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Winkel und Abstände III
III- Abstände – Hessesche Normalenform
-
Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und dem Punkt $P$.
$ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $
Lösung$ 3x-2y+4z=10 $ $\:\:$ und $\:\:$ $ P(2|3|1) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: von\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Ebenengleichung\: umstellen $
$\qquad$ $ 3x-2y+4z-10=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Abstand\: berechnen $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= $ $ \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 2-2\cdot 3+4\cdot 1-10} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\-2\\4 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-6}{\sqrt{29}} \end{vmatrix} =1,11417 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}\approx1,1142\: LE $ -
Gebe die Ebene in Hessescher Normalenform an und bestimme die Abstände der Punkte $P,\: Q$ und $R$ von der Ebene.
a) $E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$
Lösung$E:3x+6y-2z=4, \:P(4|-1|2), \:Q(-4|6|4), \:R(6|1|10)$
$a_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
$ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:P(4|-1|2)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 4+6\cdot (-1)-2\cdot 2-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{2}{7} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{2}{7}\: LE $
$a_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
$ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:Q(-4|6|4)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-4)+6\cdot 6-2\cdot 4-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \frac{12}{7} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{12}{7}\: LE $
$a_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
$ \:\:\:\: $ Seien: $E:3x+6y-2z=4$ $\:$ und $\:$ $\:R(6|1|10)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+6y-2z-4=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{((R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+6\cdot 1-2\cdot 10-4} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\6\\-2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} =0 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $
b) $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} =0 $ $\:$ $ \:P(2|2|3), \:Q(4|-1|0), \:R(8|3|2) $
Lösung$b_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:P(2|2|3) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ Multipliziere aus:
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
$\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
$\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 2+4\cdot 2+(-2)\cdot 3-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-32}{6} \end{vmatrix} = \frac{16}{3} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{16}{3}\: LE $
$b_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:Q(4|-1|0) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ Multipliziere aus:
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
$\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
$\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 4+4\cdot (-1)+(-2)\cdot 0-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-30}{6} \end{vmatrix} = 5 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=5\: LE $
$b_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $ und $\:R(8|3|2) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ Multipliziere aus:
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 4x+4y-2z $
$\qquad\qquad$ $ \begin{pmatrix} 9\\0\\-3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} = 9\cdot 4+0\cdot 4+(-3)\cdot (-2) =42 $
$\qquad\qquad$ Setzte zusammen für die Koordinatenform ein:
$\qquad\qquad \longrightarrow $ Die Koordinatenform lautet: $ 4x+4y-2z=42 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 4\\4\\-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:4x+4y-2z-42=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{4\cdot 8+4\cdot 3+(-2)\cdot 2-42} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-2}{6} \end{vmatrix} = \frac{1}{3} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=\frac{1}{3}\: LE $
$c)$ $ E:3x+4y-12z=6,\: P(1|2|5),\: Q(-2|4|1),\: R(6|3|2) $
Lösung$c_1)$ Abstand $P$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:P(1|2|5) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(P,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 1+4\cdot 2-12\cdot 5-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-55}{13} \end{vmatrix} = \frac{55}{13} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(P,E)}=\frac{55}{13}\: LE $
$c_2)$ Abstand $Q$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:Q(-2|4|1) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(Q,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot (-2)+4\cdot 4-12\cdot 1-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{-8}{13} \end{vmatrix} = \frac{8}{13} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $Q$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(Q,E)}=\frac{8}{13}\: LE $
$c_3)$ Abstand $R$ von der Ebene $E$
$\:\:\:\:$ Seien: $E:3x+4y-12z=6\:$ und $\:R(6|3|2) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Normalenvektor\: n_E\: der\: Ebene\: E\: ablesen $
$\qquad$ $ \vec{n_E}= \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $ E:3x+4y-12z-6=0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d_{(R,E)}= \begin{vmatrix} \frac{3\cdot 6+4\cdot 3-12\cdot 2-6} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 3\\4\\-12 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \frac{0}{13} \end{vmatrix} = 0 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $R$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(R,E)}=0\: LE $ -
Gegeben seien die drei Punkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$.
a) Bestimme eine Normalenform der Ebene E, die durch diese drei Punkte gegeben ist.
b) Bestimme die Hessesche Normalenform von $E$ und berechne den Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.
LösungPunkte $A(1|1|1),\: B(3|2|-2),\: C(-1|0|3)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform\: ein $
$\qquad$ $ E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 3-1\\2-1\\-2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-1\\0-1\\3-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Normalenform\: ein $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 2-(-3)\cdot (-1)\\ (-3)\cdot (-2)-2\cdot 2\\ 2\cdot (-1)-1\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Die Normalenform (Normalengleichung) von $E$ lautet:
$\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: die\: Hessesche\: Normalenform $
$\qquad$ $ E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
$\qquad$ $ \iff E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bestimme\: der\: Abstand\: des\: Koordinatenursprungs\: O(0|0|0)\: von\: E $
$\qquad$ $ d_{(O,E)}= \begin{vmatrix} – \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -1\\2\\0 \end{pmatrix} \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} (-1+2) = \frac{1}{\sqrt{5}} $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $0$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_{(O,E)}=\frac{1}{\sqrt{5}} \: LE $
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PyramideLösung
$a) $ Höhe von $D$ über $ABC:\:\: E_1:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_1 $
$\qquad$ $ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5-4\\4-(-1)\\0-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_1 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot 1-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot (-5)-1\cdot 1\\ 1\cdot 3-5\cdot (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 8x+4y+28z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 4\cdot 8+(-1)\cdot 4+1\cdot 28 =56 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_1: 8x+4y+28z=56\:\: |:4 $
$\qquad \iff E_1:2x+y+7z=14 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_1}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_1}}= \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_1:2x+y+7z-14=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {2\cdot 3+1\cdot 3+7\cdot 6-14} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 5,0350
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx5,04 \: LE $
$b) $ Höhe von $B$ über $ACD:\:\: E_2:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AC}+s\cdot \overrightarrow{AD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_2 $
$\qquad$ $ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-4\\3-(-1)\\6-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_2 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 5-1\cdot 4\\ 1\cdot (-1)-(-5)\cdot 5\\ (-5)\cdot 4-3\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_2: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 11x+24y-17z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 4\cdot 11+(-1)\cdot 24+1\cdot (-17) =3 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_2: 11x+24y-17z=3 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_2}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_2}}= \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_2:11x+24y-17z-3=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {11\cdot 5+24\cdot 4+(-17)\cdot 0-3} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,7133
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,71 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_1 $
$\qquad$ $ E_1: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 5-4\\4-(-1)\\0-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_1 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} 1\\5\\-1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\cdot 1-(-1)\cdot3\\ (-1)\cdot (-5)-1\cdot 1\\ 1\cdot 3-5\cdot (-5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_1: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 8x+4y+28z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 8\\4\\28 \end{pmatrix} = 4\cdot 8+(-1)\cdot 4+1\cdot 28 =56 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_1: 8x+4y+28z=56\:\: |:4 $
$\qquad \iff E_1:2x+y+7z=14 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_1}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_1}}= \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_1:2x+y+7z-14=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {2\cdot 3+1\cdot 3+7\cdot 6-14} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\\7 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 5,0350
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx5,04 \: LE $
$b) $ Höhe von $B$ über $ACD:\:\: E_2:\vec{x}= \overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AC}+s\cdot \overrightarrow{AD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_2 $
$\qquad$ $ E_2: \vec{x}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-4\\2-(-1)\\2-1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-4\\3-(-1)\\6-1 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_2 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -5\\3\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 5-1\cdot 4\\ 1\cdot (-1)-(-5)\cdot 5\\ (-5)\cdot 4-3\cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_2: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 11x+24y-17z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 4\\-1\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} = 4\cdot 11+(-1)\cdot 24+1\cdot (-17) =3 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_2: 11x+24y-17z=3 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_2}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_2}}= \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_2:11x+24y-17z-3=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {11\cdot 5+24\cdot 4+(-17)\cdot 0-3} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 11\\24\\-17 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,7133
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,71 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
$c) $ Höhe von $A$ über $BCD:\:\: E_3:\vec{x}= \overrightarrow{OB}+r\cdot \overrightarrow{BC}+s\cdot \overrightarrow{CD}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Parameterform\: von\: E_3 $
$\qquad$ $ E_3: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-5\\2-4\\2-0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 3-5\\3-4\\6-0 \end{pmatrix} = \underline{ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} } $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Koordinatenform\: von\: E_3 $
$\qquad$ Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:
$\qquad$ $ d= \begin{pmatrix} -6\\-2\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2\\-1\\6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)\cdot 6-2\cdot (-1)\\ 2\cdot (-2)-(-6)\cdot 6\\ (-6)\cdot (-1)-(-2)\cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$\qquad$ Der Ortsvektor: $\vec{a}= \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} $
$\qquad \iff $ Die Normalengleichung lautet: $ E_3: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: aus $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = -10x+32y+2z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 5\\4\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} = 5\cdot (-10)+4\cdot 32+0\cdot 2 =78 $
$\qquad$ Setzte zusammen:
$\qquad \iff $ Die Koordinatenform lautet: $ E_3: -10x+32y+2z=78 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Lies\: den\: Normalenvektor\: n_{E_3}\: der\: Ebene\: $
$\qquad$ $ \vec{n_{E_3}}= \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebenengleichung\: um $
$\qquad$ $E_3:-10x+32y+2z-78=0$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: d\: mit\: der\: Hesseschen\: Normalenform $
$\qquad$ $ h=d_D= \begin{vmatrix} \frac {-10\cdot 4+32\cdot (-1)+2\cdot 1-78} { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\32\\2 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } \end{vmatrix} $ = 4,4067
$\:\:\:$ Der Abstand $d$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d_D\approx4,41 \: LE $
Vektorrechnung - Pyramide
Maths-High-School-6-1
Lösung
Lies die Punkte ab:
$ A \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ B \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ C \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ D \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ S \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Bestimme\: die\: Gleichungen\: der\: Geraden\: der\: vier\: Pyramidenkanten $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ AS \longrightarrow g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50-0\\50-0\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ BS \longrightarrow h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50-0\\50-100\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ CS \longrightarrow i: \vec{x}= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -50+100\\50-100\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ DS \longrightarrow j: \vec{x}= \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -50+100\\50-0\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 50\\50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Bestimme\: P $
$ \:\:\:\:\:\: $ Mit $z=10m\: \longrightarrow\: P \begin{pmatrix} x\\y\\10 \end{pmatrix} , $ da sind nur noch $x$ und $y$ zu bestimmen.
$ \:\:\:\:\:\: $ $P$ ist den Schnittpunkt zwischen den Geraden $AP$ und $BS$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \iff \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} x-0\\y-0\\10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: als\: Lineares\: Gleichungssystem\: (LGS) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \begin{cases} 0 &+ &x \cdot r &= 0 &- &50 \cdot s \:\:\:\: (I)\\ 0 &+ &y \cdot r &= 100 &- &50 \cdot s \:\:\:\: (II)\\ 0 &+ &10 \cdot r &= 0 &+ &50 \cdot s \:\:\:\: (III) \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: (III)\: in\: (I)\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow\:\: x\cdot r=-10\cdot r \qquad |\: :r \qquad \longrightarrow \underline{x=-10} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ Für $x=-10$, $r=1$ und $s=\frac{1}{5}=0.2$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: und\: s\: in\: (II)\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow\:\: y\cdot 1=100-50\cdot \frac{1}{5} \qquad \longrightarrow \underline{y=90} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large P \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\: $ $ \qquad $ Gleichung der Geraden $AP$: $\overrightarrow{AP}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -10-0\\90-0\\10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bilde\: die\: Steigung\: von\: P:\: (Sinus\: des\: Steigungswinkels) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $m_P= \large \frac { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } =\frac{\sqrt{83}}{83} =0,1097 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Bestimme\: die\: Gleichung\: der\: entsprechenden\: Geraden\: PQ\: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Bilde die Differenz von P, da P auf PQ liegt
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ PQ= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Bestimme\: die\: Gleichung\: der\: entsprechenden\: Geraden\: PQ\: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Bilde die Differenz von P, da P auf PQ liegt
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Steigung von $PQ=AP=\frac{\sqrt{83}}{83}$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Gleichung\: von\: Q $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ m_Q=\frac { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } = \large \frac{\sqrt{83}}{83} $
$ \large \iff $ $ \large \frac { (50r-10)\cdot 1 } { (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: (\sqrt{1^2}) } $
$ \large \iff $ $ \large \frac { 50r-10 } { (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: 1 } = \frac{\sqrt{83}}{83} $
$ \large \iff $ $ 83\cdot (50r-10)=\sqrt{83}\cdot (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: (1) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: nach\: r $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ 8000r\cdot (25r-9)=0\: \longrightarrow\: \begin{cases} r=0\\r=\frac{9}{25}=0,36 \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ Q= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + 0,36 \cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff\: $ Im Punkt $Q \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} $ endet die Rampe.
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welchem\: Punkt\: erreicht\: die\: Rampe\: die\: Höhe\: von\: 15m? $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\: $ Setzte:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\15 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow\: x=-55\:\: |\:\: y=85\:\: |\:\: r=0,625 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow $ Im Punkt $ \begin{pmatrix} -55\\85\\15 \end{pmatrix} $ erreicht die Rampe die Höhe von $15m.$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welchen\: Punkte\: durchstoßen\: die\: Pyramidenkanten\: eine\: Höhe\: von\: 20m? $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $AS$:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $AS:\vec{x}=$ $ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff $ $ \begin{cases} -50r=x\\ 50r=y\\ 50r=20 \qquad |\: r=\frac{2}{5}=0,4 \:\:|\:\: -50\cdot \frac{2}{5}=-20=x \:\:|\:\: 50\cdot \frac{2}{5}=20=y \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow AS = \begin{pmatrix} -20\\20\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $BS$:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $AS:\vec{x}=$ $ \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff $ $ \begin{cases} -50s &=x\\ 100-50s &=y\\ 50s &=20 \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ $ \qquad |\: s=\frac{2}{5}=0,4 \:\:|\:\: -50\cdot \frac{2}{5}=-20=x \:\:|\:\: 100-50\cdot \frac{2}{5}=20=y $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow BS = \begin{pmatrix} -20\\80\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $CS$ und $DS$: Gleiches Verfahren
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow CS = \begin{pmatrix} -80\\80\\20 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ und $ \:\:\: $ $ DS= \begin{pmatrix} -80\\20\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welcher\: Höhe\: beträgt\: der\: horizontale\: Querschnitt\: der\: Pyramide\: 25m²? $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Da $A=a\cdot a=25m^2 \longrightarrow$ Grundseitenlänge $a=5m$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ Mit dem Strahlensatz: $\frac{h_1}{5}=\frac{50}{100} \longrightarrow h_1=2,5m$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ Also, $50m-2,5m=47,5m$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \longrightarrow$ In Höher $47,5m$ beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide $25m². $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Vom Punkt $T \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} $ fällt Licht in Richtung $ \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} .$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize \textcolor{red}{e)} \: Zeige,\: dass\: vom\: Punkt\: T\: je\: ein\: Lichtstrahl\: auf\: die\: Punkte\: B\: und\: S\: fällt. $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Prüfe ob $B$ auf $T$ liegt:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte: $ \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: in\: Lineares\: Gleichungssystem\: um\: (LGS) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{cases} 0 &= 50-r-ar \qquad\:\:\:\:\:\:\: (I)\\ 100 &= -50+3r-ar \qquad (II)\\ 0 &= 100-2r+ar \qquad (III) \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $(I)+(III): 0=150-3r \: \longrightarrow r=50$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r=50$ in (II) ein
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 100=-50+3(50)-a(50) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 0=-50a \:\: \longrightarrow a=0 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r$ und $a$ in $ \: \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + 50\cdot \begin{pmatrix} -1-0\\3-0\\0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Für $r=50$ und $a=0$ liegt $B$ auf $T.$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Prüfe ob $S$ auf $T$ liegt:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte: $ \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: in\: Lineares\: Gleichungssystem\: um\: (LGS) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{cases} -50 &= 50-r-ar \qquad\:\:\:\:\:\:\: (I)\\ 50 &= -50+3r-ar \qquad (II)\\ 50 &= 100-2r+ar \qquad (III) \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $(I)-(II): -200=-4r \: \longrightarrow r=50$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r=50$ in (III) ein
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: -50=-2(50)-50a $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 50=-50a \:\: \longrightarrow a=-1 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r$ und $a$ in $ \: \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + 50\cdot \begin{pmatrix} -1+1\\3+1\\-1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\150\\-50 \end{pmatrix} $
$ A \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ B \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ C \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ D \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} , $ $\:\:$ $ S \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Bestimme\: die\: Gleichungen\: der\: Geraden\: der\: vier\: Pyramidenkanten $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ AS \longrightarrow g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50-0\\50-0\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ BS \longrightarrow h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50-0\\50-100\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ CS \longrightarrow i: \vec{x}= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -50+100\\50-100\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ Gerade $ DS \longrightarrow j: \vec{x}= \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} -50+100\\50-0\\50-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -100\\0\\0 \end{pmatrix} + u\cdot \begin{pmatrix} 50\\50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Bestimme\: P $
$ \:\:\:\:\:\: $ Mit $z=10m\: \longrightarrow\: P \begin{pmatrix} x\\y\\10 \end{pmatrix} , $ da sind nur noch $x$ und $y$ zu bestimmen.
$ \:\:\:\:\:\: $ $P$ ist den Schnittpunkt zwischen den Geraden $AP$ und $BS$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \iff \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} x-0\\y-0\\10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: als\: Lineares\: Gleichungssystem\: (LGS) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \begin{cases} 0 &+ &x \cdot r &= 0 &- &50 \cdot s \:\:\:\: (I)\\ 0 &+ &y \cdot r &= 100 &- &50 \cdot s \:\:\:\: (II)\\ 0 &+ &10 \cdot r &= 0 &+ &50 \cdot s \:\:\:\: (III) \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: (III)\: in\: (I)\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow\:\: x\cdot r=-10\cdot r \qquad |\: :r \qquad \longrightarrow \underline{x=-10} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ Für $x=-10$, $r=1$ und $s=\frac{1}{5}=0.2$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: und\: s\: in\: (II)\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow\:\: y\cdot 1=100-50\cdot \frac{1}{5} \qquad \longrightarrow \underline{y=90} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large P \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\: $ $ \qquad $ Gleichung der Geraden $AP$: $\overrightarrow{AP}= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -10-0\\90-0\\10-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Bilde\: die\: Steigung\: von\: P:\: (Sinus\: des\: Steigungswinkels) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $m_P= \large \frac { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } =\frac{\sqrt{83}}{83} =0,1097 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Bestimme\: die\: Gleichung\: der\: entsprechenden\: Geraden\: PQ\: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Bilde die Differenz von P, da P auf PQ liegt
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ PQ= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Bestimme\: die\: Gleichung\: der\: entsprechenden\: Geraden\: PQ\: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Bilde die Differenz von P, da P auf PQ liegt
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Steigung von $PQ=AP=\frac{\sqrt{83}}{83}$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Gleichung\: von\: Q $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ m_Q=\frac { \large \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 50r-90\\-50r+10\\50r-10 \end{pmatrix} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \end{vmatrix} } = \large \frac{\sqrt{83}}{83} $
$ \large \iff $ $ \large \frac { (50r-10)\cdot 1 } { (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: (\sqrt{1^2}) } $
$ \large \iff $ $ \large \frac { 50r-10 } { (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: 1 } = \frac{\sqrt{83}}{83} $
$ \large \iff $ $ 83\cdot (50r-10)=\sqrt{83}\cdot (\sqrt{(50r-90)^2+(-50r+10)^2+(50r-10)^2}) \: \cdot \: (1) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: nach\: r $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ 8000r\cdot (25r-9)=0\: \longrightarrow\: \begin{cases} r=0\\r=\frac{9}{25}=0,36 \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ Q= \begin{pmatrix} -100\\100\\0 \end{pmatrix} + 0,36 \cdot \begin{pmatrix} 50\\-50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff\: $ Im Punkt $Q \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} $ endet die Rampe.
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welchem\: Punkt\: erreicht\: die\: Rampe\: die\: Höhe\: von\: 15m? $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\: $ Setzte:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} +r \cdot \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} -82\\82\\18 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -10\\90\\10 \end{pmatrix} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\15 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow\: x=-55\:\: |\:\: y=85\:\: |\:\: r=0,625 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow $ Im Punkt $ \begin{pmatrix} -55\\85\\15 \end{pmatrix} $ erreicht die Rampe die Höhe von $15m.$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welchen\: Punkte\: durchstoßen\: die\: Pyramidenkanten\: eine\: Höhe\: von\: 20m? $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $AS$:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $AS:\vec{x}=$ $ \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff $ $ \begin{cases} -50r=x\\ 50r=y\\ 50r=20 \qquad |\: r=\frac{2}{5}=0,4 \:\:|\:\: -50\cdot \frac{2}{5}=-20=x \:\:|\:\: 50\cdot \frac{2}{5}=20=y \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow AS = \begin{pmatrix} -20\\20\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $BS$:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $AS:\vec{x}=$ $ \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -50\\-50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \iff $ $ \begin{cases} -50s &=x\\ 100-50s &=y\\ 50s &=20 \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ $ \qquad |\: s=\frac{2}{5}=0,4 \:\:|\:\: -50\cdot \frac{2}{5}=-20=x \:\:|\:\: 100-50\cdot \frac{2}{5}=20=y $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow BS = \begin{pmatrix} -20\\80\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Stelle die Geradengleichung für $CS$ und $DS$: Gleiches Verfahren
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow CS = \begin{pmatrix} -80\\80\\20 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ und $ \:\:\: $ $ DS= \begin{pmatrix} -80\\20\\20 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize In\: welcher\: Höhe\: beträgt\: der\: horizontale\: Querschnitt\: der\: Pyramide\: 25m²? $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Da $A=a\cdot a=25m^2 \longrightarrow$ Grundseitenlänge $a=5m$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ Mit dem Strahlensatz: $\frac{h_1}{5}=\frac{50}{100} \longrightarrow h_1=2,5m$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad\qquad $ Also, $50m-2,5m=47,5m$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \longrightarrow$ In Höher $47,5m$ beträgt der horizontale Querschnitt der Pyramide $25m². $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Vom Punkt $T \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} $ fällt Licht in Richtung $ \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} .$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize \textcolor{red}{e)} \: Zeige,\: dass\: vom\: Punkt\: T\: je\: ein\: Lichtstrahl\: auf\: die\: Punkte\: B\: und\: S\: fällt. $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Prüfe ob $B$ auf $T$ liegt:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte: $ \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: in\: Lineares\: Gleichungssystem\: um\: (LGS) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{cases} 0 &= 50-r-ar \qquad\:\:\:\:\:\:\: (I)\\ 100 &= -50+3r-ar \qquad (II)\\ 0 &= 100-2r+ar \qquad (III) \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $(I)+(III): 0=150-3r \: \longrightarrow r=50$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r=50$ in (II) ein
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 100=-50+3(50)-a(50) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 0=-50a \:\: \longrightarrow a=0 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r$ und $a$ in $ \: \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + 50\cdot \begin{pmatrix} -1-0\\3-0\\0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\100\\0 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Für $r=50$ und $a=0$ liegt $B$ auf $T.$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Prüfe ob $S$ auf $T$ liegt:
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte: $ \begin{pmatrix} -50\\50\\50 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -1-a\\3-a\\a-2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: in\: Lineares\: Gleichungssystem\: um\: (LGS) $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \begin{cases} -50 &= 50-r-ar \qquad\:\:\:\:\:\:\: (I)\\ 50 &= -50+3r-ar \qquad (II)\\ 50 &= 100-2r+ar \qquad (III) \end{cases} $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $(I)-(II): -200=-4r \: \longrightarrow r=50$
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r=50$ in (III) ein
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: -50=-2(50)-50a $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ $ \Longrightarrow \:\: 50=-50a \:\: \longrightarrow a=-1 $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \qquad $ Setzte $r$ und $a$ in $ \: \begin{pmatrix} 50\\-50\\100 \end{pmatrix} + 50\cdot \begin{pmatrix} -1+1\\3+1\\-1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\150\\-50 \end{pmatrix} $
Winkel und Abstände II
II- Abstände – Lotfußpunktverfahren
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden $g$ ist gleich dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{PF}$, wobei $F$ der Fußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$ ist.
Berechnung
Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:
- Aufstellen der Gleichung einer Hilfsebene $E,$ die durch $P$ geht und zu $g$ orthogonal ist,
- Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $E$ und $g,$
- Berechnung des Betrages von $\overrightarrow{PF}.$
Beispielaufgaben
Berechne jeweils den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g.$
-
$
P\begin{pmatrix}-2\\2\\1
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\3\\-1
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
0\\2\\1
\end{pmatrix}
$
Lösung$ P\begin{pmatrix}-2\\2\\1 \end{pmatrix}, \:\: g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\-1 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize F\: liegt\: auf\: der\: Geraden\: g,\: vektoriell\: ausgedrückt: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{OF}$ $=$ $ \begin{pmatrix} 1 &+ &0 \cdot r\\ 3 &+ &2 \cdot r\\ -1 &+ &1 \cdot r \end{pmatrix} $
$ \qquad $ und den Vektor von $F$ nach $P:$
$ \:\:\:\:\:\: $ $\overrightarrow{FP}=P-F$ $=$ $ \begin{pmatrix} -2 &- &(1+0\cdot r)\\ 2 &- &(3+2\cdot r)\\ 1 &- &((-1)+1\cdot r) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: Richtungsvektor\: von\: g\: orthogonal\: zum\: Vektor\: \overrightarrow{FP}: $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \Longrightarrow g \perp \overrightarrow{FP} \: \iff \: \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: das\: Skakarprodukt $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3\\-1-2r\\2-r \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ 0\cdot (-3)+2\cdot (-1-2r)+1\cdot(2-r)=0 $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\: \iff $ $ -5r=0\:\: \longrightarrow\:\: r=0\:\: (Geradenparameter) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{OF}\: ein $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} 1 &+ &0\cdot 0\\ 3 &+ &2\cdot 0\\ -1 &+ &1\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \:\: (Lotfußpunkt\: F) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: r\: in\: \overrightarrow{FP}\: ein $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ \overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3\\ -1-2\cdot 0\\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \:\: (Vektor\: FP) $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Abstand\: von\: g\: zu\: P $
$ \:\:\:\:\:\:\:\: $ $ d(g,P)=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+2^2}\approx3,74165 $
Der Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large |\overrightarrow{PF}|\approx3,42\: LE $ -
$
P\begin{pmatrix}
3\\5\\2
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
-2\\-3\\4
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
1\\-1\\3
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$|\overrightarrow{PF}|\approx9,30\: LE$ -
$
P\begin{pmatrix}
3\\2\\-1
\end{pmatrix},
\:\:
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
+r
\begin{pmatrix}
2\\4\\2
\end{pmatrix}
$
$\:\:$$|\overrightarrow{PF}|\approx4,45\: LE$
$\:\:\:$Unter dem Abstand $d$ eines Punktes P von einer Ebene $E$ versteht man die Länge des Lotes
$\:\:\:$von $P$ auf die Ebene, also die Länge der Strecke von $P$ bis zum Fußpunkt $F$ des Lotes.
Berechnung
Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten:
- Aufstellen der zu $E$ orthogonalen Lotgerade $g$ durch $P,$
- Berechnung des Schnittpunktes $F$ von $g$ und $E,$
- Berechnung des Betrags des Vektor $\overrightarrow{PF}.$
Tipp
Beispielaufgaben
-
Bestimme den Abstand des Punktes $P\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ von der Ebene $E:3x-2y+2z=3.$
Lösung
$ P \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: 3x-2y+2z=3 $ $ \longrightarrow n_E \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $
$ \qquad $ $ 3(2+3t)-2(4-2t)+2(1+2t)=3 $
$ \qquad $ $ \iff 6+9t-8+4t+2+4t=3 $
$ \qquad $ $ \iff 17t=3 \longrightarrow t=\frac{3}{17} \approx0,1765 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$ \vec{f} = \begin{pmatrix} 2\\4\\1 \end{pmatrix} + 0,1765\cdot \begin{pmatrix} 3\\-2\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+0,1765 \cdot 3\\ 4+0,1765 \cdot (-2)\\ 1+0,1765 \cdot 2 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 2,529\\ 3,647\\ 1,352 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF}$
$ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 2,529-2\\ 3,647-4\\ 1,353-1 \end{pmatrix} \longrightarrow \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0.529\\ -1,647\\ 0,353 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand $
$ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(2,529-2)^2+(3,647-4)^2+(1,353-1)^2}=0,7273 $
Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d \approx0.73 \: LE $ -
Gesucht ist der Abstand des Punktes
$P
\begin{pmatrix}
5\\8\\9
\end{pmatrix}
$
von der Ebene
$E:
\begin{bmatrix}
\vec{x}-
\begin{pmatrix}
2\\0\\2
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\3\\4
\end{pmatrix}
=0.
$
Lösung
$P \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} $ $\:$ und $\:$ $E: \begin{bmatrix} \vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} =0 $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Wandle\: die\: Normalenform\: von\: E\: in\: Koordinatenform\: um $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2x+3y+4z $
$\qquad$ $ \begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = 2\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 4=12 $
$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow E:2x+3y+4z=12 \:\:\:\: und \:\:\:\: n_E=\begin{pmatrix}2\\3\\4 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$\qquad$ $ h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene \: E $
$\qquad\qquad$ $ 2(5+2t)+3(8+3t)+4(9+4t)=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 10+4t+24+9t+36+16t=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 29t+70=12 \qquad |\: -70 $
$\qquad\qquad$ $ \iff 29t=-58 \qquad\:\:\:\:\:\:\: |\: :29 \:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: t=-2 $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$\qquad$ $ \vec{f}= \begin{pmatrix} 5\\8\\9 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4\\8-6\\9-8 \end{pmatrix} $ $ \longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\: \overrightarrow{PF} $
$\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}- \vec{P} = \begin{pmatrix} 1-5\\2-8\\1-9 \end{pmatrix} $ $\:\:\:\:$ $\longrightarrow$ $\:\:\:\:$ $ \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -4\\-6\\-8 \end{pmatrix} $
$\:\:$ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-8)^2}=10,770 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d \approx10.77 \: LE $ -
Berechne den Abstand des Punktes $P(10|-1|-4)$ von der Ebene
$E:2x-8y+16z=45$
$\:\:$$F(10,5|-3|0)$ $d=|\overrightarrow{PF}|=4,5\: LE$ -
Gegeben ist die Ebene $E$ durch die Punkte $A(2|4|3),$ $B(-1|5|3)$ und $C(3|2|3).$ Berechne den Abstand des Punktes $P(6|8|7).$
Lösung$A(2|4|3),$ $\:\:B(-1|5|3)\:\:$ und $\:\:C(3|2|3)$ $\:\:\:\:|\:\:\:\:$ $P(6|8|7)$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: die\: Ebene\: E\: in\: Parameterform $
$ \qquad $ $ E:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Koordinatenform\: von\: E $
$ \qquad $ Richtungsvektor: $ \vec{a}= \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Normalenvektor:
$ \qquad $ Berechne das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
$ \qquad $ $ \vec{n}= \begin{pmatrix} -3\\1\\0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\-2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 &- &0\cdot (-2)\\ 0\cdot 1 &- &0\cdot (-3)\\ (-3)\cdot (-2) &- &1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $
$ \qquad $ Die Normalenform lautet: $ E: \begin{bmatrix} \vec{x} – \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0 $
$ \qquad $ Wandle in Koordinatenform um: Multipliziere aus
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =0x+0y+5z $
$ \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} =15 $
$ \qquad $ Die Koordinatenform lautet: $0x+0y+5z=15$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Stelle\: eine\: Hilfsgerade/Lotgerade\: mit\: P\: und\: n_E $
$ \qquad $ $ h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Schnittpunkt\: Lotgeraden\: mit\: der\: Ebene\: E $
$ \qquad \qquad $ $ 5(7+5t)=15 \qquad\:\:\:\:| :5 $
$ \qquad \qquad $ $ \iff 7+5t=3 \qquad | -7 $
$ \qquad \qquad $ $ \iff 5t=-4 \:\:\longrightarrow\:\: t=-\frac{4}{5} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Koordinaten\: des\: Lotfußpunkts:\: Setzte\: t\: in\: Lotgerade\: ein $
$\qquad$ $ \vec{f} = \begin{pmatrix} 6\\8\\7 \end{pmatrix} + (-\frac{4}{5}) \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+0\\8+0\\7+(-\frac{4}{5}\cdot 5) \end{pmatrix} $ $\longrightarrow \vec{f}= \begin{pmatrix} 6\\8\\3 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Vektor\:$ $\overrightarrow{PF} $
$\qquad$ $ \overrightarrow{PF} = \vec{f}-\vec{P} = \begin{pmatrix} 6-6\\8-8\\3-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} \: \longrightarrow \: \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} 0\\0\\-4 \end{pmatrix} $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Abstand\: d $
$\qquad$ $ d=|\overrightarrow{PF}| = \sqrt{0^2+0^2+(-4)^2}=4 $
$\:\:\:$ Der Abstand zwischen $P$ und $E$ ist:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large d=4\: LE $
Winkel und Abstände I
I- Winkel
- Winkel zwischen zwei Geraden $g_1$ und $g_2$
- Winkel zwischen eine Gerade $g$ und eine Ebene $E$
- Winkel zwischen zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$
Schneiden sich zwei Geraden $g:\vec{x}=\vec{p}+r\cdot \vec{u}$ und $h:\vec{x}=\vec{q+s\cdot\vec{v}}$, dann gilt für ihren Schnittwinkel $\alpha$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|} $.
Dabei ist der Schnittwinkel immer der kleinere der beiden Scheitelwinkel, die entstehen, wenn zwei Geraden sich schneiden.
Skizze
Beispielaufgaben
Berechne Schnittpunkt und Schnittwinkel der beiden Geraden
$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} . $
Lösung
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
0\\1\\3
\end{pmatrix}
+r\cdot
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
h:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
1\\3\\2
\end{pmatrix}
+s\cdot
\begin{pmatrix}
3\\2\\-5
\end{pmatrix}
$
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.
Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} $
Verwandle in Gleichungssystem:
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 0+1\cdot r &=\:\:1+3\cdot s \\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:2+(-5)\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} r &=\:\:1+3\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 3-1\cdot r &=\:\:2-5\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I)\: in\: (II)\: oder\: (III)\: ein $
$ \qquad $ $In\: (II)$ $\Longrightarrow$ $1+2(1+3s)=3+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longleftrightarrow$ $3+6s=3+2s$ $\qquad | -3/+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $s=0$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longrightarrow$ $r=1+3(0)$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $r=1$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=0\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $
$ \qquad $ $In\: g:$
$ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \\ \end{pmatrix} +(1)\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 0+1\\1+2\\3-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittpunkt:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittwinkel:
Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:
$ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ 1\cdot 3+2\cdot 2-1\cdot (-5) $ $ \Large = $ $12$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} $ $ \Large = $ $2,449$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{3^2+2^2+(-5)^2} $ $ \Large = $ $6,164$
$ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:
$ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{12}{2,449\: \cdot \:6,164}) $ $ \Large = $ $37,371^{\circ}$
Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=37,371^{\circ} $
Die Richtungsvektoren sind nicht linear abhängig. Also, entweder schneiden sie sich oder sie sind windschief.
Vektorgleichung (Einsatz $g=h$):
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \end{pmatrix} $
Verwandle in Gleichungssystem:
$ \Longleftrightarrow $ $ \begin{cases} 0+1\cdot r &=\:\:1+3\cdot s \\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \\ 3+(-1)\cdot r &=\:\:2+(-5)\cdot s \\ \end{cases} $ $ \Longrightarrow $ $ \begin{cases} r &=\:\:1+3\cdot s \qquad\:\:\: (I)\\ 1+2\cdot r &=\:\:3+2\cdot s \qquad\:\:\: (II)\\ 3-1\cdot r &=\:\:2-5\cdot s \qquad \:\:\: (III) \end{cases} $
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: (I)\: in\: (II)\: oder\: (III)\: ein $
$ \qquad $ $In\: (II)$ $\Longrightarrow$ $1+2(1+3s)=3+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longleftrightarrow$ $3+6s=3+2s$ $\qquad | -3/+2s$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $s=0$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: s\: in\: (I)\: ein $
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\Longrightarrow$ $r=1+3(0)$
$ \qquad\qquad\:\:\:\:\: $ $\longrightarrow$ $r=1$
$ \qquad $ $ \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: r=1\: und\: s=0\: in\: Geraden\: g\: oder\: h\: ein $
$ \qquad $ $In\: g:$
$ \qquad $ $ \Large s= $ $ \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \\ \end{pmatrix} +(1)\cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 0+1\\1+2\\3-1 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittpunkt:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \Large s \begin{pmatrix} 1\\3\\2 \\ \end{pmatrix} $
Schnittwinkel:
Benutze die Richtungsvektoren beiden Geraden:
$ \qquad $ Berechne das Skalarprodukt der Richtungsvektoren:
$ \qquad\qquad \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix} $ $ \Large = $ $ 1\cdot 3+2\cdot 2-1\cdot (-5) $ $ \Large = $ $12$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} $ $ \Large = $ $2,449$
$ \qquad $ Betrag von: $\begin{pmatrix} 3\\2\\-5 \\ \end{pmatrix}$ ist gleich $ \sqrt{3^2+2^2+(-5)^2} $ $ \Large = $ $6,164$
$ \qquad $ Also der Winkel ist gleich:
$ \qquad\qquad $ $ \alpha = cos^{-1} (\frac{12}{2,449\: \cdot \:6,164}) $ $ \Large = $ $37,371^{\circ}$
Schnittwinkel:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=37,371^{\circ} $
$\:\:$Schneiden sich eine Gerade $g:\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{u}$ und eine Ebene $E:\vec{n}\cdot[\vec{x}-\vec{a}]$, dann gilt für
$\:\:$ihren Schnittwinkel $\alpha$ zwischen dem Richtungsvektor der Gerade und dem Normalenvektor $\:\:$der Ebene:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|} $.
$\:\:$Ist $\vec{s}$ ein Richtungsvektor der Schnittgeraden zwischen der Ebene E und der zu E
$\:\:$senkrechten Ebene F, in der $g$ liegt, dann gilt für den Winkel $\beta$ zwischen $\vec{r}$ und $\vec{s}:$ $\:\:\beta=90{^\circ}-\alpha.$ Es gilt also
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ sin\: \beta = \large \frac{|\vec{r}\cdot\vec{n}|}{|\vec{r}|\cdot|\vec{n}|} $.
Beispielaufgabe
Berechne den Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E.$
$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\6\\-5 \end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ $\:\:$ und $\:\:$ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $
Lösung
$
g:\vec{x}
=
\begin{pmatrix}
3\\6\\-5
\end{pmatrix}
+t\cdot
\begin{pmatrix}
-1\\4\\3
\end{pmatrix}
$
$\:\:$
und
$\:\:$
$
E:
\begin{bmatrix}\vec{x}-
\begin{pmatrix}
2\\9\\3
\end{pmatrix}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
2\\-2\\3
\end{pmatrix}
$
Bestimme die Koordinatenform von $E$:
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: E\: aus $
$ \:\:\: $ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Skalarprodukt\: berechnen $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ 2x-2y+3z $ $\qquad | \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = 2\cdot2+9\cdot (-2)+3\cdot 3=-5 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: beiden\:Ergebnisse\: in\: die\: ausmultiplizierte\: Normalenform\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \longrightarrow $ die Koordinatenform: $E:2x-2y+3z=-5$
$ \qquad\:\:\:\:\:\: $ und den Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor\: (E)\: und\: Richtungsvektor\: (g) $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = -1\cdot 2+4\cdot (-2)+3\cdot 3=-1 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\:(E)\: und\: (g) $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{(-1)^2+4^2+3^2}=5,09 $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}=4,12 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $
$ \:\:\:\:\: $ $ \alpha=sin^{-1} \frac{|-1|}{5,09\: \cdot \:4,12}=2,73^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=2,73^{\circ} $
Bestimme die Koordinatenform von $E$:
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Multipliziere\: E\: aus $
$ \:\:\: $ $ E: \begin{bmatrix}\vec{x}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \end{bmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} =0 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Skalarprodukt\: berechnen $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ $=$ $ 2x-2y+3z $ $\qquad | \qquad $ $ \begin{pmatrix} 2\\9\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = 2\cdot2+9\cdot (-2)+3\cdot 3=-5 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: beiden\:Ergebnisse\: in\: die\: ausmultiplizierte\: Normalenform\: ein $
$ \:\:\:\:\:\: $ $ \longrightarrow $ die Koordinatenform: $E:2x-2y+3z=-5$
$ \qquad\:\:\:\:\:\: $ und den Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: Skalarprodukt\: von\: Normalenvektor\: (E)\: und\: Richtungsvektor\: (g) $
$ \:\:\: $ $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} = -1\cdot 2+4\cdot (-2)+3\cdot 3=-1 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: den\: Betrag\: von\:(E)\: und\: (g) $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} -1\\4\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{(-1)^2+4^2+3^2}=5,09 $
$ \:\:\: $ Betrag von $ \begin{pmatrix} 2\\-2\\3 \end{pmatrix} $ ist $ \sqrt{2^2+(-2)^2+3^2}=4,12 $
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: der\: Winkel $
$ \:\:\:\:\: $ $ \alpha=sin^{-1} \frac{|-1|}{5,09\: \cdot \:4,12}=2,73^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen der Gerade $g$ und der Ebene $E$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ ➪ $\:\:$ $ \large \alpha=2,73^{\circ} $
$\:\:\:$Schneiden sich zwei Ebenen $E_1$ und $E_2$, mit den Normalenvektor $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$,
$\:\:$dan gilt für den Schnittwinkel $\alpha$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ cos\: \alpha = \large \frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|} $.