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Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Unternehmen
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Unternehmen
Aufgabe 4.2. Unternehmen
Lösung 1)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Wahrscheinlichkeit,\: dass\: mindestens\: 17\: der\: ausgewählten\: Beschäftigten\: weiblich\: sind $
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq17) = 1-F(50;\frac{1}{3};16)\approx0,5132\approx51,3\% $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Beschreibe\: die\: Bedeutung\: der\: folgenden\: mathematischen\: Aussage $
$\qquad\:\:$ $ \begin{pmatrix} 50\\ 13 \end{pmatrix} \large \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^{13} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^{37} $ $ + \begin{pmatrix} 50\\ 14 \end{pmatrix} \large \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^{14} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^{36} $ $ \approx0,158 $
$\qquad\:\:$ Die Aussage beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den $50$ ausgewählten Beschäftigten
$\qquad\:\:$ $13$ oder $14$ weiblich sind, beträgt ca. $15,8\%$.
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c) $
$\qquad\:\:$ $ B(50;\frac{1}{10};10) = \begin{pmatrix} 50\\ 10 \end{pmatrix} \large \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^{10} \cdot \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^{40} $ $ \approx0,0157\approx1,57\% $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize d) $
$\qquad\:\:$ $ E(X)=50\cdot \large \frac{1}{3} $ $\approx16,67$
$\qquad\:\:$ Damit hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ihren größten wert für eine der beiden
$\qquad\:\:$ natürlichen Zahlen, die $16,67$ benachbart sind.
Lösung 2)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a) \: die\: Werte\: von\: $x$\: und\: $y$ $
$\qquad\:\:$ $ x=100\%-10,5\%=89,5\%, \:\:\: y= $ $ \large \frac{1}{3} $ $ \cdot0,035\approx0,01 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Wahrscheinlichkeit\: dafür,\: dass\: sie\: nicht\: weiblich\: ist\: (Vierfeldertafel) $
$\qquad\qquad$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Anteil\: der\: weiblichen\: Beschäftigten $
$\qquad\qquad$ $ 5\cdot \frac{4}{100}\cdot a=\frac{1}{10} \cdot(1-a)\iff a=\frac{1}{3} $
Zentralabitur 2020 - Mathe Grundkurs - Teil 2 - Würfel
Zentralabitur 2020 – Mathe Grundkurs – Teil 2 – Würfel
Aufgabe 4.1. Würfel
Lösung a)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
a)\: Der\: 6er-Würfel\: wird\: 10-mal\: geworfen
$
$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $
$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $
$\qquad\:\:$ Berechnen die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
$\qquad\qquad$ $ A: $ “Bei genau 4 Würfeln wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(a)=(10; \frac{1}{3}; 4)= \begin{pmatrix} 10\\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{1}{3} \end{pmatrix} ^4 \cdot \begin{pmatrix} \Large \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^6 \approx0,228=22,8\% $
$\qquad\qquad$ $ B: $ “Bei keinem Wurf wird eine 6 gewürfelt.”
$\qquad\qquad\:\:$ $ p(b)=(\frac{2}{3})^{10} \approx0,0173=1,73\% $
Lösung b)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
b)\: Baumdiagramm
$
$\qquad\:\:$
$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.
$\qquad\:\:$
$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $
$\qquad\:\:$
$\qquad\:\:$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass Luisa anfangen darf.
$\qquad\:\:$
$\qquad\qquad$ $ \Large P_{(bei\: höchstens\: 3\: Würfen\: eine\: 6)} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{19}{27} $
Lösung c)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
c)\: Wie\: oft\: mit\: dem\: 6er-Würfel\: mindestens\: gewürfelt\: werden\: müsste, \:…
$
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $
$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.
$\qquad\:\:$ $ P(X\geq1)\geq0,95 \Rightarrow 1-P(X=0)\geq0,95 $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \end{pmatrix} ^n \leq\frac{5}{100} \Rightarrow n\geq \begin{pmatrix} \Large \frac{ln\frac{5}{100}}{ln\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \approx7,39 $
$\qquad\:\:$ Es mindestens $8-mal$ gewürfelt werden, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln,
$\qquad\:\:$ mindestens $95\%$ beträgt.
Lösung d)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
d)\: Die\: Augensumme: beträgt\: 11
$
$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $
$\qquad\:\:$ $5-6$ und $6-5$ sind die beide mögliche Kombination für die Augenzahl $11$
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow P(C)= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} \approx0,1389=13,89\% $
Lösung e)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
e)\: Zeige,\: dass\: die\: Wahrscheinlichkeit\: dafür,\: dass\: Luisa\: die\: Augensumme\: 15\: erhält,\: \frac{5}{54}\: beträgt
$
$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $
$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $
$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $
$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $
$\qquad\:\:$ Für $3$ Würfen, es gibt $2$ mögliche Kombinationen um die Augensumme $15$ zu haben
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Kombination\: 1:\: 5-5-5\\ \\ Kombination\: 2:\: 4-5-6\: (in\: beliebiger\: Reihenfolge) \begin{cases} 4-5-6\\ 4-6-5\\ 5-4-6\\ 5-6-4\\ 6-5-4\\ 6-4-5 \end{cases}\:\:\:\: 6\: Möglichkeiten \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Kombination 1: $ P(5-5-5)= \Large \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27} = \frac{2}{54} $
$\qquad\qquad$ Kombination 2: $ 6 \cdot P(4-5-6)= 6 \cdot \Large \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18} = \frac{3}{54} $
$\qquad\:\:$ Kombination 1 $+$ Kombination 2 $= \Large \frac{2}{54} + \frac{3}{54} = \frac{5}{54} $
$\qquad\qquad$ $ \underline { \Large P_{(Die\: Augensumme\: ist\: 15)}= \frac{5}{54} } $
Lösung f)
$
\:\:\:
$
$
\:
\Large
\Bigg\downarrow
$
$
\normalsize
f)\: Begründe,\: dass\: Pedros: Behauptung\: falsch\: ist
$
$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.
$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.
$\qquad\:\:$ Die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $4-5-6$ (in beliebiger Reihenfolge) zu würfeln,
$\qquad\:\:$ ist für beide Würfel gleich.
$\qquad\:\:$ Für den $5er-$Würfel ist die Wahrscheinlichkeit, $5-5-5$ zu würfeln, wesentlich
$\qquad\:\:$ größer als für den $6er-$Würfel. Daher ist Pedros Behauptung falsch.
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgaben
Ein Tetraeder wird zweimal hintereinander geworfen. Welche Ergebnisse gehören zu den Ereignissen?
– E1: Mindestens einmal Augenzahl 1.
– E2: Beim zweiten Wurf Augenzahl 1.
– E3: Nur beim zweiten Wurf Augenzahl 1.
– E4: Nur ungerade Augenzahlen.
– E5: Eine gerade, eine ungerade Augenzahl.
– E6: Augensumme 3.
Lösungen zu den Aufgaben
