \frac{1}{2} \cdot $ $ 14,69 = \underline { \underline { 7,34\:\: FE }} $
$\qquad\:\:$ Gesamtoberfläche der Pyramide (Die Summe der vier Dreiecksflächen)
$\qquad\qquad$ $ O_Pyramide = A_{ABC}+A_{ABD}+A_{ACD}+A_{BCD} = 7,34+5,19+5,19+7,34 = \underline { \underline { 25,06\:\: FE }} $
Pyramidenzelt - Spurpunkte mit Anwendungen
Pyramidenzelt – Spurpunkte mit Anwendungen
Pyramidenzelt
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Berechnung der Fläche des Eingangs EFGH
$\qquad\:\:$ EFGH ist ein Trapez, das die Seiten $\overline{EF}$ (oben) und $\overline{GF}$ (unten) hat:
$\qquad\qquad$ $ |EF|=4\:m $
$\qquad\qquad$ $G$ und $H$ die Mittelpunkte von $\overrightarrow{ES}$ und $\overrightarrow{FS}$ sind, ist die Länge der Strecke $HG$ die Hälfte der Pyramidenseitenhöhe.
$\qquad\qquad$ Die Höhe des Trapezes $HG$ ist die Hälfte der Pyramidenseitenhöhe
$\qquad\qquad$ Seitenhöhe $ = $ $ \large \sqrt{(\frac{8}{2})^2+3^2} $ $ = $ $ \large \sqrt{4^2+3^2}=5m $
$\qquad\qquad$ Daher: $HG=$ $ \large \frac{5}{2} $ $ = 2,5m $
$\qquad\qquad$ Die Fläche eines Trapezes berechnet sich mit der Formel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ A_{Trapez}= $ $ \large { \frac{1}{2} } $ $ \cdot (|EF|+|GH|) \cdot |FG|= $ $ \large { \frac{1}{2} } $ $ \cdot (4+8) \cdot 1,5=9\:m^2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Der Eingang EFGH hat eine Fläche von $\underline{\underline{9\:m^2}}$.
Lösung b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b)
Lösung c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c)
Lösung d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d)
Geraden - Pyramide
Pyramide
Pyramide
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Die Eckpunkte der quadratischen Basis sind:
$\qquad\qquad$ $ A \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\: $ $ C \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\: $ $ D \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Die Kanten der Pyramide sind $AS$, $BS$, $CS$, und $DS$
$\qquad\qquad$ Gleichungen der Geraden, in denen die vier Pyramidenkanten $AS$, $BS$, $CS$, und $DS$ verlaufen.
$\qquad\qquad$ * Für Kante $AS: \:\:\:\:$ $ A \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{AS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0-50\\0-50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} 50\\50\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad$ * Für Kante $BS: \:\:\:\:$ $ B \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{BS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 0+50\\0-50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad$ * Für Kante $CS: \:\:\:\:$ $ C \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{CS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0+50\\0+50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} -50\\-50\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 50\\50\\50 \end{pmatrix} }} $
$\qquad\qquad$ * Für Kante $DS: \:\:\:\:$ $ D \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix} \:\:\:\: und \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $g_{DS}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 0-50\\0+50\\50-0 \end{pmatrix} $ = $ \underline {\underline { \begin{pmatrix} 50\\-50\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} }} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Bestimme den Punkt P, an dem die erste Rampe eine Höhe von 10 m erreicht.
$\qquad\:\:$ Angenommen, dass $P$ auf der Geraden $g_{AS}$ liegt und ist 10 m hoch, setze $z=10$ und löse nach $r$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 10=0+50r\:\: \Longrightarrow\:\: r=0,2 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} x=50+0,2\cdot(-50)=40\\ \\ y=50+0,2\cdot(-50)=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Also der Punkt $P$, an dem die Rampe eine Höhe von 10 m erreicht, ist: $\:\: \underline { \underline { P \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} }} $
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Die anschließende Rampe soll den gleichen Steigungswinkel besitzen. Gleichung der Geraden.
$\qquad\qquad$ Die Rampe soll den gleichen Steigungswinkel besitzen, wie aus b). Dies bedeutet, die Richtungsvektor
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{v}}_{AS}= \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Finde den Punkt $Q$, der 50 m hoch ist, mit $ P \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Geradengleichung der Rampe: $ g_{PQ}:\:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Für $\textcolor{red}{z_{PQ}=50}$, hast du: $50=10+r\cdot50 \iff 40=50r \iff r=$ $ \large { \frac{40}{50} } $ $=0,8$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} x_{PQ}=40+0,8\cdot(-50)=0\\ \\ y_{PQ}=40+0,8\cdot(-50)=0\\ \\ z_{PQ}=10+0,8\cdot 50=50 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Der Punkt, wo diese Rampe endet ist somit $ Q \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix}, $ also der Spitzenpunkt der Pyramide.
$\qquad\qquad$ In welchem Punkt erreicht die Rampe die Höhe von 15 m?
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $\textcolor{red}{z_{PQ}=15}$ in die Geradengleichung der Rampe ein:
$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PQ}: \: \begin{pmatrix} x\\y\\ \textcolor{red}{15} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40\\40\\10 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \textcolor{red}{15}=10+50\cdot r \iff 5=50\cdot r \iff r= $ $ \large { \frac{5}{50} } $ $ =0,1 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} x=40-50\cdot 0,1=35\\ \\ y=40-50\cdot 0,1=35\\ \\ z=15 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Rampe erreicht die Höhe von 15 m im Punkt $ \:\: \underline { \underline { \begin{pmatrix} 35\\35\\15 \end{pmatrix} }} $
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) In welchen Punkten durchstoßen die Pyramidenkanten eine Höhe von 20 m?
$\qquad\qquad$ setze $z=20$ in die Geradengleichungen der Kanten ein, berechne $r,\: s,\: t$ und $u$
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $AS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50r \iff r= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{AS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ y_{AS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ z_{AS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $AS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} 30\\30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $BS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50s \iff s= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{BS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ y_{BS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ z_{BS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $BS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} -30\\30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $CS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50t \iff t= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{CS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ y_{CS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ z_{CS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $CS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} -30\\-30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ * Für die Kante $DS:$
$\qquad\qquad\qquad$ $ 20=0+50u \iff u= $ $ \large { \frac{20}{50} } $ $ =0,4 \Longrightarrow \begin{cases} x_{DS}=50+0,4\cdot (-50)=30\\ \\ y_{DS}=-50+0,4\cdot 50=-30\\ \\ z_{DS}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Kante $DS$ durchstößt die Höhe von 20 m im Punkt $ \begin{pmatrix} 30\\-30\\20 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ In welcher Höhe beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide $25\: m^2$?
$\qquad\qquad$ Der Querschnitt einer Pyramide in einer bestimmten Höhe ist ein Quadrat. Wenn du die Höhe $z$ kennst,
$\qquad\qquad$ ist die Seitenlänge des Quadrats $100−2z$ (da sich die Basis von $100m$ Breite auf $0$ in der Spitze verjüngt).
$\qquad\qquad$ $\iff$ Die Fläche des Querschnitts ist daher: $A(z)=(100-2z)^2$
$\qquad\qquad$ Setze $A(z)=25$ ein:
$\qquad\qquad$ $\iff (100-2z)^2=25 \quad|\: \sqrt{…} $
$\qquad\qquad$ $\iff 2z=95 \Longrightarrow z=47,5 $
$\qquad\qquad$ Der horizontale Querschnitt der Pyramide beträgt bei einer Höhe von $ \underline { \underline { z=47,5\: m }} $ eine Fläche von $25\: m^2$.
Lösung zu e)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ $\textcolor{red}{e)}$ Zeige, dass vom Punkt $T$ je ein Lichtstrahl auf die Punkte $B$ und $S$ fällt.
$\qquad\qquad$ Untersuche die Richtungsvektoren $ \overrightarrow{\text{TB}} $ und $ \overrightarrow{\text{TS}} $ und zeige, dass sie sich in der Richtung des gegebenen
$\qquad\qquad$ Lichtstrahls ( Richtungsvektor $\overrightarrow{\text{v}}$ ) bewegen können.
$\qquad\qquad$ Gegebene Punkte:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ T \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix}, \:\:\:\: B \begin{pmatrix} -50\\50\\0 \end{pmatrix}, \:\:\:\: S \begin{pmatrix} 0\\0\\50 \end{pmatrix} \:\:\:\: $ und $ \:\:\:\: \overrightarrow{\text{v}}= \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Lichtstrahl auf $B$:
$\qquad\qquad\qquad$ Vector $T$ nach $B$: $ \:\:\:\: \overrightarrow{\text{TB}}=B-T= \begin{pmatrix} -50-50\\50+50\\0-100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\100\\-100 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Um zu zeigen, dass ein Lichtstrahl auf $B$ fällt, setze $ \overrightarrow{\text{TB}}=\lambda\vec{v} $ und lösen das Gleichungssystem:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} -100 &=& \lambda(-1-a) &(1)&\\ \\ 100 &=& \lambda(3-a) &(2)&\\ \\ -100 &=& \lambda(2-a) &(3)& \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $(1): \:\: \lambda(-1-a)=0 \Longrightarrow \begin{cases} \lambda=0 &\Rightarrow& 0=0 was\: trivial\: ist,\: also\: nicht\: relevant.\\ \vee\\ -1-a=0 &\Rightarrow& a=-1 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Setze $a=−1$ in die anderen Gleichungen ein: $ $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \textcolor {red} { To\: Be\: Continued … } $
Lagebeziehungen - Wasserspeicher
Lagebeziehungen – Wasserspeicher
Lagebeziehungen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Trifft\: die\: Belüftungsbohrung\: b\: den\: Überlaufkanal\: k? $
$\qquad\:\:$ $ M \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ N \begin{pmatrix} 14\\2\\-10 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ A \begin{pmatrix} 11\\0\\-9 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ T \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix}, $ $ \:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{\text{v}}= \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Gleichung\: der\: Geraden\: k: \overrightarrow{\text{MA}} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ k:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 11-8\\0-12\\-9+6 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ $ Gleichung\: der\: Geraden\: b: \overrightarrow{\text{Tv}} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ b:\: \overrightarrow{\text{x}}= \underline { \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ Untersuchen\: des\: Schnittpunktes\: k\: und\: b $
$\qquad\qquad$ $ k=b\:\: \iff\:\: \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\-4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Ensteht\: ein\: LGS,\: nach\: r\: und\: s\: zu\: lösen: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{aligned} \begin{cases} 8 &+& 3r &=& 8 &+& s &(1)&\\ \\ 12 &-& 12r &=& 2 &+& s &(2)&\\ \\ -6 &-& 3r &=& 0 &-& 4s &(3)& \end{cases} \end{aligned} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ (1)-(2) \Longrightarrow \begin{cases} 8 &+& 3r &=& 8 &+& s\\ \\ -12 &+& 12r &=& -2 &-& s\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:$ $ -4\quad+\quad15r\quad=\quad6 \quad\quad|+4 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \quad\:\:\:15r\quad=\quad10 \quad\:\:|:15 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \quad\quad\:\:\:r\quad=\quad $ $ \large { \frac{2}{3} } $ $ \:\:\:\: \Longrightarrow \:\:\:\: $ $ \underline { r \quad=\quad0,667 } \:\:\:\:(4) $
$\qquad\qquad$ $ (4)\:\:\:\: in \:\:\:\: (3)\:\:\:\: \iff \:\:\:\: -6 \quad-\quad 3(0,667) \quad=\quad -4s $
$\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:$ $ \iff \:\:\:\: -8 \quad=\quad -4s \quad\:\:|:(-4) $
$\qquad\qquad\qquad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $ \Longrightarrow \:\:\:\: \underline { 2 \quad=\quad s } $
$\qquad\qquad$ $ Das\: LGS\: hat\: Lösungen\:\:\:\: \Longrightarrow\:\:\:\: Es\: gibt\: ein\: Schnittpunkt\: S $
$\qquad\qquad$ $ r\: und\: s\: in\: eine\: der\: beiden\: Geraden\: einsetzen $
$\qquad\qquad\qquad$ $ in\: k: \begin{cases} x &=& 8 &+& 0,667(3) &=& 10\\ \\ y &=& 12 &+& 0,667(-12) &=& 4\\ \\ z &=& -6 &+& 0,667(-3) &=& -8 \end{cases} \:\:\:\: \iff \:\:\:\: Schnittpunt\:\:\:\: \underline { S \begin{pmatrix} 10\\4\\-8 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ $ Ja,\: die\: Belüftungsbohrung\: b\: trifft\: den\: Überlaufkanal\: k\: bei\: r = \frac{2}{3} $
Lösung b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Wie\: lang\: muss\: der\: Bohrer\: sein? $
$\qquad\:\:$ $ *\: Die\: Länge\: des\: Bohrers\: entspricht\: der\: Entfernung\: zwischen\: T\: und\: den\: Treffpunkt\: S $
$\qquad\qquad\qquad$ $ T \begin{pmatrix} 8\\2\\0 \end{pmatrix},\qquad S \begin{pmatrix} 10\\4\\-8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Länge=\sqrt{(10-8)^2+(4-2)^2+(-8-0)^2}=\sqrt{72}\approx8,49\:LE $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 1\: LE=100\:m \Longrightarrow \underline{L=849\: Meter}\: (Dreisatz) $
Lösung c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Zeige\: dass\: die\: Versorgungsleitung\: g\: weder\: k\: noch\: b\: trifft. $
$\qquad\qquad$ $g$ Verläuft von $E$ zu $N$ (Am Oberfläche ist $z=0$)
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff g_{EN}: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 14-8\\2-12\\-10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 6\\-10\\-10 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Schnittpunkt von $g$ und $k$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} 6\\-10\\-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\12\\-6 \end{pmatrix} +u\cdot \begin{pmatrix} 3\\-12\\-3 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 8 &+& 6t &=& 8 &+& 3u &(1)&\\ \\ 12 &-& 10t &=& 12 &-& 12u &(2)&\\ \\ 0 &-& 10t &=& -6 &-& 3u &(3)& \end{cases} $ $\:\:\: \Longrightarrow\:\:$ Keine Lösung für $t$ und $u$
$\qquad\qquad\qquad$ Es gibt keine Schnittpunkt zwischen $g$ und $k$
$\qquad\qquad\qquad$ Dasselbe Verfahren zeigt, dass $g$ die Bohrung $b$ ebenfalls nicht schneidet.
$\qquad\qquad$ $ \iff\:\: $ Die Versorgungsleitung $g$ trifft weder $k$ noch $b$.
Lösung d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wie lange dauert das Bohren von $g$, bei einem Vortrieb von $20 cm/min$?.
$\qquad\qquad\qquad$ Die Länge von $g$ ist die Distanz zwischen $E \begin{pmatrix} 8\\12\\0 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: N \begin{pmatrix} 14\\2\\-10 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Länge von $g$ oder Strecke:
$\qquad\qquad\qquad$ $S=\sqrt{(14-6)^2+(2-12)^2+(-10-0)^2}=\sqrt{236}\approx15,36$ LE
$\qquad\qquad\qquad$ Für 1 LE $=100$ m, ist $S=1536$ m
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large { v=\frac{S}{t} } $ $ \:\:\:\: \iff \:\:\:\: t= $ $ \large { \frac{S}{v}=\frac{1536 m}{0,2 m/min} } $ $=7680\:Minuten=128\:Stunden$
$\qquad\qquad$ Das Bohren von $g$ dauert also etwa $\underline{128\: Stunden}$
Flugbahn und Fluggeschwindigkeit
Flugbahn und Fluggeschwindigkeit
Spurpunkte mit Anwendungen
Lösung a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Stelle\: die\: Gleichung\: der\: Geraden\: g\: auf,\: auf\: der\: das\: Flugzeug\: Gamma\: fliegt\: $
$\qquad\:\:$ $ A \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} 15\\7\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ g_{AB}:\:\overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 15-10\\7-1\\1-0,8 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ Zusammenhang\: zwischen\: dem\: Geradenparameter\:(r)\: und\: dem\: zugehörigen\: Zeitintervall $
$\qquad\qquad$ $ Wenn\: r=0,\:\: g_{AB}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \:\: \Longrightarrow \:\: das\: Flugzeug\: ist\: bei\: der\: Punkt\: A. $
$\qquad\qquad$ $ Wenn\: r=1,\:\: g_{AB}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \:\: \Longrightarrow \:\: das\: Flugzeug\: ist\: bei\: der\: Punkt\: B,\: also\: 2\: Minuten\: später. $
Lösung b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Flugposition\: um\: 10:10\: Uhr,\: Geschwindigkeit\: und\: Höhe $
$\qquad\:\:$ $ *\: Flugposition\: um\: 10:10\: Uhr $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Um\: 10:00\: Uhr,\: ist\: das\: Flugzeug\: bei\: der\: Punkt\: A $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Um\: 10:02\: Uhr,\: ist\: das\: Flugzeug\: bei\: der\: Punkt\: B $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Mit\: konstanter\: Geschwindigkeit,\: zwischen\: 10:00\: und\: 10:10\: Uhr\: liegen\: 10\: Minuten $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ Berechne\: den\: Parameter\: t\: für\: diesen\: Zeitpunkt $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large { t=\frac{10\: min}{2}=5 } $ $ \:\:(weil\: 2\: Minuten\: eine\: Einheit\: für\: t=1\: bedeuten) $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Setze\: t=5\: in\: die\: Geradengleichung\: ein: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{P}}_5 = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + 5\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 25\\30\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35\\31\\1,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \:\: Das\: Flugzeug\: befindet\: sich\: um\: 10:10\: Uhr\: bei\: den\: Koordinaten\: \begin{pmatrix} 35\\31\\1,8 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ *\: Geschwindigkeit\: des\: Flugzeugs $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Geschwindigkeit\: berechnet\: sich\: aus $
$\qquad\qquad\qquad$ $ der\: Länge\: des\: Richtungsvektors\: \vec{v}= \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} \: und\: der\: Zeit\: t=2 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Länge\: des\: Vektors\: \vec{v}\: ist: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ |\vec{v}|=\sqrt{5^2+6^2+0,2^2} = \sqrt{25+36+0,04} = \sqrt{61,04}\approx7,81\: km $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Da\: dies\: die\: Strecke\: ist,\: die\: das\: Flugzeug\: in\: 2\: Minuten\: zurücklegt,\: ist\: die\: Geschwindigkeit: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large{ v=\frac{7,81\: km}{2} } $ $ =3,905\:km/min=234,3\:km/h $
$\qquad\:\:$ $ *\: Wann\: erreicht\: das\: Flugzeug\: die\: Höhe\: von\: 4\: km\: (4000\: m\: =\: 4\: km)? $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Höhe\: des\: Flugzeugs\: ist\: durch\: die\: z-Koordinate\: gegeben. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Suche\: t,\: wenn\: die\: Höhe\: z=4\: ist.\: Aus\: der\: Parametergleichung: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ z(t)=0,8+0,2t $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=4\: und\: löse\: nach\: t\: auf: $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ 0,8+0,2t=4\:\: \Longrightarrow\:\: 0,2t=3,2 \:\: \Longrightarrow\:\: t= $ $ \large \frac{3,2}{0,2} $ $ =16 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: Flugzeug\: erreicht\: nach\: 16\: Minuten\: die\: Höhe\: von\: 4\: km.\: Das\: wäre\: um: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 10:00+16\: Minuten=10:16\:Uhr $
Lösung c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Flugbahn\: von\: Delta\: und\: Kollision $
$\qquad\:\:$ $ *\: Flugbahn\: von\: Delta\: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Für\: das\: zweite\: Flugzeug\: Delta\: verfahre\: ähnlich.\: Die\: beiden\: Punkte\: sind $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ P \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: Q \begin{pmatrix} 95\\121\\3,6 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PQ}:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 95-100\\121-130\\3,6-3,7 \end{pmatrix} = \underline { \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\-9\\-0,1 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ *\: Prüfung\: auf\: Schnittpunkt $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Prüfe,\: ob\: sich\: die\: beiden\: Flugbahnen\: schneiden,\: setzte\: die\: Geradengleichungen\: gleich $
$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{AB}=g_{PQ}\: \iff \: \begin{pmatrix} 10\\1\\0,8 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 5\\6\\0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 100\\130\\3,7 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\-9\\-0,1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: ergibt\: drei\: Gleichungen\: für\: t\: und\: s: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 10+5t &=& 100-5s\qquad (1)\\ \\ 1+6t &=& 130-9s\qquad (2)\\ \\ 0,8+0,2t &=& 3,7-0,1s\:\:\:\:\: (3) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ 6\cdot(1)-5\cdot(2)\: \Longrightarrow\: \begin{cases} 60 +30t &=& 600-30s\\ \\ -5 -30t &=& -650+45s\\ \hline \\ 55 &=& -50+15s \:\:|\:\: +50 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ 105 = 15s\qquad\qquad\:|\:\: :15 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { 7 = s \:\: (4) } $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ (4)\: in\: (3)\:\: \Longrightarrow \:\: 0,8+0,2t=3,7-0,1\cdot7\qquad|\:\:(-0,8) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ \iff \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:0,2t=2,2\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:|\:\:(0,2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ \iff $ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \underline { t=11 } $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} 10+5(11) &=& 100-5(7)\qquad \iff\:\: 65 &=& 65 \:\: W.A.\\ \\ 1+6(11) &=& 130-9(7)\qquad \iff\:\: 67 &=& 67 \:\: W.A.\\ \\ 0,8+0,2(11) &=& 3,7-0,1(7)\:\:\:\:\: \iff\:\: 3 &=& 3 \:\: W.A. \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Flugbahnen\: Gamma\: und\: Delta\: schneiden\: sich\: an\: der\: Punkt\: \begin{pmatrix} 65\\67\\3 \end{pmatrix}, $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \: aber\: die\: Flugzeuge\: passieren\: zu\: unterschiedlichen\: Zeiten. $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ Also\: die\: Gefahr\: einer\: Kollision\: besteht\: nicht!!! $
Tauchfart
Tauchfahrt
Spurpunkte mit Anwendungen
Lösung
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schritt\: 1\: Bewegung\: des\: U-Boots $
$\qquad\:\:$ $ Das\: U-Boot\: startet\: bei\: P \begin{pmatrix} 100\\200\\0 \end{pmatrix} \: und\: bewegt\: sich\: mit\: einer\: Geschwindigkeit\: von\: 11,1\: Knoten $
$\qquad\:\:$ $ in\: Richtung\: des\: Ziels\: Z \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Geschwindigkeit\: in\: Knoten\: umgerechnet\: in\: km/h\: ist: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 11,1\: Knoten =11,1\cdot1,852\: km/h=20,55\:km/h $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Strecke\: vom\: Startpunkt\: P\: bis\: zum\: Zielpunkt\: Z\: beträgt: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Abstand=\sqrt{(500-100)^2+(400-200)^2+(-80-0)^2}=\sqrt{206400}\approx454,85\:km $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Zeit,\: die\: das\: U-Boot\: benötigt,\: um\: den\: Punkt\: Z\: zu\: erreichen,\: beträgt $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t= \Large { \frac{Abstand}{Geschwindigkeit}=\frac{454,85\:km}{20,55\:km/h} } $ $ \approx22,13\:Stunden $
$\qquad\:\:$ $ Während\: dieser\: Zeit\: taucht\: das\: U-Boot\: bis\: zu\: einer\: Tiefe\: von\: 80\: m $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schritt\: 2\: Bewegung\: der\: Tauchkugel $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Tauchkugel\: startet\: bei\: S \begin{pmatrix} 700\\800\\0 \end{pmatrix}\: und\: sinkt\: mit\: einer\: Geschwindigkeit $
$\qquad\:\:$ $ von\: 0,5 m/s\: senkrecht\: nach\: unten.\: Um\: die\: Geschwindigkeit\: in\: km/h\: umzurechnen: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 0,5\:m/s=0,5⋅3,6\:km/h=1,8\:km/h $
$\qquad\:\:$ $ Da\: die\: Tauchkugel\: senkrecht\: nach\: unten\: sinkt,\: hat\: ihre\: horizontale\: Position\: in\: x\: und\: y\: keine $
$\qquad\:\:$ $ Bewegung.\: Sie\: bewegt\: sich\: nur\: in\: der\: z-Achse\: nach\: unten. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Tiefe\: der\: Tauchkugel\: nach\: einer\: Zeit\: t\: ist\: gegeben\: durch: $
$\qquad\qquad\qquad$ $Z$ $_{Tauchkugel}=−1,8\:t $
$\qquad\:\:$ $ Vertikale\: Bewegung\: des\: U-Boots $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Das\: U-Boot\: taucht\: mit\: einer\: Geschwindigkeit\: von\: 20,55\: km/h\: und\: erreicht\: eine\: Tiefe $
$\qquad\qquad\qquad$ $ von\: 80\: m\: (0,08\: km)\: bei\: Z \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Tauchstrecke\: in\: vertikaler\: Richtung\: beträgt\: also\: 0,08\: km. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Zeit\: t_U,\: die\: das\: U-Boot\: benötigt,\: um\: diese\: Tiefe\: zu\: erreichen,\: beträgt: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t_U= \Large { \frac{Höhendifferenz}{Geschwindigkeit}=\frac{0,08\:km}{20,55\:km/h} } $ $ \approx0,0039\: Stunden\approx14\:Sekunden $
$\qquad\:\:$ $ Nach\: 14 \:Sekunden\: erreicht\: das\: U-Boot\: die\: Tiefe\: von\: 80\: m.\: Danach\: fährt\: es\: horizontal\: weiter. $
$\qquad\:\:$ $ Vertikale\: Bewegung\: der\: Tauchkugel $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: Tauchkugel\: sinkt \:mit\: 1,8\: km/h,\: was\: 0,5\:m/s\: entspricht. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: vertikale\: Position\: der\: Tauchkugel\: zu\: einem\: beliebigen\: Zeitpunkt\: t\: (in\: Stunden)\: ist: $
$\qquad\qquad\qquad$ $Z$ $_{Tauchkugel}=−1,8\:t\: km $
$\qquad\:\:$ $ Mit\: z=0,\: sinkt\: die\: Tauchkugel\: senkrecht\: und\: die\: Position\: kann\: nach\: jeder\: Zeit\: t\: berechnen\: werden $
$\qquad\:\:$ $ Horizontale\: Bewegung\: des\: U-Boots $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Nach\: 14\: Sekunden\: (0,0039\: Stunden)\: fährt\: das\: U-Boot\: weiter\: in\: der\: horizontalen\: Richtung. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Es\: bewegt\: sich\: in\: der\: Richtung \: \begin{pmatrix} 500\\400 \end{pmatrix},\: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ wobei\: die\: horizontale\: Geschwindigkeit\: unverändert\: 20,55\:km/h\: bleibt. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Die\: horizontale\: Position\: des\: U-Boots\: nach\: einer\: Zeit\: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t\: (nach\: Erreichen\: der\: Tiefe\: von\: 80\:m)\: ist\: gegeben\: durch: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \vec{r}_U(t)= \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 20,5\\0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ Bedingungen\: für\: eine\: Kollision $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Damit\: eine\: Kollision\: zwischen\: dem\: U-Boot\: und\: der\: Tauchkugel\: stattfinden\: kann, $
$\qquad\qquad\qquad$ $ müssen\: sie\: sich\: zu\: einem\: bestimmten\: Zeitpunkt\: t\: im\: gleichen\: Punkt\: befinden, $
$\qquad\qquad\qquad$ $ sowohl\: horizontal\: als\: auch\: vertikal. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Vertikal:\: Das\: U-Boot\: bleibt\: in\: einer\: Tiefe\: von\: z=−80\:m,\: nachdem\: es\: getaucht\: ist. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ setze\: die\: vertikale\: Position\: der\: Tauchkugel\: gleich\: −80\:m \:(entspricht\: 0,08\: km): $
$\qquad\qquad\qquad$ $Z$ $_{Tauchkugel}=−1,8\:t\: km\:=-0,08\:km $
$\qquad\qquad\qquad$ $ t=\frac{0,08}{1,8}=0,0444\: Stunden\approx160\: Sekunden $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Tauchkugel\: erreicht\: eine\: Tiefe\: von\: 80\: m\: nach\: 160\: Sekunden. $
$\qquad\:\:$ $ Horizontal:\: In\: der\: gleichen\: Zeit\: muss\: das\: U-Boot\: an\: einem\: Punkt\: ankommen, $
$\qquad\:\:$ $ der\: horizontal\: mit\: der\: Tauchkugel\: übereinstimmt. $
$\qquad\:\:$ $ Da\: die\: Tauchkugel\: ihre\: horizontale\: Position\: nicht\: ändert,\: bleibt\: sie\: bei \begin{pmatrix} 700\\800 \end{pmatrix}. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: horizontale\: Bewegung\: des\: U-Boots\: wird\: durch\: die\: Gleichung\: beschrieben: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \vec{r}_U(t)= \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 20,55\\0\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ Nach\: t=0,0444\:Stunden\: (also\: 160\: Sekunden)\: bewegt\: sich\: das\: U-Boot\: horizontal\: um: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ x_{U-Boot}=500+20,55\cdot0,0444\approx500+0,91\approx500,91 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ y_{U-Boot}=400 $
$\qquad\:\:$ $ Das\: U-Boot\: wird\: sich\: also\: bei\: \begin{pmatrix} 500\\400\\-80 \end{pmatrix}\: befinden,\: während\: die\: Tauchkugel\: bei\: \begin{pmatrix} 700\\800\\-80 \end{pmatrix}\: ist. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: beiden\: Flugbahnen\: schneiden\: sich\: nicht\:, da\: die\: Tauchkugel\: und\: das\: U-Boot\: sich\: sowohl $
$\qquad\:\:$ $ horizontal\: als\: auch\: vertikal\: zu\: unterschiedlichen\: Zeitpunkten\: in\: unterschiedlichen\: Positionen $
$\qquad\:\:$ $ befinden.\: \underline{Daher\: kommt\: es\: nicht\: zu\: einer\: Kollision\: zwischen\: dem\: U-Boot\: und\: der\: Tauchkugel.} $
Flugbahnen
Flugbahn
Spurpunkte mit Anwendungen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Stelle\: die\: Gleichung\: der\: Geraden\: g\: auf,\: auf\: der\: das\: Flugzeug\: Gamma\: fliegt\: $
$\qquad\:\:$ $ A \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ $ B \begin{pmatrix} -4\\-1\\4 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ g_{AB}:\:\vec{x}= \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -4+8\\-1-3\\4-2 \end{pmatrix} $ = $ \underline { \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-4\\2 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ *\: Startpunkt\: F\: bestimmen\: (Flugzeug\: startet\: in\: der\: x-y-Ebene,\: also\: bei\: z=0) $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=0\: und\: lösen\: nach\: t\: auf. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 2+2t=0\:\:\:\:\:\:(-2) $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 2t=-2\:\:\:(:2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ t=-1 $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: t=-1\: in\: x(t)\: und\: y(t)\: ein: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ x(-1)=-8+4\cdot(-1)=-8-4=-12 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ y(-1)=3-4\cdot(-1)=3+4=7 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Startpunkt\: F: \begin{pmatrix} -12\\7\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ *\: Punkt\: T\: bestimmen\: (Reiseflughöhe\: von\: 10.000\: m\: =\: 10\: km) $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: z(t)=10\: und\: lösen\: nach\: t\: auf. $
$\qquad\qquad\qquad$ $ 2+2t=10\:\:\:\:\:\:(-2) $
$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 2t=8\:\:\:\:\:\:\:\:\:(:2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ t=4 $
$\qquad\qquad$ $ Setze\: t=4\: in\: x(t)\: und\: y(t)\: ein: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ x(4)=-8+4\cdot4=-8+16=8 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ y(4)=3-4\cdot4=3-16=-13 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Punkt\: T: \begin{pmatrix} 8\\-13\\10 \end{pmatrix} $
$\qquad\:\:$ $ \textbf { Antwort: } $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Startpunkt\: F:\: Das\: Flugzeug\: ist\: im\: Punkt\: F \begin{pmatrix} -12\\7\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ Punkt\: T:\: Das\: Flugzeug\: erreicht\: seine\: Reiseflughöhe\: von\: 10.000\: m\: im\: Punk\: T \begin{pmatrix} 8\\-13\\10 \end{pmatrix} $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Nachweis,\: dass\: keine\: Kollision\: mit\: Flugzeug\: Beta\: möglich\: ist $
$\qquad\:\:$ $ *\: Informationen\: zu\: Flugzeug\: Beta: $
$\qquad\qquad\qquad$ $ -\: Es\: steuert\: Punkt\: C \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} \: aus\: Richtung\: \vec{v}_\beta = \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} \: an. $
$\qquad\:\:$ $ Bestimme\: der\: Flugbahn\: von\: Beta $
$\qquad\:\:$ $ Da\: Flugzeug\: Beta\: auf\: C\: zufliegt,\: bewegt\: es\: sich\: entgegen\: der\: Richtungsvektor\: \vec{v}_\beta. $
$\qquad\:\:$ $ Die\: Geradengleichung\: lautet: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { g_C:\: \overrightarrow{\text{x}}= \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} } $
$\qquad\:\:$ $ Prüfen,\: ob\: die\: Flugbahnen\: von\: \alpha \: und\: \beta \: sich\: schneiden $
$\qquad\qquad$ $ g_{AB}=g_{C}\:\: \iff \:\: \begin{pmatrix} -8\\3\\2 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 4\\-4\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Es\: ergibt\: sich\: ein\: Gleichungssystem: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} -8 &+ &4t &=& 10 &- &2s\:\:\:\:\: (1)\\ \\ 3 &- &4t &=& -10 &- &s\:\:\:\:\:\:\:\: (2)\\ \\ 2 &+ &2t &=& 5 &+ &2s\:\:\:\:\:\: (3) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ (1)+(3)\:\: \iff \:\: \begin{cases} -8 &+ &4t &=& 10 &- &2s \\ \\ 2 &+ &2t &=& 5 &+ &2s \\ \hline \\ \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ -6\:\:\:\:\:\: +\:\:\: 6t\:\:\:\: =\:\:\: 15 \:\:\:\:\:\: | \:\: (+6) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ 6t\:\:\:\: =\:\:\: 21 \:\:\:\:\:\: | \:\: (:6) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \iff \:\: \underline { t\:\:\:\: =\:\:\: 3,5 } \:\:\:\:\:\:\:\: (4) $
$\qquad\qquad$ $ (4)\: in\: (3)\:\: \iff \:\: 2+2\cdot3,5=5+2s \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: | \:\: (-5) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 4=-2s \:\:\:\:\:\:\qquad | \:\: :(2) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \iff \:\: \underline { 2 \:\:\:\: =\:\:\: s } $
$\qquad\qquad$ $ Prüfe\: Gleichung\: (2): $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ 3-4\cdot3,5=-10-2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ -11=-12\:\: (Widerspruch) $
$\qquad\qquad$ $ Da\: die\: Gleichungen\: nicht\: konsistent\: sind,\: schneiden\: sich\: die\: Flugbahnen\: nicht. $
$\qquad\qquad$ $ \iff \:\: Also\: die\: beiden\: Flugzeuge\: können\: keinesfalls\: kollidieren. $
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Berechne\: der\: Entfernung\: zwischen\: den\: Flugzeugen\: zum\: Zeitpunkt\: des\: Passierens\: von\: B\: und\: C $
$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{\text{BC}} =\overrightarrow{\text{C}}-\overrightarrow{\text{B}} = \begin{pmatrix} 10 &-& (-4)\\-10 &-& (-1)\\5 &-& 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\-9\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ Die\: Entfernung\: zwischen\: B\: und\: C: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \sqrt{14^2+(-9)^2+1^2}=\sqrt{278}\approx16,67\:km $
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d)\: Bestimme\: der\: letzten\: Kurskorrektur\: von\: Flugzeug\: Beta $
$\qquad\qquad$ $ Die\: Geradengleichung\: von\: Beta\: beim\: passieren\: C $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ g_{C}: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} -5\\4\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ $ In\: 1000m\: Höhe\: soll\: eine\: weitere\: Kursänderung\: erfolgen $
$\qquad\qquad$ $ \iff \:\: die\: z-Koordinate\: ist\: 1000\:=1\:km $
$\qquad\qquad$ $ \iff \:\: 1=5-z\:\:\:\: und\:\:\:\: \underline{z=4} $
$\qquad\qquad$ $ Der\: Punkt,\: an\: dem\: Flugzeug\: Beta\: eine\: Höhe\: von\: 1000\: m\: erreicht\:, ist\: $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { P \begin{pmatrix} 10\\-10\\5 \end{pmatrix} + 4\cdot \begin{pmatrix} -5\\4\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 &-& 20\\-10 &+& 16\\5 &-& 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\6\\1 \end{pmatrix} } $
$\qquad\qquad$ $ Richtungsvektor\: der\: letzte\: Korrektur\: des\: Flugzeugs $
$\qquad\qquad\qquad$ $ g_{PF}:\: \overrightarrow{\text{x}} = \begin{pmatrix} -10\\6\\1 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} -12 &-& (-10)\\7 &-& 6\\0 &-& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\6\\1 \end{pmatrix} + z\cdot \begin{pmatrix} -2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \iff\:\: Die\: Richtungsvektor\:\: \begin{pmatrix} -2\\1\\-1 \end{pmatrix} $
Winkel und Abstände II
II- Abstände – Lotfußpunktverfahren
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden $g$ ist gleich dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{PF}$, wobei $F$ der Fußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$ ist.
Berechnung
Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:
- Aufstellen der Gleichung einer Hilfsebene $E,$ die durch $P$ geht und zu $g$ orthogonal ist,
- Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $E$ und $g,$
- Berechnung des Betrages von $\overrightarrow{PF}.$
Beispielaufgaben
Berechne jeweils den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g.$
-
$
P\begin{pmatrix}-2\\2\\1
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\3\\-1
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
0\\2\\1
\end{pmatrix}
$
Lösung$ P\begin{pmatrix}-2\\2\\1 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\-1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize F\: liegt\: auf\: der\: Geraden\: g,\: vektoriell\: ausgedrückt: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{OF}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 1 &+ &0 \cdot r\\ 3 &+ &2 \cdot r\\ -1 &+ &1 \cdot r \end{pmatrix} $
$ \qquad $ und den Vektor von $F$ nach $P:$
$ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{FP}=P-F$ $=$ $ \begin{pmatrix} -2 &- &(1+0\cdot r)\\ 2 &- &(3+2\cdot r)\\ 1 &- &((-1)+1\cdot r) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: Richtungsvektor\: von\: g\: orthogonal\: zum\: Vektor\: \overrightarrow{FP}: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow g \perp \overrightarrow{FP} \: \iff \: \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skakarprodukt $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ 0\cdot (-3)+2\cdot (-1-2r)+1\cdot(2-r)=0 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ -5r=0\:\: \longrightarrow\:\: r=0\:\: (Geradenparameter) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{OF}\: ein $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} 1 &+ &0\cdot 0\\ 3 &+ &2\cdot 0\\ -1 &+ &1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \:\: (Lotfußpunkt\: F) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{FP}\: ein $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3\\ -1-2\cdot 0\\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \:\: (Vektor\: FP) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: von\: g\: zu\: P $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ d(g,P)=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2}\approx3,74165 $
Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large |\overrightarrow{PF}|\approx3,42\: LE $ -
$
P\begin{pmatrix}
3\\5\\2
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
-2\\-3\\4
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
1\\-1\\3
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$|\overrightarrow{PF}|\approx9,30\: LE$ -
$
P\begin{pmatrix}
3\\2\\-1
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
2\\4\\2
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$|\overrightarrow{PF}|\approx4,45\: LE$
$\:\:\:$Unter dem Abstand $d$ eines Punktes P von einer Ebene $E$ versteht man die Länge des Lotes
$\:\:\:$von $P$ auf die Ebene, also die Länge der Strecke von $P$ bis zum Fußpunkt $F$ des Lotes.
Berechnung
Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:
- Aufstellen der zu $E$ orthogonalen Lotgerade $g$ durch $P,$
- Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $g$ und $E,$
- Berechnung des Betrags des Vektor $\overrightarrow{PF}.$
Tipp
Beispielaufgaben
-
Bestimme den Abstand des Punktes $P\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ von der Ebene $E:3x-2y+2z=3.$
Lösung
$ P \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: 3x-2y+2z=3 $ $ \longrightarrow n_E \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $
$ \qquad $ $ 3(2+3t)-2(4-2t)+2(1+2t)=3 $
$ \qquad $ $ \iff 6+9t-8+4t+2+4t=3 $
$ \qquad $ $ \iff 17t=3 \longrightarrow t=\frac{3}{17} \approx0,1765 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$ \vec{f} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + 0,1765\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0,1765 \cdot 3\\ 4+0,1765 \cdot (-2)\\ 1+0,1765 \cdot 2 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 2,529\\ 3,647\\ 1,352 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF}$
$ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 2,529-2\\ 3,647-4\\ 1,353-1 \end{pmatrix} \longrightarrow \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0.529\\ -1,647\\ 0,353 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand $
$ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(2,529-2)^2+(3,647-4)^2+(1,353-1)^2}=0,7273 $
Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d \approx0.73 \: LE $ -
Gesucht ist der Abstand des Punktes
$P
\begin{pmatrix}
5\\8\\9
\end{pmatrix}
$
von der Ebene
$E:
\begin{bmatrix}
\vec{x}-
\begin{pmatrix}
2\\0\\2
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\3\\4
\end{pmatrix}
=0.
$
Lösung
$P \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} $ $\:$ und $\:$ $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} =0 $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Wandle\: die\: Normalenform\: von\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2x+3y+4z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 4=12 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow E:2x+3y+4z=12 \:\:\:\: und \:\:\:\: n_E=\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$\qquad$ $ h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $
$\qquad\qquad$ $ 2(5+2t)+3(8+3t)+4(9+4t)=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 10+4t+24+9t+36+16t=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 29t+70=12 \qquad |\: -70 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 29t=-58 \qquad\:\:\:\:\:\:\: |\: :29 \:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: t=-2 $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$\qquad$ $ \vec{f}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4\\8-6\\9-8 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\: \overrightarrow{PF} $
$\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 1-5\\2-8\\1-9 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ $\longrightarrow$ $\:\:\:\:$ $ \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -4\\-6\\-8 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-8)^2}=10,770 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d \approx10.77 \: LE $ -
Berechne den Abstand des Punktes $P(10|-1|-4)$ von der Ebene
$E:2x-8y+16z=45$
$\:\:$$F(10,5|-3|0)$ $d=|\overrightarrow{PF}|=4,5\: LE$ -
Gegeben ist die Ebene $E$ durch die Punkte $A(2|4|3),$ $B(-1|5|3)$ und $C(3|2|3).$ Berechne den Abstand des Punktes $P(6|8|7).$
Lösung$A(2|4|3),$ $\:\:B(-1|5|3)\:\:$ und $\:\:C(3|2|3)$ $\:\:\:\:|\:\:\:\:$ $P(6|8|7)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform $
$ \qquad $ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Koordinatenform\: von\: E $
$ \qquad $ Richtungsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Normalenvektor:
$ \qquad $ Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$ \qquad $ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 &- &0\cdot (-2)\\ 0\cdot 1 &- &0\cdot (-3)\\ (-3)\cdot (-2) &- &1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Die Normalenform lautet: $ E: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad $ Wandle in Koordinatenform um: Multipliziere aus
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0x+0y+5z $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =15 $
$ \qquad $ Die Koordinatenform lautet: $0x+0y+5z=15$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$ \qquad $ $ h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene\: E $
$ \qquad \qquad $ $ 5(7+5t)=15 \qquad\:\:\:\:| :5 $
$ \qquad \qquad $ $ \iff 7+5t=3 \qquad | -7 $
$ \qquad \qquad $ $ \iff 5t=-4 \:\:\longrightarrow\:\: t=-\frac{4}{5} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$\qquad$ $ \vec{f} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + (-\frac{4}{5}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+0\\8+0\\7+(-\frac{4}{5}\cdot 5) \end{pmatrix} $ $\longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 6\\8\\3 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF} $
$\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}-\vec{P} = \begin{pmatrix} 6-6\\8-8\\3-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} \: \longrightarrow \: \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=4 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d=4\: LE $