Lösung

$A(3|5|1)$, $\: B(-5|7|17)$, und $C(6|2|13)$

$\:\:$ a) Gebe die Gerade $g$ durch $A$ und $B$.

$\qquad\qquad g_{AB}:\vec{x}= \begin{pmatrix} 3\\5\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -5-3\\7-5\\17-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\2\\16 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Zeige,\: dass\: M\: der\: Mittelpunkt\: von\: AB\: ist $

$\qquad$ $x_M= \frac{1}{2} (3-5)=-1 \:\:|\:\: y_M= \frac{1}{2} (5+7)=6 \:\:|\:\: z_M= \frac{1}{2} (1+17)=9 $

$\qquad$ $ \longrightarrow \: M \begin{pmatrix} -1\\6\\9 \end{pmatrix}, \:\: $ mit $ r=\frac{1}{2} $

$\:\:$ b) Weise nach, dass das Dreieck $AMC$ rechtwinklig ist.

$\qquad$ Berechne $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{MC}$

$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM}= \begin{pmatrix} -1-3\\6-5\\9-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\1\\8 \end{pmatrix} $ $ \:\:|\:\: $ $ \overrightarrow{MC}= \begin{pmatrix} 6+1\\2-6\\13-9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\-4\\4 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Berechne das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{MC}$

$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MC} = -4\cdot7+1\cdot (-4)+8\cdot 4=0 \:\: \longrightarrow \:\: AMC $ ist rechtwinklig.

$\qquad$ Gebe den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ an.

$\qquad\qquad$ Betrag von $AM$: $ | \overrightarrow{AM} |= \sqrt{(-4)^2+1^2+8^2}=9 $

$\qquad\qquad$ Betrag von $MC$: $ | \overrightarrow{AM} |= \sqrt{7^2+(-4)^2+4^2}=9 $

$\qquad\qquad$ Betrag von $AB$: $ | \overrightarrow{AB} |= 2\cdot | \overrightarrow{AM} |= 2\cdot 9= 18 $

$\qquad\qquad$ Flächeninhalt von $ABC=9\cdot 9=81\:FE$

Lösung

$ g:\vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\0\\12 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-3 \end{pmatrix} $ und $B(0|3|6)$

a) Weise nach, dass $3x+2y+z=12$ eine Gleichung für die Ebene $E$ ist.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: g\: und\: B\: in\: E\: ein\: und\: prüfe\: ob\: 12\: raus\: kommt $

$\qquad$ $ *\:\: 3(0+r)+2(0+0r)+(12-3r)=12 $

$\qquad$ $ \:\: \iff 3r+12-3=12 $

$\qquad$ $ \:\: \iff 12=12\:\: W.A.\:\: \longrightarrow\:\: $ $g$ liegt auf $E$.


$\qquad$ $ *\:\: 3(0)+2(3)+6=12 $

$\qquad$ $ \:\: \iff 12=12\:\: W.A.\:\: \longrightarrow\:\: $ $B$ liegt auf $E$.



b) Koordinaten von Punkten, die auf der Schnittgeraden der Ebene $E$ mit der $x$-$y$-Ebene liegen.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Gebe\: die\: Koordinaten\: von\: 2\: Punkten\: an $

$\qquad$ Schnittpunkt mit $x$-$y$-Ebene $\longrightarrow$ $z=0$

$\qquad$ Seien: $ P \begin{pmatrix} x_P\\y_P\\z_P \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_P\\y_P\\0 \end{pmatrix} $ $ \:\:\: $ und $ \:\:\: $ $ Q \begin{pmatrix} x_Q\\y_Q\\z_Q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_Q\\y_Q\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad$ $P$ hat einen Schnittpunkt mit $E$:

$\qquad$ $\Longrightarrow 3 \cdot x_P+2 \cdot y_P+0 \cdot z_P=12 $

$\qquad$ Für $x_P=0, \:\:\:3\cdot 0+2\cdot y_P+0\cdot z_P=12 $

$\qquad\qquad$ $ \iff 2\cdot y_P=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff y_P=6 $ $ \longrightarrow P \begin{pmatrix} 0\\2\cdot 6\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad$ $Q$ hat einen Schnittpunkt mit $E$:

$\qquad$ $\Longrightarrow 3 \cdot x_Q+2 \cdot y_Q+0 \cdot z_Q=12 $

$\qquad$ Für $y_Q=0, \:\:\:3\cdot x_Q+2\cdot 0+0\cdot z_Q=12 $

$\qquad\qquad$ $ \iff 3\cdot x_Q=12 $
$\qquad\qquad$ $ \iff x_Q=4 $ $ \longrightarrow Q \begin{pmatrix} 3\cdot 4\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Da bekommst du die Punkte $ P \begin{pmatrix} 0\\6\\0 \end{pmatrix} \:\: $ und $ \:\: Q \begin{pmatrix} 4\\0\\0 \end{pmatrix} $

Lösung

$A(6|0|0), \: B(0|8|0), \: C(6|8|0)$ und $S(0|0|10)$

a) Gebe eine Gleichung der Geraden an, die durch die Punkte $S$ und $C$ geht.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setze\: S\: als\: Ortsvektor \:(Stützvektor) $

$\qquad$ $ g_{SC}: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 6\\8\\-10 \end{pmatrix} $

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Zeige\: dass\: M\: der\: Mittelpunkt\: von\: SC\: ist $

$\qquad$ $ x_{SC}= \frac{0+6}{2}=3\:\:|\:\: y_{SC}= \frac{0+8}{2}=4\:\:|\:\: z_{SC}= \frac{10+0}{2}=5\ $ $ \iff M(3|4|5) $


b) Weise nach, dass das Dreieck $ABM$ ein rechtwinkliges Dreieck ist.

$\qquad$ Berechne $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{AB}$

$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM}= \begin{pmatrix} 3-6\\4-0\\5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\4\\5 \end{pmatrix} $ $ \:\:|\:\: $ $ \overrightarrow{MB}= \begin{pmatrix} 3-0\\4-8\\5-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-4\\5 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Berechne das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AM}$ und $\overrightarrow{MB}$

$\qquad\qquad$ $ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{MB} = -3\cdot3+4\cdot (-4)+5\cdot 5=0 $

$\qquad\qquad$ $ \longrightarrow \:\: $ AMB ist rechtwinklig, bei $M$.

Lösung

$E:3x-4y+z=11\:\:$ und $ \:\: g:\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\0\\5 \end{pmatrix} +r\cdot \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix}; \:\: r\in\mathbb{R}. $

a) Zeige, dass die Gerade $g$ in der Ebene $E$ liegt.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Setzte\: g\: in\: E\: ein.\: \longrightarrow \:g \:und \:E \:schneiden\: sich $

$\qquad$ $ g\cap E \Rightarrow 3(2+3r)-4(2r)+(5-r) $

$\qquad\qquad$ $ \iff 6+9r-8r+5-r=11 $

$\qquad\qquad$ $\longrightarrow$ Alle Punkte der Geraden $g$ liegen in der Ebene


b) Ermittle eine Gleichung für die Gerade $h$.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize h\: liegt\: in\: der\: Ebene\: E\: und\: ist\: senkrecht\: zu\: g $

$ \:\:\: $ Der Richtungsvektor von $h\:$ ($\overrightarrow{rv}_h\:$) muss senkrecht zum Normalenvektor
$ \:\:\: $ von $E\:$ ($\vec{n}_E\:$) und senkrecht zum Richtungsvektor von $g\:$ ($\overrightarrow{rv}_g$).

$\qquad$ $ \Longrightarrow \:\: \overrightarrow{rv}_h \perp \vec{n}_E \:\:\:\:\:\: $ und $ \:\:\:\:\:\: \overrightarrow{rv}_h \perp \overrightarrow{rv}_g $

$\qquad$ $ \iff \overrightarrow{rv}_h \perp \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \:\:\: $ und $ \:\:\: \overrightarrow{rv}_h \perp \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Berechne das Kreuzprodukt von $\vec{n}_E\:$ und $\:\overrightarrow{rv}_g$

$\qquad$ $ \iff \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\cdot (-1)-1\cdot 2\\ 3\cdot 1-3\cdot (-1)\\ 3\cdot 2-3\cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\6\\18 \end{pmatrix} $

$\qquad$ Also, der Richtungsvektor von $h$ ist z.B.: $ \overrightarrow{rv}_h = \begin{pmatrix} 2\\6\\18 \end{pmatrix} = 2\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} $.

$\qquad$ So kann eine Gleichung für $h$ sein:

$\qquad\qquad\qquad$ $ h:\vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\3\\0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\9 \end{pmatrix} $, mit $r\in\mathbb{}R.$