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Vektor- oder Kreuzprodukt

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Das Vektorprodukt ist die Kombination zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Vektor senkrecht zu den beiden Vektoren ist.

Das Vektorprodukt wird oft auch als Kreuzprodukt bezeichnet.



Mathematische Definition


Das Kreuzprodukt zweier Vektoren

                                        u⃗ = ( u1 u2 u3 ) und v⃗ = ( v1 v2 v3 )

ist definiert als

                                        u⃗ × v⃗ = ( u2 v3 – u3 v2 u3 v1 – u1 v3 u1 v2 – u2 v1 )


Beispiel



Für
                    u⃗ = ( 1 2 1 ) und v⃗ = ( 2 4 1 )

ist das Kreuzprodukt

                    w⃗ = u⃗ × v⃗ = ( 2 • 1 – 1 • 4 1 • 2 – 1 • 1 1 • 4 – 2 • 2 ) = ( – 2 1 0 ) ,

mit
                    w⃗ ⊥ u⃗ und w⃗ ⊥ v⃗                     (⊥ = Senkrecht)


Länge von w⃗

                    | w⃗ | = | u⃗ × v⃗ |

                            = | u⃗ | • | v⃗ | • sin ( α ) ,

– α der winkel, den u⃗ und v⃗ bilden.
– Der Wert | w⃗ | entspricht der Fläche des Parallelogramms, das von u⃗ und v⃗ aufgespannt wird.

Beispiele Skizze

Probe zu Orthogonalität
                    u⃗ o w⃗ = ( 1 2 1 ) o ( – 2 1 0 ) = – 2 + 2 + 0 = 0   ➪   u⃗ ⊥ w⃗

                    v⃗ o w⃗ = ( 2 4 1 ) o ( – 2 1 0 ) = – 4 + 4 + 0 = 0   ➪   v⃗ ⊥ w⃗


Eigenschaften


  • u⃗ × ( v⃗ + w⃗ ) = u⃗ × v⃗ + u⃗ × w⃗

  • u⃗ × v⃗ = – ( v⃗ × u⃗ )

  • ( u⃗ + v⃗ ) × w⃗ = u⃗ × w⃗ + v⃗ × w⃗     (Distributivgesetze)

  • ( r • u⃗ ) × v⃗ = r • ( u⃗ × v⃗ ) = u⃗ × ( r • v⃗ )


Achtung !!!
Das Kreuzprodukt ist weder assoziativ noch kommutativ.


Übungsaufgaben


  1. u⃗ = ( 3 – 4 0 ) und v⃗ = ( 8 1 12 )

    Lösung

    Berechne das Kreuzprodukt.

    ( 3 – 4 0 ) × ( 8 1 12 ) = ( ( – 4 ) • 12 – 0 • 1 0 • 8 – 3 • 12 3 • 1 – ( – 4 ) • 8 ) = ( – 48 – 36 35 )


  2. u⃗ = ( – 2 3 1 ) und v⃗ = ( – 1 1 – 2 )

    Lösung

    Berechne das Kreuzprodukt.

    ( – 2 3 1 ) × ( – 1 1 – 2 ) = ( 3 • ( – 2 ) – 1 • ( 1 ) 1 • ( – 1 ) – ( – 2 ) • ( – 2 ) ( – 2 ) • 1 – 3 • ( – 1 ) ) = ( – 7 – 5 1 )


  3. u⃗ = ( 2 – 1 5 ) und v⃗ = ( 6 7 2 )

    Lösung

    Berechne das Kreuzprodukt.

    ( 2 – 1 5 ) × ( 6 7 2 ) = ( ( – 1 ) • 2 – 5 • 7 5 • 6 – 2 • 2 2 • 7 – ( – 1 ) • 6 ) = ( – 37 26 20 )


  4. u⃗ = ( 1 – 2 – 4 ) und v⃗ = ( – 3 3 – 1 )

    Lösung

    Berechne das Kreuzprodukt.

    ( 1 – 2 – 4 ) × ( – 3 3 – 1 ) = ( ( – 2 ) • ( – 1 ) – ( – 4 ) • 3 ( – 4 ) • ( – 3 ) – 1 • ( – 1 ) 1 • 3 – ( – 2 ) • ( – 3 ) ) = ( 14 13 – 3 )


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