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Skalarprodukt


Die Multiplikation zweier Vektoren ist ein Skalarprodukt, das heisst, das Ergebnis ist ein Skalar oder eine reelle Zahl.

Das Ergebnis für Kreuzprodukt ist ein Vektor.

Das Skalarprodukt der Vektoren u und v schreibt man uv oder u o v.

Wichtig: Das Skalarprodukt zweier Vektoren kann man nur bilden, wenn beide gleich viele Komponenten haben.



Definition

Das Skalarprodukt zweier Vektoren u und v ist definiert als

  • ihre komponentenweise Multiplikation
  • und
  • die anschließende Ergänzung oder Addition.

Bedeutung:

          In der Ebene

                                        u = ( u1 u2 ) , v = ( v1 v2 )

                                              uv = u1v1 + u2v2


              Im Raum
                                        u = ( u1 u2 u3 ) , v = ( v1 v2 v3 )

                                              uv = u1v1 + u2v2 + u3v3


  Merke:
  • Die 1. Komponente von u mit der 1. Komponente von v, (In der Ebene)

  • Die 2. Komponente von u mit der 2. Komponente von v, (In der Ebene)

  • Die 3. Komponente von u mit der 3. Komponente von v, (Im Raum)

  • … multipliziert und die resultierenden Produkte werden dann addiert.

  Rechenregeln
Das Skalarprodukt von Vektoren folgt denselben Rechenregeln wie die Multiplikation von Zahlen.

  • Kommutativgesetz für Vektoren: uv = vu

  • Distributivgesetz für Vektoren: (u + v) w = uw + vw

  • Assoziativgesetz: (λ • u) o v = λ • (u o v),    λ ∈ ℝ


Beispiel


Stehen die Vektoren u und v senkrecht aufeinander? Überprüfe!

                                        u = ( 2 6 ) , v = ( 3 -1 )

Berechne das Skalarprodukt von u und v:

                                        ( 2 6 ) ( 3 -1 ) = 2 • 3 + 6 • (-1) = 0,

mit dem Skalarprodukt 0, stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.


Länge eines Vektors


Die Länge eines Vektors also Betrag, ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:

In der Ebene

|u| = uu = u 1 2 + u 2 2

Im Raum

|u| = uu = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2


Achtung: Der Nullvektor hat die Länge 0 !!!


Beispiel


In der Ebene

Berechne die Länge des Vektors u = ( 3 4 ) .

Die Formel, mit der wir den Betrag bzw. die Länge berechnen, lautet:

                                        |u| = u 1 2 + u 2 2

Wir setzen ein:

                                        |u| = 3 2 + 4 2

Und nun können wir den Betrag berechnen:

                                        |u| = 9 + 16

                                        |u| = 25

                                        |u| = 5

Nun wissen wir: Die Länge des Vektors u = ( 3 4 ) ist 5.


Im Raum

Berechne die Länge (Betrag) des Vektors u = ( 2 4 7 ) .

Hier noch einmal die Formel für den Betrag lautet:

                                        |u| = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2

Wir setzen ein:

                                        |u| = 2 2 + 4 2 + 7 2

                                        |u| = 4 + 16 + 49

                                        |u| = 69

Wenn das Ziehen der Wurzel keine glatte Zahl ergibt, ist es manchmal sinnvoller, mit der Wurzel selbst weiterzurechnen. Wenn du aber das Endergebnis brauchst, rundest du es einfach:

                                        |u| = 69 8,31 LE

    Übungsaufgaben

Berechne jeweils die Länge des Vektors

u = ( -2 7 )
    Lösung

u = ( -2 7 )

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u| = (-2) 2 + 7 2          | Betrag berechnen

|u| = 4 + 49

|u| = 53

Die Länge des Vektors u ist also |u| = 53


u = ( 2 -1 5 )
    Lösung
u = ( 2 -1 5 )

Berechnung der Länge des Vektors mit dem Skalarprodukt

|u| = 2 2 + (-1) 2 + 5 2          | Betrag berechnen

|u| = 4 + 1 + 25

|u| = 30

Die Länge des Vektors u ist also |u| = 30


Winkel zwischen Vektoren



       u o v = |u| • |v| • cos α
       Durch Umformen erhalten wir:
       cos α = u o v |u| • |v |
       ⇒    α = cos-1 ( u o v |u| • |v | )

       Wichtig: Die Längen u und v müssen nicht gleich dem Nullvektor sein.



Beispiel


Berechne den Winkel, der zwischen den beiden Vektoren u = ( 1 5 ) und v = ( 3 7 ) eingeschlossen wird!

Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren
u o v = 1 • 3 + 5 • 7 = 3 + 35 = 38

Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des Vektors. In unserem Fall berechnest du die Beträge der Vektoren so:

|u| = 1 2 + 5 2

|u| = 1 + 25

|u| = 26



|u| = 3 2 + 7 2

|u| = 9 + 49

|u| = 58

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:

cos α = u o v |u| • |v |

Wir setzen ein:

cos α = 38 26 58

Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus

Die Formel nun noch so umstellen, dass wir den Winkel α ausrechnen können. Die Formel sieht dann so aus:

α = cos-1 ( u o v |u| • |v | )

Und für unsere Aufgabe bedeutet das:

α = cos-1 ( 38 26 58 )

Das kannst du übrigens nicht ohne Weiteres im Kopf ausrechnen – verwende nun also gern deinen Taschenrechner! Du erhältst folgendes Ergebnis:

α = 11,89 °

Du hast erfolgreich den Winkel α berechnet. Um auch den größeren Winkel α’ zu berechnen, kannst du rechnen:

α’ = 360 ° α
α’ = 360 ° 11,89 °
α’ 348,11 ° .




Übungsaufgaben


Prüfe, ob die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

  1. u = ( 6 4 )    und    v = ( 0.5 1 )

    Lösung

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

    u o v = ( 6 4 ) o ( 0,5 1 ) = 6 0,5 + 4 ( 1 ) = 3 4 = 1

    Das Skalarprodukt von u und v ist -1. Die beiden Vektoren stehen also nicht senkrecht aufeinander.



  2. u = ( 2 2 )    und    v = ( -1 -1 )

    Lösung

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

    u o v = ( -2 2 ) o ( -1 -1 ) = ( 2 ) ( 1 ) + 2 ( -1 ) = 2 2 = 0

    Das Skalarprodukt von u und v ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.



  3. u = ( 7 )    und    v = ( 3,5 π )

    Lösung

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

    u o v = ( 7 ) o ( 3,5 π ) = ( 3,5 ) + 7 π = = 0

    Das Skalarprodukt von u und v ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.



  4. u = ( 6 3 )    und    v = ( 2 2 )

    Lösung

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.

    u o v = ( 6 3 ) o ( 2 2 ) = 6 2 + ( 3 ) 2 = – 2 3 + 2 3 = 0

    Das Skalarprodukt von u und v ist 0. Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.



Bestimme jeweils das Skalarprodukt der folgenden Vektoren

  1. u = ( 2 7 )    und    v = ( 5 3 )

    Lösung

    Das Skalarprodukt wird gebildet durch

    u o v = ( 2 7 ) o ( 5 3 ) = ( 2 ) 5 + 7 3 = 10 + 21 = 11

    Das Skalarprodukt von u und v ist 11.



  2. u = ( 0,5 1 )    und    v = ( 4 2 )

    Lösung

    Das Skalarprodukt wird gebildet durch

    u o v = ( 0,5 1 ) o ( 4 2 ) = 0,5 4 + ( 1 ) 2 = 2 2 = 0

    Das Skalarprodukt von u und v ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)



  3. u = ( 8 1 )    und    v = ( 0 6 )

    Lösung

    Das Skalarprodukt wird gebildet durch

    u o v = ( 8 1 ) o ( 0 6 ) = ( 8 ) 0 + 1 6 = 6

    Das Skalarprodukt von u und v ist 6.



  4. u = ( 0 )    und    v = ( 2 0 )

    Lösung

    Das Skalarprodukt wird gebildet durch

    u o v = ( 0 ) o ( 2 0 ) = 0 2 + ( ) 0 = 0 0 = 0

    Das Skalarprodukt von u und v ist 0. (Die Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.)