Home » Mathematik
Category Archives: Mathematik
Motorradstunt - Lagebeziehungen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Sind die Masten als Stützen geeignet? Können Sie ggf. durch Kürzen
$\qquad \qquad$ oder Verlängern passend gemacht werden?
$\qquad \qquad$ Gegeben:
$\qquad\qquad\qquad$ Startpunkt: $ \large A \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} $, Endpunkt: $ \large B \begin{pmatrix} 220\\420\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Masten: $ \large S_{1} \begin{pmatrix} 70\\120\\20 \end{pmatrix} $, $ \large S_{2} \begin{pmatrix} 120\\220\\30 \end{pmatrix} $, $ \large S_{3} \begin{pmatrix} 170\\300\\60 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Bestimmung der Geradengleichung durch A und B
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g_{AB}= \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \left[ \begin{pmatrix} 220\\420\\80 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad$ Überprüfung der Stützpunkte
$\qquad\qquad\qquad$ – Für $\large S_{1}$: setzte $\large S_{1}=g_{AB}$ und finde $\large z_{1}$ und $\large t_{1}$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \Longrightarrow \begin{pmatrix} 70\\120\\z_{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + t_{1}\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \iff \begin{cases} 70 &=& 20 &+& 200t_{1} &\longrightarrow &t_{1}=0.25\\ \\ 120 &=& 20 &+& 400t_{1} &\longrightarrow &t_{1}=0.25\\ \\ z_{1} &=& 0 &+& 80\cdot 0.25 &\longrightarrow &z_{1}=20 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\large t_{1}=0.25$ und $\large z_{1}=20$ stimmen überein $\longrightarrow$ $\large S_{1}$ liegt auf der Geraden $\large g_{AB}$.
$\qquad\qquad\qquad$ – Für $\large S_{2}$: setzte $\large S_{2}=g_{AB}$ und finde $\large z_{2}$ und $\large t_{2}$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \Longrightarrow \begin{pmatrix} 120\\220\\z_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + t_{2}\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \iff \begin{cases} 120 &=& 20 &+& 200t_{2} &\longrightarrow &t_{2}=0.5\\ \\ 220 &=& 20 &+& 400t_{2} &\longrightarrow &t_{2}=0.5\\ \\ z_{2} &=& 0 &+& 80t_{2} &\longrightarrow &z_{2}=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $\large t_{2}=0.5$ und $\large z_{2}=40$, $\longrightarrow$ $\large S_{2}$ musste um $\large 10 \:m$ verlängert werden.
$\qquad\qquad\qquad$ – Für $\large S_{3}$: setzte $\large S_{3}=g_{AB}$ und finde $\large z_{3}$ und $\large t_{3}$:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \Longrightarrow \begin{pmatrix} 170\\300\\z_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\20\\0 \end{pmatrix} + t_{3}\cdot \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \iff \begin{cases} 170 &=& 20 &+& 200t_{3} &\longrightarrow &t_{3}=0.75\\ \\ 300 &=& 20 &+& 400t_{3} &\longrightarrow &t_{3}=0.7\\ \\ z_{3} &=& 0 &+& 80t_{3} &\longrightarrow \begin{cases} z_{3_{1}}=60\\ \\ z_{3_{2}}=56 \end{cases} \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Für $\large z_{3_{1}}$: $ \large \begin{cases} x_{3_{1}} &=& 20 &+& 200\cdot0.75 &=& 170\\ \\ y_{3_{1}} &=& 20 &+& 400\cdot0.75 &=& 320\\ \\ z_{3_{1}} &=& 60 \end{cases} \longrightarrow S_{3_{1}} \begin{pmatrix} 170\\320\\60 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Für $\large z_{3_{2}}$: $ \large \begin{cases} x_{3_{2}} &=& 20 &+& 400\cdot0.75 &=& 160\\ \\ y_{3_{2}} &=& 20 &+& 400\cdot0.75 &=& 300\\ \\ z_{3_{2}} &=& 56 \end{cases} \longrightarrow S_{3_{2}} \begin{pmatrix} 160\\300\\56 \end{pmatrix} $
$\qquad\qquad\qquad$ Man könnte den dritten Masten so verlegen: $ \large S_{3_{1}} \begin{pmatrix} 170\\320\\60 \end{pmatrix} $ oder $ \large S_{3_{2}} \begin{pmatrix} 160\\300\\56 \end{pmatrix} $.
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Wie lange dauert der Stunt, wenn das Motorrad mit $20\: km/h$ fährt?
$\qquad \qquad$ Gegeben: $ \large 20\: km/h = 5.556\: m/s $
$\qquad \qquad$ Betrag von $\large g_{AB}$ (Strecke $\Large s$): $ \Large s= \large \Bigg| \begin{pmatrix} 200\\400\\80 \end{pmatrix} \Bigg| = \sqrt{200^2+400^2+80^2}=454.3\:m $
$\qquad \qquad$ Mit $ \Large s=v\cdot t \Longrightarrow \Large v = \Large \frac{s}{t} = \Large \frac{454.3\:m}{5.556\:m/s} \longrightarrow \underline { \large v\approx81.77\:s } $
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Unter welchem Winkel steigt das Fahrseil an?
$\qquad\qquad$ Der Steigungswinkel $\Large \alpha$ ergibt sich aus:
$\qquad\qquad$ $ \large tan(\alpha) = \Large \frac{\Delta _z}{\sqrt{\Delta _{x^2} + \Delta _{y^2}}} = \Large \frac{80}{447.21} \large \approx0.179 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large \longrightarrow \underline { \alpha= \large tan^{-1}(0.179)=\large 10.148^{\circ} } $
Skaterbahn - Rekonstruktion von Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichung der Profilkurve, wenn die Übergangspunkte versatz- und
$\qquad \qquad$ knickfrei sein sollen.
$\qquad$ Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades der Form:
$\qquad \qquad $ $\large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad|\qquad \large f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(0)=0 \longrightarrow \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ f'(0)=0 \Longrightarrow \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ f(4)=4 \longrightarrow a\cdot(4)^3+b\cdot(4)^2+c\cdot4=4 \:\:(III)\\ \\ f'(4)=0 \longrightarrow 3a\cdot(4)^2+2b\cdot(4)+c=0 \:\:(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ 64a+16b=4 \:\:&(III)\\ \\ 48a+8b=0 \:\:&(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(III)-2\cdot(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4\\ \\ -96a &-& 16b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-32a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:4\:\:|\: :(-32)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: -\frac{4}{32}=-\frac{1}{8}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=-\frac{1}{8}$ in $(IV)$ ein $\Longrightarrow 48\cdot(-\frac{1}{8})+8b=0\:\:|(+6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 8b=-6\:\:|:8$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=\frac{3}{4}}$
$\qquad$ Die Gleichung der Profilkurve lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Bahn soll nirgends steiler als $60^{\circ}$ sein. Wird diese Auflage erfüllt?
$\qquad\:\:$ Maximale/Minimale Steigung an den Randpunkte $(\large x=4)$ und $(\large x=0)$
$\qquad \qquad$ $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\\ \\ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x\\ \\ f {\prime} {\prime} (x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Um die maximale Steigung zu finden, setze $f{\prime}{\prime}(x)=0$
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ f{\prime}{\prime}(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \longrightarrow $ $ \large x=2 $
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ Setze $ \large x=2 $ in $ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)= \large -\frac{3}{8}(2)^2+\frac{3}{2}(2)= \frac{3}{2}=1{,}5 \longrightarrow $ $ \underline{f{\prime}(2)=1,5} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)=1,5\:\: < \:\: tan(60^{\circ})\approx1,732 \iff 1,5<1,732 $
$\qquad\qquad\qquad$ Also, die Steigung der Kurve überschreitet nirgends den Wert $60^{\circ}$
$\qquad$ $ \Longrightarrow $ Die Bahn ist nirgends steiler als $60^{\circ}$. Die Auflage wird erfüllt.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ist die Funktion $f(x)=\large \frac{1}{4}x^2+x-1$ geeignet, a) und b) zu erfüllen?
$\qquad\:\:$ Analysiere die Steigungen der beiden Funktionen
$\qquad \qquad$ Ableitungen: $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x &(I)\\ \\ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1 &(II) \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Die Steigung sollte den Wert von $tan(60^{\circ})\approx1,732$ nicht überschreiten.
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ \begin{cases} Für\: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2},\:\: \Bigg\downarrow f{\prime}{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: f{\prime}{\prime}(x)=0 \iff \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0 \longrightarrow x=2\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: Die\:Steigung\:f'(2)=1,5<1,732\:(tan(60^{\circ}))\\ \\ \Longrightarrow Die\:Funktion\:(I)\:erfüllt \:die \:Bedingung, \:dass \:die \:Steigung \:nirgends \:steiler \:als \:60^{\circ} \:ist.\\ \\ \\ Für\: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1,\\ \Longrightarrow Die \:Funktion\: (II)\: hat\: eine\: lineare\: Ableitung,\: die\: ohne\: Intervallbeschränkung\: unendlich\\ groß\: werden\: kann\: und\: somit\: die\: Steigungsbedingung\: von \:60^{\circ}\: nicht\: erfüllt. \end{cases} $
$\qquad$ Daher ist die Funktion $ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1 $ nicht geeignet, a) und b) zu erfüllen.
$\qquad$ Skizze:
$\qquad$
Radschikane - Rekonstruktion von Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichung der Profilkurve, wenn die Übergangspunkte versatz- und
$\qquad \qquad$ knickfrei sein sollen.
$\qquad$ Es handelt sich um eine Funktion 3. Grades der Form:
$\qquad \qquad $ $\large f(x)=ax^3+bx^2+cx+d \qquad|\qquad \large f'(x)=3ax^2+2bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(0)=0 \longrightarrow \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ f'(0)=0 \Longrightarrow \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ f(4)=4 \longrightarrow a\cdot(4)^3+b\cdot(4)^2+c\cdot4=4 \:\:(III)\\ \\ f'(4)=0 \longrightarrow 3a\cdot(4)^2+2b\cdot(4)+c=0 \:\:(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{\large d=0} \:\:(I)\\ \\ \underline{\large c=0} \:\:(II)\\ \\ 64a+16b=4 \:\:&(III)\\ \\ 48a+8b=0 \:\:&(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(III)-2\cdot(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4\\ \\ -96a &-& 16b &=& 0\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-32a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:4\:\:|\: :(-32)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: -\frac{4}{32}=-\frac{1}{8}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=-\frac{1}{8}$ in $(IV)$ ein $\Longrightarrow 48\cdot(-\frac{1}{8})+8b=0\:\:|(+6)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: 8b=-6\:\:|:8$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=\frac{3}{4}}$
$\qquad$ Die Gleichung der Profilkurve lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=-\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Die Bahn soll nirgends steiler als $60^{\circ}$ sein. Wird diese Auflage erfüllt?
$\qquad\:\:$ Maximale/Minimale Steigung an den Randpunkte $(\large x=4)$ und $(\large x=0)$
$\qquad \qquad$ $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\\ \\ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x\\ \\ f {\prime} {\prime} (x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Um die maximale Steigung zu finden, setze $f{\prime}{\prime}(x)=0$
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ f{\prime}{\prime}(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2} \longrightarrow $ $ \large x=2 $
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ Setze $ \large x=2 $ in $ f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)= \large -\frac{3}{8}(2)^2+\frac{3}{2}(2)= \frac{3}{2}=1{,}5 \longrightarrow $ $ \underline{f{\prime}(2)=1,5} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ f{\prime}(2)=1,5\:\: < \:\: tan(60^{\circ})\approx1,732 \iff 1,5<1,732 $
$\qquad\qquad\qquad$ Also, die Steigung der Kurve überschreitet nirgends den Wert $60^{\circ}$
$\qquad$ $ \Longrightarrow $ Die Bahn ist nirgends steiler als $60^{\circ}$. Die Auflage wird erfüllt.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ist die Funktion $f(x)=\large \frac{1}{4}x^2+x-1$ geeignet, a) und b) zu erfüllen?
$\qquad\:\:$ Analysiere die Steigungen der beiden Funktionen
$\qquad \qquad$ Ableitungen: $ \begin{cases} f(x)= \large -\frac{1}{8}x^3+\frac{3}{4}x^2\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x &(I)\\ \\ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1\: \longrightarrow \: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1 &(II) \end{cases} $
$\qquad \qquad$ Die Steigung sollte den Wert von $tan(60^{\circ})\approx1,732$ nicht überschreiten.
$\qquad \qquad\:\:\:\:$ $ \begin{cases} Für\: f{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2},\:\: \Bigg\downarrow f{\prime}{\prime}(x)= \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: f{\prime}{\prime}(x)=0 \iff \large -\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0 \longrightarrow x=2\\ \\ \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\: Die\:Steigung\:f'(2)=1,5<1,732\:(tan(60^{\circ}))\\ \\ \Longrightarrow Die\:Funktion\:(I)\:erfüllt \:die \:Bedingung, \:dass \:die \:Steigung \:nirgends \:steiler \:als \:60^{\circ} \:ist.\\ \\ \\ Für\: f{\prime}(x)= \large \frac{1}{2}x+1,\\ \Longrightarrow Die \:Funktion\: (II)\: hat\: eine\: lineare\: Ableitung,\: die\: ohne\: Intervallbeschränkung\: unendlich\\ groß\: werden\: kann\: und\: somit\: die\: Steigungsbedingung\: von \:60^{\circ}\: nicht\: erfüllt. \end{cases} $
$\qquad$ Daher ist die Funktion $ f(x)= \large \frac{1}{4}x^2+x-1 $ nicht geeignet, a) und b) zu erfüllen.
$\qquad$ Skizze:
$\qquad$
Talsenke - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Quadratische Funktion des Verlaufs
$\qquad$ Die Parabel hat die Form: $\large f(x)=ax^2+bx+c$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-20)=150 \longrightarrow a\cdot(-20)^2+b\cdot(-20)+c=150\:\:(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ f(40)=300 \longrightarrow a\cdot(40)^2+b\cdot(40)=300 \:\:(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} 400a – 20b = 150 \:\:&(I)\\ \\ f(0)=0 \Longrightarrow \underline{c=0} \:\:(II)\\ \\ 1600a + 40b = 300 \:\:&(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(I)+(III):2 \Longrightarrow \begin{cases} 400a &-& 20b &=&150\\ \\ 800a &+& 20b &=&150\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $1200a\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:300\:\:|\: :1200$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large a=\: \frac{300}{1200}=\frac{1}{4}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{4}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 1600\cdot(\frac{1}{4})+40b=300\:\:|(-400)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 40b=-100\:\:|:40$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{ \large b=-\frac{100}{40}=-\frac{5}{2}}$
$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{2}x } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Bis zu welchem Punkt ist die Senke von oben einsehbar?
$\qquad\:\:$ Bekannten Punkten: $P_3(40|300)$ und $P_4(50|350)$
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die Steigung: $ \Delta m= \Large \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{P_4}-y_{P_3}}{x_{P_4}-x_{P_3}}=\frac{350-300}{50-40}=\frac{50}{10} $ $ = 5 \longrightarrow \underline{\large m=5} $
$\qquad\qquad\:\:\:\:$ Die $y$-Achsenabschitt: $ 300=5(40)+n \longrightarrow \underline{\large n=100} $
$\qquad\qquad$ Die Geradengleichung lautet: $\large y=5x+100$
$\qquad\:\:$ Schnittpunkt zwischen die Kurve und die Gerade ($\large f(x)$ und $\large y$) gleichsetzen
$\qquad\qquad$ $ 0,25x^2-2,5x=5x+100 \qquad\:\:\:\:|\:\: (-5x)/(-100) $
$\qquad\qquad$ $ \iff 0,25x^2-7,5x-100=0 \:\:\:\:|\:\: :(0,25) $
$\qquad\qquad$ $ \iff x^2-30x-400=0 $ und mit pq-Formel $ \large \begin{cases} x_1=-10\\ \\ x_2=40 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ f(-10)=5(-10)+100=50 \longrightarrow P_5(-10|50) $
$\qquad\:\:$ Die Senke ist von oben einsehbar bis zum Punkt $\underline{ \large P_5(-10|50)}$
$\qquad\:\:$ Graph der Funktion $\large f$
Heißluftballons - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme die Funktionsgleichung
$\qquad$ Die Form: $\large h(t)=a^3+bt^2+c$,
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} h(0)=300 \longrightarrow \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ h(50)=200 \Longrightarrow a\cdot50^3+b\cdot50^2+300=200 \\ \\ h(100)=100 \Longrightarrow a\cdot100^3+b\cdot100^2+300=100 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ 125000a+2500b+300=200 &(II)\\ \\ 1000000a+10000b+300=100 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300} \:\:(I)\\ \\ 1250a+25b+300=200 &(II)\:\:|\:\:(-300)/:100\\ \\ 1000000a+10000b+300=100 &(III)\:\:|\:\:(-300)/:100 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \iff \begin{cases} \underline{c=300}\\ \\ 1250a+25b=-1\\ \\ 10000a+100b=-2 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $(-4)\cdot(II)-(III) \Longrightarrow \begin{cases} -5000a &-& 100b &=& 4\\ \\ 10000a &+& 100b &=&-2\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $5000a\qquad\qquad\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\:\:2\:\:\:\:|\: :5000$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: \underline{ \large a=\: \frac{2}{5000}=\frac{1}{2500}}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=\frac{1}{2500}$ in $(III)$ ein $\Longrightarrow 10000\cdot(\frac{1}{2500})+100b=-2\:\:|(-4)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: 100b=-6\:\:|:100$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\: \underline{b= \large-\frac{6}{100}}$
$\qquad$ Die Funktionsgleichung lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=\frac{1}{2500}t^3-\frac{6}{100}t^2+300 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Prüfe, ob die Schätzwerte mit der Flugkurve vereinbar sind.
$\qquad$ $ \begin{cases} h(20)= \large \frac{1}{2500}\cdot20^3-\frac{6}{100}\cdot20^2+300=279,2 \longrightarrow \underline{h(20)=279,2}\\ \\ h(70)= \large \frac{1}{2500}\cdot70^3-\frac{6}{100}\cdot70^2+300=143,2 \longrightarrow \underline{h(70)=143,2}\\ \\ h(120)= \large \frac{1}{2500}\cdot120^3-\frac{6}{100}\cdot120^2+300=127,2 \longrightarrow \underline{h(120)=127,2} \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die berechneten Werte für die schwarzen Schätzpunkte sind:
$\qquad\qquad\qquad$ – $h(20)=279.2$ (im Vergleich zu $280$)
$\qquad\qquad\qquad$ – $h(70)=143.2$ (im Vergleich zu $120$)
$\qquad\qquad\qquad$ – $h(120)=127.2$ (im Vergleich zu $130$)
$\qquad$ Die berechneten Werte liegen nahe an den angegebenen Schätzwerten,
$\qquad$ insbesondere bei $t=20$ und $t=120$
$\qquad$ Dies zeigt, dass die Schätzwerte mit der Flugkurve weitgehend übereinstimmen,
$\qquad$ mit einer etwas größeren Abweichung bei $t=70$.
$\qquad$ d) Graphen der Funktion $\large h$
Kunstflug - Rekonstruktion der Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bahnkurve des Fluges
$\qquad$ $\large f(x)=ax^4+cx^2+e$, da die Funktion 4. Grades und symmetrisch ist.
$\qquad\qquad$ $f'(x)=4ax^3+2cx$
$\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} Hochpunkt \:\:H(0/1,2) \longrightarrow \underline{ \large e=1,2} \:\:(I)\\ \\ Tiefpunkt \:\: T(2/0) \Longrightarrow f'(2)=0 \iff 32a+4c=0 &(II)\\ \\ Punkt \:\: P(3/1,65) \Longrightarrow f(3)=1,65 \iff 81a+9c=0,45 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Rechne $9\cdot(II)-4\cdot(III) \Longrightarrow \begin{cases} 288a &+& 36c &=& 0\\ \\ -324a &-& 36c &=&-1,8\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $-36a\qquad\qquad\:\:\:\:=\:\:\:-1,8\:\:\:\:|\: :(-36)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $\qquad\qquad\qquad\:\: \underline{ \large a=\: \frac{1}{20}=0,05}$
$\qquad\qquad$ Setze $\large a=0,05$ in $(II)$ ein $\Longrightarrow 32\cdot(0,05)+4c=0 \longrightarrow \underline{ \large c=-0,4}$
$\qquad$ Die Bahnkurve des Fluges lautet: $ \:\:\:\: \underline { \Large f(x)=0,05x^4-0,4x^2+1,2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wie groß ist die kleinste Flughöhe?
$\qquad$ Die kleinste Flughöhe befinden sich bei bei $\large x=-2$ und $\large x=2$.
$\qquad$ Setze nun diese Werte in das Polynom ein:
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \begin{cases} f(-2)=0,05(-2)^4-0,4(-2)^2+1,2=0,4\\ \\ f(2)=0,05(2)^4-0,4(2)^2+1,2=0,4 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ $ \:\: \longrightarrow \:\: f(-2)=f(2)=0,4=40\:\:Meter $
$\qquad$ Die kleinste Flughöhe ist $\underline{ \large 40\:\:Meter}$ groß.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wo ist die Flugbahn am steilsten?
$\qquad$ Die Stelle entspricht dem Betrag der maximalen Steigung,
$\qquad$ also dem Maximum von $|f'(x)|$
$\qquad\qquad$ Berechne der Wendepunkt von $f$:
$\qquad\qquad \qquad$ $f'(x)=0,2x^3-0,8x \qquad | \qquad f^{”}(x)=0,6x^2-0,8$
$\qquad\qquad \qquad$ $ f^{”}(x)=0 \Longrightarrow 0,6x^2-0,8=0 \longrightarrow \begin{cases} x=-1,15\\ \\ oder\\ \\ x=1,15 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Flugbahn am steilsten bei $\underline{ \large x=\pm1,15}$
$\qquad\qquad \qquad$ Also: $ |f'(1,15)|=0,2(1,15)^3-0,8(1,15)=0,615 $
$\qquad\qquad \qquad$ $ \Longrightarrow tan(\alpha)=0,615 \iff \alpha=tan^{-1}(0,615)=31,59^{\circ} $
$\qquad\qquad$ Der Steigungswinkel ist $\underline{ \large \alpha=31,59^{\circ}}$ groß.
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Zeichne den Graphen von $f$
Bambus - Rekonstruktion von Funktionen
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung von $\Large h$
$\qquad\qquad$ Allgemeine Funktion & Ableitungen
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} h(t)=at^3+bt^2+ct+d\\ \\ h'(t)=3at^2+2bt+c\\ \\ h^{”}(t)=6at+2b \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} h(0)=0\: &\longrightarrow& \underline{d=0} &(I)\\ \\ h'(0)=0\: &\longrightarrow& \underline{c=0} &(II)\\ \\ h(4)=2 &\Longrightarrow& a(4)^3+b(4)=2 &\longrightarrow& 64a+16b=2 &(III)\\ \\ h'(4)=0.75 &\Longrightarrow& 3a(4)^2+2b(4)=0.75 &\longrightarrow& 48a+8b=0.75 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Löse $(III)-2(IV) \Longrightarrow \begin{cases} 64a+16b &=& 2\\ \\ -96a-16b &=& -1.5 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff -32a=0.5 \longrightarrow \underline{ \large a=-\frac{1}{64}} $
$\qquad\qquad\qquad$ Setze $\large a$ in $(III)$ ein: $64(\large -\frac{1}{64})+16b=2\:\:\:\:|(+1)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\iff 16b=3\:\:\:\:|(:16)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\longrightarrow \underline{ \large b=\frac{3}{64}}$
$\qquad\qquad$ Die Gleichung von $\large h$ lautet: $ \underline{ \large h(t)= -\frac{1}{64}t^3+\frac{3}{16}t^2=\frac{1}{64}(-t^3+12t^2) } $
$\qquad\qquad$ Skizze
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wann erreicht die Pflanze ihre maximale Höhe?
$\qquad\qquad$ Die maximale Höhe ist bei $f'(x)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{64}(t-8)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \begin{cases} -\frac{3}{64}t=0 \longrightarrow \underline{ t=0},\:\: nicht \:\:Realistisch!!!\\ \\ t-8=0 \longrightarrow \underline{ t=8\:\:Wochen} \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ $h(8)=-\frac{1}{64}(-3(8)^3+12(8)^2) \longrightarrow \underline{ h(8)=4\:Meter}$
$\qquad$ Die maximale Höhe ist erreicht nach $\large t=8$ Wochen und in $\large 4\:Meter$ Höhe
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal?
$\qquad\qquad$ Für $h^{”}(t)=0$ ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal.
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{1}{64}(-6t+24)=0 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large-\frac{6}{64}t(t-4)=0 \Longrightarrow \begin{cases} -\frac{6}{64}t=0 \longrightarrow \underline{ \large t=0}\\ \\ t-4=0 \longrightarrow \underline{ t=4} \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Nach $\large 4$ Wochen ist die Wachstumsgeschwindigkeit maximal
$\qquad\qquad\qquad$ $ h'(4)=\frac{1}{64}(-3(4)^2+24(4))=\longrightarrow \underline{h'(4)=0.75} $, also $0.70$ Meter/Woche
Benzinverbrauch - Rekonstruktion von Funktionen
Benzinverbrauch – Modellierungsprobleme
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Bestimme eine quadratische Funktion $\large B(v)=av^2+bv+c$, welche den
$\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:$ Benzinverbrauch beschreibt
$\qquad\qquad$ * Gegebenen Bedingungen
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} B(10)=a(10)^2+b(10)+c=9.1 &\longrightarrow& 100a+10b+c &=& 9.1 &(I)\\ \\ B(30)=a(30)^2+b(30)+c=7.9 &\longrightarrow& 900a+30b+c &=& 7.9 &(II)\\ \\ B(100)=a(100)^2+b(100)+c=10 &\longrightarrow& 10000+100b+c &=& 10 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Lösung des LGS ergibt: $ \underline { \large a=\frac{1}{1000}}\:\:|\:\: $ $ \underline { \large b=-\frac{1}{10}}\:\:|\:\: $ $ \underline { \large c=10 } $
$\qquad\qquad$ Die quadratische Funktion lautet: $ \underline{ \large B(v)= \frac{1}{1000}v^2-\frac{1}{10}v+10 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Für welche Geschwindigkeit ist der Verbrauch minimal?
$\qquad\qquad$ Der Verbrauch ist minimal wenn $\large B'(v)=0$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large B'(v)=\frac{2}{1000}v-\frac{1}{10}=\frac{1}{500}v-\frac{1}{10} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Large \frac{1}{500}v-\frac{1}{10}=0\:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\: \underline{ \large v=50\:km/h} $
$\qquad\qquad$ Die Geschwindigkeit ist minimal wenn: $\underline{ \large v=50\:km/h}$ ist.
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ Ab welcher Geschwindigkeit steigt der Verbrauch auf 12,4 Liter an?
$\qquad\qquad$ Setze $\large B(v)=12,5$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{1}{1000}v^2-\frac{1}{10}v+10=12,5 $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large \frac{v^2-100v + 10000}{1000}$ $ =12,5 $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large v^2-100v+10000=12500 \:\:\:|\:\:\: (-12500) $
$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \large v^2-100v-2500=0, \qquad $ mit p-q-Formel $ \longrightarrow \begin{cases} v_1=120.711\\ \\ v_2=-20,711 \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Der Verbrauch steigt auf $\large 12,4\: Liter$ an, wenn die Geschwindigkeit
$\qquad\qquad\qquad$ $ \underline{ \Large v=120.711\: km/h} \:\: $ ist.
Abhänge - Rekonstruktion von Funktionen
Abhänge – Modellierungsprobleme
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Gleichungen von $\large f$ und $\large g$
$\qquad\qquad$ * Gleichung von $\large f$ (kubische Funktion):
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ \\ f'(x)=3ax^2+2bx+c \end{cases}\:\:\:\:/\:\:\:\: a,\:\:b,\:\:c\:\:und \:\:d\in\mathbb{R} $
$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} f(-4)=2 &\Longrightarrow& a(-4)^3+b(-4)^2+c(-4)+d &=& 2 &(I)\\ \\ f'(-4)=0 &\Longrightarrow& 3a(-4)^2+2b(-4)+c &=& 0 &(II)\\ \\ f(0)=0 &\Longrightarrow& \underline{d=0} &(III)\\ \\ f'(0)=0 &\Longrightarrow& \underline{c=0} &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Löse $(I)+2\cdot(II)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} -64a &+& 16b &=& 2 \:\:&(I)\\ \\ 96a &-& 16b &=& 0\:\:&(II)\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ 32a\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:2\:\:\: | :32 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \underline{\Large a=\frac{1}{16}} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ Setzte $\Large a$ in $(I)$ ein $ \Longrightarrow -64\cdot \large (\frac{1}{16}) $ $+16b=2\:\:\:\:|\:\:+4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:$ $ \iff 16b=6\:\:\:\:|\:\:(:16) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:\:\:\:\:\:$ $ \longrightarrow \underline { \Large b=\frac{6}{16} } $
$\qquad\qquad\qquad$ Die kubische Funktion $\Large f$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large f(x)= \frac{1}{16}x^3+\frac{6}{16}x^2 } $
$\qquad\qquad$ * Gleichung der quadratischen Funktion $\Large g$:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} g(x)=ux^2+vx+w\\ \\ g'(x)=2ux+v \end{cases}\:\:\:\:/\:\:\:\: u,\:\:v, und \:\:w\in\mathbb{R} $
$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Bedingungen:
$\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} g(5)=0 &\Longrightarrow& u(5)^2+v(5)+w &=& 0 &(I)\\ \\ g(9)=2 &\Longrightarrow& u(9)^2+v(9)+w &=& 2 &(II)\\ \\ g'(9)=0 &\Longrightarrow& 2u(9)+v=0 &(III) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Löse das LGS mit Addition-, Gleichsetzungsverfahren oder andere Methode.
$\qquad\qquad\qquad$ Die Lösung: $ \:\:\:\: \underline{ \Large u=-\frac{1}{8} } \:\: $ | $ \:\: \underline{ \Large v=\frac{9}{4} } \:\: $ | $ \:\: \underline{ \Large w=-\frac{65}{8} } $
$\qquad\qquad\qquad$ Die quadratische Funktion $\Large g$ lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large g(x)=-\frac{1}{8}x^2+\frac{18}{8}x-\frac{65}{8} } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Wie steil ist der Anfang $\Large f$ maximal? Wo ist der Hang $\Large g$ am steilsten?
$\qquad\qquad$ * Wie steil ist der Anfang $\Large f$ maximal?
$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von $\Large f$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f'(x)= \frac{3}{16}x^2+\frac{6}{8}x \qquad | \qquad \large f^{”}(x)= \frac{6}{16}x+\frac{6}{8} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large f^{”}(x)=0 \Longrightarrow \frac{6}{16}x+\frac{6}{8}=0 \longrightarrow \underline{x=-2} $
$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist $\large x=-2$
$\qquad\qquad\qquad$ Also, $ \large tan(\alpha)=f'(-2)=\frac{3}{16}(-2)^2+\frac{6}{8}(-2)=-0,75 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large tan(\alpha)=-0,75 \Longrightarrow \alpha=tan^{-1}(-0,75) \longrightarrow \underline{ \alpha\approx-36,87^{\circ}} $
$\qquad\qquad$ Der Anfang $\Large f$ ist maximal ca. $\underline{ \large-36,87^{\circ}}$ steil
$\qquad\qquad$ * Wo ist der Hang $\Large g$ am steilsten?
$\qquad\qquad$ Die steilste Stelle ist der Wendepunkt von $\Large g$
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g'(x)= -\frac{2}{8}x+\frac{9}{4} \qquad | \qquad \large g^{”}(x)= -\frac{2}{8} $
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large g^{”}(x)=0 \longrightarrow x=-\frac{1}{4} $
$\qquad\qquad$ Die Steigung ist bei $ \large g'(-\frac{1}{4})=2,31 \longrightarrow \underline{x=2,31} $
$\qquad\qquad$ Da $\Large g$ bei $\large 5$ anfängt ist der Hang bei $\underline{ \large x=5+2,31=7,31}$ am steilsten
Historische Bahnfahrt - Rekonstruktion von Funktionen
Historische Bahnfahrt – Modellierungsprobleme
Lösung zu a)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ a) Wie lautet die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion $\Large s(t)$ des Vorgangs?
$\qquad\qquad\qquad$ $\Large s(t)=at^3+bt^2+ct+d$
$\qquad\qquad\qquad$ Ableitugen:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} s'(t)=3at^2+2bt+c\\ \\ s^{”}(t)=6at+2b \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad$ Gegebenen Punkte:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \begin{cases} s(0)=0 \Longrightarrow a(0)^3+b(0)^2+c(0)+d=0 \longrightarrow \underline{d=0} &(I)\\ \\ s(4)=4 \Longrightarrow a(4)^3+b(4)^2+c(4)+d=4 \longrightarrow 64a+16b+4c=4 &(II)\\ \\ s'(0)=0 \Longrightarrow 3a(0)^2+2b(0)+c=0 \longrightarrow \underline{c=0} &(III)\\ \\ s'(8)=0 \Longrightarrow 3a(8)^2+2b(8)+c=0 \longrightarrow 192a+16b=0 &(IV) \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $(III)$ in $(II)$ einsetzen und $(II)-(IV)$ rechnen:
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow \begin{cases} 64a &+& 16b &=& 4 &(II)\\ \\ -192a &-& 16b &=& 0 &(IV)\\ \hline \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $-128a \qquad\qquad\:\:\:\:\:\:=\:\:\: 4\qquad|:(-128)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \Longrightarrow \underline { \Large a= -\frac{1}{32} =-0,031 } $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $\Large a$ in $(II)$ einsetzen $\Longrightarrow 64(-0,031)+16b=4\:\:\:\:|+2 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff 16b=6\:\:\:\:|\:\: :16 $
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:\:$ $ \Longrightarrow \underline { \Large b= \frac{3}{8} =0,375 } $
$\qquad\qquad$ Die Gleichung der Weg-Zeit-Funktion lautet:
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \underline { \Large s(t)=-0,031t^3+0,375t^2= -\frac{1}{32}t^3+ \frac{3}{8}t^2 } $
Lösung zu b)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ b) Die lange ist die gesamte Fahrstrecke?
$\qquad\qquad$ $\Large s$ nach $8$ Minuten wird gesucht
$\qquad\qquad$ $\large s(8) =-0,031(8)^3+0,375(8)^2= \large -\frac{1}{32}8^3+ \frac{3}{8}8^2=8,128 \longrightarrow \underline{ s\approx8\:km}$
Lösung zu c)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ c) Wie groß ist die Maximalgeschwindigkeit des Zuges?
$\qquad\qquad$ Suche das Maximum von $\large v(t)$, wobei $\large v(t)$ die Ableitung von $\large s(t)$ ist.
$\qquad\qquad\qquad$ $ \large v(t)=s'(t)= -\frac{3}{32}t^2+ \frac{6}{8}t $
$\qquad\qquad\qquad$ Die Max Geschwindigkeit ist erreicht wenn $\large v'(t)=0\:\:| \:\:(\large v'(t)=s'(t))$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large v'(t)=0 \Longrightarrow \large -\frac{3}{32}t^2+ \frac{6}{8}t=0 $, mit p-q-Formal bekommst du
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large \begin{cases} -3t &=& 0 &\longrightarrow& t &=& 0\\ \\ t-4 &=& 0 &\longrightarrow& t &=& 4 \end{cases} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \large s^{”}(4)= -\frac{6}{32}4+ \frac{6}{8}= $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ Die Max Geschwindigkeit ist erreicht wenn $\large t=4$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $v(4)=s'(4)= \large -\frac{3}{32}4^2+ \frac{3}{4}4=1,5 \Longrightarrow \underline{ \large v_{Max}=1,5\:km/min} $
Lösung zu d)
$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize $ d) Wann beträgt die Geschwindigkeit genau $67,5\: km/h$?
$\qquad\qquad$ $\Large v(t)= -\frac{3}{32}t^2+ \frac{3}{4}t= \frac{67,5}{60} \Longrightarrow \Large -\frac{3t^2+24t}{32}= \frac{67,5}{60} $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\iff -180t^2+1440t=2160\:\:\:\:|\:\:(-2160)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $ \iff-180t^2+1440t-2160=0\:\:\:\:|\:\: :(-180) $
$\qquad\qquad\qquad\qquad$ $\iff t^2-8t+12=0 \longrightarrow \begin{cases} t_1=2\:min\\ \\ t_2=6\:min \end{cases} $
$\qquad\qquad$ Die Geschwindigkeit beträgt genau $\large 67,5\: km/h$ bei $ \:\:\:\: \large \begin{cases} t_1=2\:min\\ \\ oder\\ \\ t_2=6\:min \end{cases} $