Lösung

$4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. $3$ Kugeln gezogen, nacheinander und ohne Zurücklegen.

$\:\:$ a) Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 3 gezogenen Kugeln schwarz sind.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Schreibe\: die\: Wahrscheinlichkeit\: für\: schwarze\: und\: weiße\: Kugeln $

$\qquad$ Gesamt Kugeln: $P(A)=10$

$\qquad\qquad\qquad$ $ P_{SK}= \large \frac{4}{10}\qquad|\qquad P_{WK}= \large \frac{6}{10} $

$\qquad$ Alle 3 gezogenen Kugeln sind schwarz $\Longrightarrow\:\: 3\times P_{SK}$

$\qquad\qquad\qquad$ $ 3 \times P_{SK} \large =\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8} =\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} =\frac{1}{30} $

$\:\:$ b) Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 der gezogenen Kugeln sind schwarz

$\qquad$ $ P_{\ge2} = P_{SK}\cdot P_{SK}\cdot P_{SK} + P_{SK}\cdot P_{SK}\cdot P_{WK} + P_{SK}\cdot P_{WK}\cdot P_{SK} + P_{WK}\cdot P_{SK}\cdot P_{SK} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8} + \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9}\cdot \frac{6}{8} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + 3\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + 3\cdot \frac{1}{10} $

$\qquad\qquad$ $ \iff \large \frac{1}{30} + \frac{9}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} $


Baumdiagramm

Lösung

a) Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme 6 beträgt.

$ \:\:\: $ $ \: \Large \Bigg\downarrow $ $ \normalsize Berechne\: die\: Wahrscheinlichkeit\: für\: die\: Seite\: 1\: und\: 5 $

$\qquad$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Seite 1 beträgt: $p_1=\frac{1}{2}$

$\qquad$ Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Seite 5 beträgt: $p_5=\frac{1}{2}$

$ \:\:\: $ $ P(AS=6) \large = p_1\cdot p_5+p_5\cdot p_1 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $

a) Erwartungswert der Auszahlung

$\qquad$ Weil $ P(AS=2)=P(AS=10) = \frac{1}{4}, $

$\qquad$ ergibt sich:$\:\:$ $ E = \frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{2}\cdot 6 + \frac{1}{4}\cdot 10 =3 $

Wenn der Einsatz 3€ beträgt, wird der Erwartungswert für den Gewinn null.

$\iff$ Das Spiel fair.

Lösung

a) Wahrscheinlichkeit dafür, dass es gleichzeitig Stau an Baustelle 2 und 3 gibt.

$\qquad$ $ P_{(Stau\: an\: Baustelle\: 2/3)} \large = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} $

b) Wahrscheinlichkeit dafür, dass es kein Stau gibt.
$\qquad$ $ P_{(Kein\: Stau)} = P_{(1-Frei/2-Frei/3-Frei)} + P_{(1-Frei/2-Frei/3-Stau)} + P_{(1-Frei/2-Stau/3-Frei)} $

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \large = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} $

$\qquad\qquad\qquad\:\:\:\:$ $ \large = \frac{42}{60} = \frac{7}{10} $

Lösung

a) $E:$ Mindestens ein Ei in einer 6er-Packung ist beschädigt.


b)

	Schale weiß	Schale braun
Schale beschädigt	150	350	500
Schale nicht beschädigt	2850	6650	9500
	3000	7000	10 000