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Linearkombination von Vektoren

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Eine Linearkombination ist eine Summe der Form:
                                            r1v1⃗ + r2v2⃗ + … + rnvn⃗ , mit ri⃗ ∈ ℝ,
                                            der Vektoren v1⃗ , v2⃗ , … , vn.⃗



Beispiel


Ist der Vektor v⃗ = ( 3 1 0 ) eine Linearkombination der Vektoren w⃗ = ( 2 1 1 ) und t⃗ = ( 1 1 2 ) ?

Errechnung:

                      ( 3 1 0 ) = r • ( 2 1 1 ) + s • ( 1 1 2 ) , r und s ∈ ℝ                       | Ansatz

Ergibt sich ein Lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen:

                      I        2r + s = 3
                      II        r + s = 1                                                        | LGS
                      III      r + 2s = 0

Das Gleichungssystem lässt sich eindeutig lösen,

                      I – 2 • II :                   – s = 1    ➪    s = – 1
                      in I:                      2r – 1 = 3    ➪    r = 2
                      Überprüfung in III:    2 + 2 • ( – 1 ) = 0

Daher gilt:

                      ( 3 1 0 ) = 2 • ( 2 1 1 ) – 1 • ( 1 1 2 ) .

Der Vektor v⃗ = ( 3 1 0 ) ist eine Linearkombination der Vektoren w⃗ = ( 2 1 1 ) und t⃗ = ( 1 1 2 ) .


Aufgaben zur Linearkombination (LK)


Bestimme die Skalare r und s oder λ und μ, sodass der Vektor u⃗ eine Linearkombination der Vektoren v⃗ und t⃗ ist!

  1. u⃗ = ( 1 1 ) , v⃗ = ( 1 2 ) , t⃗ = ( 2 1 )

    Lösung
    Die Skalare r und s sind zu bestimmen, sodass gilt:
    u⃗ = r • v⃗ + s • t⃗

                          ( 1 1 ) = r • ( 1 2 ) + s • ( 2 1 )                       | Ansatz

                          I     1 = 1 • r + 2 • s

                         II     1 = 2 • r + 1 • s                                | LGS

    Löse das LGS

    – 2 • I + II:     – 2 = – 2 • r – 4 • s
                            1 =    2 • r + 1 • s
                        ____________________
                         – 1 =         – 3 • s       ➪    s = 1 3

    s in I:              1 = 1 • r + 2 • ( 1 3 )                                   | – ( 2 3 )

                       1 – 2 3 = r    ➪    r = 1 3


                          1 3 • ( 1 2 ) + 1 3 • ( 2 1 )       =       ( 1 1 )          | Wahre Aussage!

       ➪    u⃗ ist eine Linearkombination der Vektoren v⃗ und t⃗

  2. u⃗ = ( 0 0 ) , v⃗ = ( 1 2 ) , t⃗ = ( 1 – 5 )

    Lösung
    Die Skalare λ und μ sind zu bestimmen, sodass gilt:
    u⃗ = λ • v⃗ + μ • t⃗

                          ( 0 0 ) = λ • ( 1 2 ) + μ • ( 1 – 5 )                       | Ansatz

                          I     0 = 1 • λ + 1 • μ

                         II     0 = 2 • λ + ( – 5 ) • μ                              | LGS

    Löse das LGS

    Aus der ersten Gleichung folgt λ = – μ .
    Setzt man diese Lösung in die zweite Gleichung erhält man:
                            ( – μ ) – 5 • μ = 0
                        ⇔
                                    – 6 • μ = 0       ⇔    μ = 0

    Daraus folgt dann, dass auch λ = 0 gilt.

    Die Vektoren sind linear unabhängig.


      Wichtig:
      Zwei oder mehr Vektoren sind linear unabhängig, wenn alle
      Koeffizienten in der Linearkombination gleich Null sind:
          λ • u⃗ + μ • v⃗ = 0⃗ ,             mit λ = 0 und μ = 0.   λ • u⃗ + μ • v⃗ + ν • t⃗ = 0⃗ , mit λ = 0 , μ = 0 und ν = 0.





    3. Untersuche die Vektoren u⃗ , v⃗ und w⃗ auf lineare Abhängigkeit.

  3. u⃗ = ( 2 4 9 ) , v⃗ = ( 3 2 8 ) , w⃗ = ( 5 1 2 )

    Lösung

    Das zugehörige LGS lautet:
                        2r + 3s + 5t = 0    I
                        4r + 2s + t = 0    II
                        9r + 8s + 2t = 0    III

    Löse das LGS

    Nach Lösung des LGS mit Hilfe des Gaußverfahrens ergibt sich als einzige Lösung:

                        r = 0 , s = 0 und t = 0.



    Die Vektoren u,⃗ v⃗ und w⃗ sind also linear unabhängig.


  4. u⃗ = ( 1 3 3 ) , v⃗ = ( 2 2 4 ) , w⃗ = ( 5 7 11 )

    Lösung

    Das zugehörige LGS lautet:
                        r + 2s + 5t = 0    I
                        3r + 2s + 7t = 0    II
                        3r + 4s + 11t = 0    III

    Im Verlauf des Gaußverfahrens entsteht eine Nullzeile.

    Das LGS ist also unterbestimmt ist und hat unendliche viele Lösungen, zum Beispiel

              r = 1, s = – 2 und t = 1.

    Damit sind die Vektoren linear abhängig.


Weitere Aufgaben
Gegeben sind die Vektoren:

$\qquad \vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}, \: \vec{b}=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} \:\:sowie \:\: \vec{c}=\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} \:und \:\: \vec{d}=\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}.$

  • Zeige, dass $\vec{c}$ als LK von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.
  • Zeige, dass $\vec{d}$ nicht als LK von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden kann.
Lösung
Lösung 1.

Ansatz: $\:\:\:\: \large \vec{c}=r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}$

$\qquad\qquad \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix} =r\:\cdot$ $\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} +s\:\cdot$ $\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$

Gl.-system:

               2 r + s = 3 I
               r + s = 1 II
               r + 2 s = 0 III

Lösungsversuch:

               IV | I – II: ➪ r = 2
               V | IV in I: ➪ s = – 1

Überprüfung:

               IV , V in III: ➪ 0 = 0 ist wahr.

Ergebnis:

               r = 2 , s = – 1

$ \large \vec{c}$ ist als Linearkombination von $\vec{a}$ und $\vec{b}$:

Darstellbar: $\vec{c}=2\vec{a}-\vec{b} $

Download die Aufgaben in PDF Lösungen


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