Lösung a)

$ f(x)=(6x-3)e^{-x},\:\: x\in \mathbb{R}. $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize a)\: Schnittpunkte\: des\: Graphen\: von\: f\: mit\: den\: Koordinaten $

$\qquad\:\:$ * Schnittpunkte mit der $x-Achse$ (Nullstellen) $y=f(x)=0$

$\qquad\qquad$ $ \iff (6x-3)\cdot e^{-x}=0 \Longrightarrow \begin{cases} (6x-3)=0\:\: \textcolor{red}{|+3} \:\: \longrightarrow x=\frac{1}{2}\\ \\ e^{-x}=0\:\: \textcolor{red}{n.L.} \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Es gibt ein Schnittpunkt mit der $x-Achse$ an der Stelle $\underline{S_x=(\frac{1}{2}|0})$

$\qquad\:\:$ * Schnittpunkte mit der $y-Achse$ $\longrightarrow y=f(0)$

$\qquad\qquad$ $ \iff y=[6(0)-3]\cdot e^{-0}=-3 $
$\qquad\qquad$ Es gibt ein Schnittpunkt mit der $y-Achse$ an der Stelle $\underline{S_y=(0|-3})$

Lösung b)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize b)\: Verhalten\: der\: Funktionswerte\: von\: f\: für\: x\rightarrow +\infty\: und\: x\rightarrow -\infty\: an $

$\qquad\:\:$ $ \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty \:\:\:\: | \:\:\:\: \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0 $

Lösung c)

$ f(x)=(6x-3)e^{-x} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Weise\: nach,\: dass\: die\: 1.\: Ableitung\: f^\prime(x)=(-6x+9)e^{-x}\: ist $

$\qquad\:\:$ Mit Produktregel:

$\qquad\qquad$ $ f^\prime(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x) \Longrightarrow \begin{cases} u(x)=(6x-3)\: \longrightarrow u^\prime(x)=6\\ \\ v(x)=e^{-x}\: \longrightarrow v^\prime(x)=-e^{-x} \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ f^\prime(x)=6\cdot e^{-x}+(6x-3)\cdot (-e^{-x})=\underline{(-6x+9)\cdot e^{-x}}\:\: W.A. $


$\qquad\:\:$ Lokaler Extrempunkt von $f$

$\qquad\qquad$ $ f^\prime(x)=0 \iff \begin{cases} (-6x+9)=0\:\: \textcolor{red}{|-9}\:\: \longrightarrow x=\frac{3}{2}\\ \\ e^{-x}=0\:\: \longrightarrow \textcolor{red}{n.L.} \end{cases} $

$\qquad\:\:$ Es gibt eine Extremstelle an der Stelle $\underline{x=\frac{3}{2}}$

$\qquad\:\:$ $ \iff $ Der lokale Extrempunkt lautet: $ \underline{ E \begin{bmatrix} \frac{3}{2}| f(\frac{3}{2}) \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1,5| 1,34 \end{pmatrix} } $

Lösung d)

Die Funktionswerte der 1. Ableitungsfunktion von $f$ sind

$\qquad\qquad$ $ \begin{cases} – für\: x<\frac{3}{2}\: positiv\\ \\ - für\: x>\frac{3}{2}\: negativ \end{cases} \iff $ Es liegt ein lokales Maximum vor.

Lösung e)

Lösung f)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize c)\: Gleichung der\: Tangente\: t\: im\: Punkt\: P(1|f(1)) $

$\qquad\:\:$ Formel: $t(x)=f^\prime(1)(x-1)+f(1)$ mit $ \begin{cases} x=1\\ \\ f^\prime(1)=3e^{-1}\\ \\ f(1)=3e^{-1} \end{cases} $

$\qquad\qquad$ $ \Longrightarrow t(x)=3e^{-1}(x-1)+3e^{-1} = 3e^{-1}\cdot x-3e^{-1}+3e^{-1}=\underline{3e^{-1}\cdot x} $

$\qquad\:\:$ Schnittwinkel mit der $x-Achse$

$\qquad\qquad$ $tan(\alpha)=f^\prime(1) \iff \alpha=tan^{-1}(3e^{-1}) \longrightarrow \underline{\alpha=47,82^{\circ}}$

Lösung g)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize g)\: Berechne \: X_M\: und\: den\: Abstand\: der\: beiden\: Graphen\: von\: f\: und\: f^\prime $

$\qquad\:\:$ Der senkrechte Abstand der Graphen von $f$ und $f^\prime$ wird maximal mit
$\qquad\qquad$ $g(x)=f(x)-f^\prime(x)$

$\qquad\qquad\qquad$ $ =(6x-3)e^{-x}-[(-6x+9)e^{-x}] $

$\qquad\qquad\qquad$ $ =(12x-12)e^{-x} $

$\qquad\qquad$ $g^\prime(x)$ mit Produktregel bestimmen

$\qquad\qquad\qquad$ $ g^\prime(x)=12\cdot e^{-x}+(12x-12)\cdot (-e^{-x})=(-12x+24)\cdot e^{-x} $

$\qquad\qquad$ Extremstelle $X_M$ berechnen

$\qquad\qquad\qquad$ $ g^\prime(x)=0 \iff (-12x+24)\cdot e^{-x} \Longrightarrow \begin{cases} (-12x+24)=0\:\: \textcolor{red}{|-24}\:\: \longrightarrow x_M=2\\ \\ e^{-x}=0\:\: \textcolor{red}{n.L.} \end{cases} $

$\qquad\qquad$ Der Abstand ist an der Stelle $\underline{X_M=2}$ maximal

$\qquad\qquad$ Dieser Abstand beträgt: $g(2)=[12(2)-12]\cdot e^{-2}=\underline{1,624\: LE}$

Lösung h)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize h) $

$\qquad\qquad$ F ist eine Stammfunktion der Funktion f, wenn $F^\prime(x)=f(x)$

$\qquad\qquad$ Leite $F(x)=(-6x-3)\cdot e^{-x}$ mit dem Produktregel ab

$\qquad\qquad\qquad$ $ H(x)=(-6)\cdot e^{-x}+(-6x-3)\cdot (-e^{-x}) $

$\qquad\qquad\qquad$ $ =(6x-3)\cdot e^{-x}+20\:\: |\:\: Probe:\: H(0)=[6(0)-3]e^{-0}+20=17 $

$\qquad\qquad$ Die Gleichung der gesuchten Stammfunktion H ist: $\underline{H(x)=(6x-3)\cdot e^{-x}+20}$

Lösung i)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize i)\: Ermittle\: den\: Flächeninhalt\: der\: Fläche\: zwischen\: f\: und\: die\: x-Achse $

$\qquad\:\:$ $ \int\limits_{1}^{5} \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 6x-3 \end{pmatrix} \cdot e^{-x} \end{bmatrix} dx = \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} -6x-3 \end{pmatrix} \cdot e^{-x} \end{bmatrix} _1 ^{5} = -33e^{-5}-(-9e^{-1})\approx3,09 $

$\qquad\:\:$ Der Inhalt der Fläche beträgt ca. $\underline{3,1\: FE}$

Lösung j)

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize j) $

$\qquad\:\:$ Es muss $f^\prime(x)=f^{\prime\prime}(x)$ gelten, wenn es eine Stelle $X_T$ gibt, an der die Tangente an
$\qquad\:\:$ der Graphen von $f$ Parallel zu der Tangente an den Graphen von $f^\prime$ verläuft.

$\qquad\qquad$ Berechne $f^{\prime\prime}(x)$ mit Produktregel

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ f^{\prime\prime}(x)=u^\prime(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^\prime(x)\:\: | \begin{cases} u(x)=(-6x+9)\:\: \longrightarrow\: u^\prime(x)=-6\\ \\ v(x)=e^{-x}\:\: \longrightarrow\: v^\prime(x)=-e^{-x} \end{cases} $

$\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \iff f^{\prime\prime}(x)=(-6)\cdot e^{-x}+(-6x+9)\cdot (-e^{-x}) $

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\:$ $ =(-6x-15)\cdot e^{-x} $

$\qquad\:\:$ $ f^\prime(x)=f^{\prime\prime}(x) \iff (-6x+9)\cdot e^{-x}=(-6x-15)\cdot e^{-x} \iff x=2 $

$\qquad\:\:$ An der Stelle $X_T=2$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ parallel zur Tangente
$\qquad\:\:$ an den Graphen von $f^\prime$.