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Skalarprodukt

By Dave in Mathematik, Analytische Geometrie on October 3, 2023.

Die Multiplikation zweier Vektoren ist ein Skalarprodukt, das heisst, das Ergebnis ist ein Skalar oder eine reelle Zahl.

Das Ergebnis für Kreuzprodukt ist ein Vektor.

Das Skalarprodukt der Vektoren u⃗ und v⃗ schreibt man u⃗ • v⃗ oder u⃗ o v⃗.

Wichtig: Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann man nur bilden, wenn beide gleich viele Komponenten haben.

Definition

Das Skalarprodukt zweier Vektoren u⃗ und v⃗ ist definiert als

ihre komponentenweise Multiplikation

und

die anschließende Ergänzung oder Addition.

Bedeutung:

In der Ebene

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \end{matrix})

                                        ➪      u⃗ • v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂

              Im Raum

u⃗ = (\begin{matrix} u1 \\ u2 \\ u3 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} v1 \\ v2 \\ v3 \end{matrix})

➪ u⃗ • v⃗ = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Merke:

Die 1. Komponente von u⃗ mit der 1. Komponente von v⃗, (In der Ebene)

Die 2. Komponente von u⃗ mit der 2. Komponente von v⃗, (In der Ebene)

Die 3. Komponente von u⃗ mit der 3. Komponente von v⃗, (Im Raum)

… multipliziert und die resultierenden Produkte werden dann addiert.

Rechenregeln

Das Skalarprodukt von Vektoren folgt denselben Rechenregeln wie die Multiplikation von Zahlen.

Kommutativgesetz für Vektoren: u⃗ • v⃗ = v⃗ • u⃗

Distributivgesetz für Vektoren: (u⃗ + v) ⃗ • w⃗ = u⃗ • w⃗ + v⃗ • w⃗

Assoziativgesetz: (λ • u⃗) o v⃗ = λ • (u⃗ o v⃗), λ ∈ ℝ

Beispiel

Stehen die Vektoren u⃗ und v⃗ senkrecht aufeinander? Überprüfe!

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix}),

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix})

Berechne das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗:

(\begin{matrix} 2 \\ 6 \end{matrix})

•

(\begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix})

= 2 • 3 + 6 • (-1) = 0,

mit dem Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors also Betrag, ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

|u⃗| =

\sqrt{u⃗•u⃗}

=

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2}}

Im Raum

|u⃗| =

\sqrt{u⃗•u⃗}

=

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}

Achtung: Der Nullvektor hat die Länge 0 !!!

Beispiel

In der Ebene

Berechne die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}) .

Die Formel, mit der wir den Betrag bzw. die Länge berechnen, lautet:

|u⃗| =

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2}}

Wir setzen ein:

|u⃗| =

\sqrt{3^{2} + 4^{2}}

Und nun können wir den Betrag berechnen:

|u⃗| =

\sqrt{9 + 16}

|u⃗| =

\sqrt{25}

|u⃗| =

5

Nun wissen wir: Die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

ist 5.

Im Raum

Berechne die Länge (Betrag) des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 7 \end{matrix}) .

Hier noch einmal die Formel für den Betrag lautet:

|u⃗| =

\sqrt{{u_{1}}^{2} + {u_{2}}^{2} + {u_{3}}^{2}}

Wir setzen ein:

|u⃗| =

\sqrt{2^{2} + 4^{2} + 7^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{4 + 16 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{69}

Wenn das Ziehen der Wurzel keine glatte Zahl ergibt, ist es manchmal sinnvoller, mit der Wurzel selbst weiterzurechnen. Wenn du aber das Endergebnis brauchst, rundest du es einfach:

|u⃗| =

\sqrt{69}

\approx 8,31 LE

Übungsaufgaben

Berechne jeweils die Länge des Vektors

u⃗ = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \end{matrix})

Lösung

u⃗ = (\begin{matrix} -2 \\ 7 \end{matrix})

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u⃗| =

\sqrt{{(-2)}^{2} + 7^{2}}

| Betrag berechnen

|u⃗| =

\sqrt{4 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{53}

Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =

\sqrt{53}

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix})

Lösung

u⃗ = (\begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{matrix})

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u⃗| =

\sqrt{2^{2} + {(-1)}^{2} + 5^{2}}

| Betrag berechnen

|u⃗| =

\sqrt{4 + 1 + 25}

|u⃗| =

\sqrt{30}

Die Länge des Vektors u⃗ ist also |u⃗| =

\sqrt{30}

Winkel zwischen Vektoren

u⃗ o v⃗ = |u⃗| • |v⃗| •

cos α

Durch Umformen erhalten wir:

cos α

=

\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|}

⇒

α

= cos^-1

(\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|})

Wichtig: Die Längen u⃗ und v⃗ müssen nicht gleich dem Nullvektor sein.

Beispiel

Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren

u⃗ = (\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix})

und

v⃗ = (\begin{matrix} 3 \\ 7 \end{matrix})

eingeschlossen wird!

Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren
u⃗ o v⃗ = 1 • 3 + 5 • 7 = 3 + 35 = 38

Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des Vektors. In unserem Fall berechnest du die Beträge der Vektoren so:

|u⃗| =

\sqrt{1^{2} + 5^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{1 + 25}

|u⃗| =

\sqrt{26}

|u⃗| =

\sqrt{3^{2} + 7^{2}}

|u⃗| =

\sqrt{9 + 49}

|u⃗| =

\sqrt{58}

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:

cos α

=

\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|}

Wir setzen ein:

cos α

=

\frac{38}{\sqrt{26} • \sqrt{58}}

Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus

Die Formel nun noch so umstellen, dass wir den Winkel

α ausrechnen können. Die Formel sieht dann so aus:

α

= cos^-1

(\frac{u⃗ov⃗}{|u⃗| • |v⃗|})

Und für unsere Aufgabe bedeutet das:

α

= cos^-1

(\frac{38}{\sqrt{26} • \sqrt{58}})

Das kannst du übrigens nicht ohne Weiteres im Kopf ausrechnen – verwende nun also gern deinen Taschenrechner! Du erhältst folgendes Ergebnis:

α = 11,89 °

Du hast erfolgreich den Winkel

α

berechnet. Um auch den größeren Winkel

α’

zu berechnen, kannst du rechnen:

α’

=

360 ° - α

α’

=

360 ° - 11,89 °

α’

≈

348,11 ° .

Übungsaufgaben

Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

$u⃗ = (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 0.5 \\ - 1 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $=$ $6 • 0,5 + 4 • (- 1) = 3 - 4 = - 1$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist -1. Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} -1 \\ -1 \end{matrix})$ $=$ $(- 2) • (- 1) + 2 • (-1) = 2 - 2 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} 2π \\ 7 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} - 3,5 \\ π \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 2π \\ 7 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} - 3,5 \\ π \end{matrix})$ $=$ $2π • (- 3,5) + 7 • π = 7π - 7π = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

$u⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{6} \\ - \sqrt{3} \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} \sqrt{6} \\ - \sqrt{3} \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $\sqrt{6} • \sqrt{2} + (- \sqrt{3}) • 2 = – 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren

$u⃗ = (\begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} - 2 \\ 7 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ $=$ $(- 2) • 5 + 7 • 3 = - 10 + 21 = 11$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 11.

$u⃗ = (\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 0,5 \\ - 1 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})$ $=$ $0,5 • 4 + (- 1) • 2 = 2 - 2 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

$u⃗ = (\begin{matrix} - 8 \\ 1 \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} - 8 \\ 1 \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} 0 \\ 6 \end{matrix})$ $=$ $(- 8) • 0 + 1 • 6 = 6$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 6.

$u⃗ = (\begin{matrix} 0 \\ - 3π \end{matrix})$ $und$ $v⃗ = (\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$

Lösung

Das Skalarprodukt wird gebildet durch

$u⃗ o v⃗$ $=$ $(\begin{matrix} 0 \\ - 3π \end{matrix})$ $o$ $(\begin{matrix} \sqrt{2} \\ 0 \end{matrix})$ $=$ $0 • \sqrt{2} + (- 3π) • 0 = 0 - 0 = 0$

Das Skalarprodukt von u⃗ und v⃗ ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)

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Skalarprodukt

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Länge eines Vektors

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Winkel zwischen Vektoren

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