Das Gauß-Jordan-Verfahren auch Gaußsche Eliminationsverfahren hilft Gleichungssysteme zu lösen, die 3 oder mehr Gleichungen beinhalten.
Übungsaufgaben
Löse die linearen Gleichungssysteme mit dem Gauß-Jordan-Verfahren.
-
Lösung
Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.
$ \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} 3 & -4 & -26\\ 2 & 3 & 28 \end{array} \end{bmatrix} $
Die erste Zeile wird durch 3 und die zweite durch 2 dividiert.
$ \large \xrightarrow{\text{I:3, II:2}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{1} & 3 & \textbf{14} \end{array} \end{bmatrix} $
Die erste Zeile wird von der zweiten subtrahiert.
$ \large \xrightarrow{\text{II-I}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{0} & \frac{17}{6} & \frac{68}{3} \end{array} \end{bmatrix} $
Dann teilt man die zweite Zeile durch $\frac{17}{6}$.
$ \large \xrightarrow{\text{II:$\frac{17}{6}$}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & -\frac{4}{3} & -\frac{26}{3}\\ \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{8} \end{array} \end{bmatrix} $
Danach subtrahiert man von der ersten Zeile das $-\frac{4}{3}$-fache der zweiten Zeile.
$ \large \xrightarrow{\text{I $-(-\frac{4}{3})\cdot$II}} \begin{bmatrix} \normalsize \begin{array}{c c | c} \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{2}\\ \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{8} \end{array} \end{bmatrix} $
Nun kann man in der rechten Spalte die Lösung ablesen:
$\Longrightarrow$ $\textbf{x=2, y=8}$, Lösungsmenge: $\textbf{L=\{(2,8)\}}$ -
$ \color{black} \tiny \begin{equation*} \begin{aligned} x+2y-z &=\\ -x-5y-4z &=\\ -x+y+2z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -12 \\ 0 \end{gathered} \end{equation*} $Lösung$ \color{black} \small \begin{equation*} \begin{aligned} x+2y-z &=\\ -x-5y-4z &=\\ -x+y+2z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -12 \\ 0 \end{gathered} \end{equation*} $
Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.
$ \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 &8\\ -1 & -5 & -4 &-12\\ -1 & 1 & 2 &0 \end{array} \end{bmatrix} $
Die erste Zeile wird mit der zweiten und der Dritten addiert.
$ \large \xrightarrow[\text{I+III}]{\text{I+II}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 & 8\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 3 & 1 & 8 \end{array} \end{bmatrix} $
Die zweite Zeile wird mit der Dritten addiert.
$ \large \xrightarrow[\text{II+III}]{\text{}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 1 & 2 & -1 & 8\\ 0 & -3 & -5 & -4\\ 0 & 0 & -4 & 4 \end{array} \end{bmatrix} $
$\Longrightarrow$ $z=\frac{4}{-4}=-1$
$z$ in II einsetzen:
$-3y-5(-1)=-4$
$\Longrightarrow$ $y=3$
$y, z$ in I einsetzen:
$x+2(3)-(-1)=8$
$\Longrightarrow$ $x=1$
$\textbf{L={(1,3,-1)}}$ -
$ \color{black} \tiny \begin{equation*} \begin{aligned} 2x+2y-3z &=\\ -x-2y-3z &=\\ 2x+4y+6z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -1 \\ 7 \end{gathered} \end{equation*} $Lösung$ \color{black} \small \begin{equation*} \begin{aligned} 2x+2y-3z &=\\ -x-2y-3z &=\\ 2x+4y+6z &= \end{aligned}\!\!\: \begin{gathered} 8 \\ -1 \\ 7 \end{gathered} \end{equation*} $
Zuerst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix gebildet.
$ \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 2 & 2 & -3 &8\\ -1 & -2 & -3 &-1\\ 2 & 4 & 6 &7 \end{array} \end{bmatrix} $
Die zweite Zeile wird mit zwei multipliziert und plus der Dritten Zeile addiert.
$ \large \xrightarrow[\text{2•II+III}]{\text{}} \begin{bmatrix} \small \begin{array}{c c c | c} 2 & 2 & -3 & 8\\ -1 & -2 & -3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array} \end{bmatrix} $
$Da\: ist\: die\: Zeile\: falsch, \:weil\: 0 \neq 5, somit\: existiert\: keine\: Lösung,\\ $.
$\Longrightarrow$ $\textbf{L={}}$ $\: oder\:$ $\textbf{L=$\varnothing$}$